【 精品练习】人教A版 数学 选修2第2章2.2.2知能优化训练

1．下列命题错误的是(　　)
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数
解析：选D.a＋b为奇数 a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
解析：选B.因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三个内角都大于60°”，故选B.
3．用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形”
答案：存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
4．若x、y都是正实数，且x＋y>2，
求证：<2或<2至少有一个成立．
证明：假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，
两边相加得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
这与已知条件x＋y>2矛盾，
所以假设不成立，
因此<2或<2至少有一个成立．
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可作为条件使用的是(　　)
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．
A．①②　　　　　　　　 B．①②④
C．①②③ D．②③
解析：选C.由反证法的定义可知．
2．如果两个数的和为正数，则这两个数(　　)
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个是正数
D．两个都是负数
解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．
3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①②矛盾，所以C正确．
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D.恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)；其二是至少有两个偶数．
6．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a、b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.
二、填空题
7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
解析：对其的否定有两部分：一是任何三角形；二是至少有两个．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
8．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．
解析：∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP
9．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.
答案：
三、解答题
10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0.
即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
11．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
证明：假设＋为有理数，则(＋)(－)＝a－b.
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝ .
∵a、b为有理数，且＋为有理数，
∴为有理数，即－为有理数，
∴(＋)＋(－)为有理数，
即2为有理数，
从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾．
∴＋一定为无理数.
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明：假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，　①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，　②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．