吉林省长春市希望高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

长春市希望高中2020-2021学年高二下学期期末考试
数学
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若角的终边经过点，则等于
A． B．5 C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项等比数列的前和为，若，则（ ）
A．8 B． C．8或 D．1或8
8．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．把函数向右平移个单位得到的解析式是
10．若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知向量，，若//，则____________.
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
15．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.
16．已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点 是的中点，点是球上的任意一点，有以下命题：
①的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是;
③存在过点的平面，截球的截面面积为;
④三棱锥的体积的最大值为20；
其中是真命题的序号是___________
三、解答题（第17题满分10分，其他每小题满分12分，共70分）
17．记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求公差及的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
19．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
20．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点.若直线与曲线相交于不同的两点，，求的值.
21．直角坐标系中，半圆的参数方程为 (为参数， ),以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是 ，射线与半圆的交点为，，与直线的交点为，求线段 的长．
22．为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，，，，，其频率分布直方图如图1所示．今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．
（1）设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数，并说明理由；
（2）求体检中心抽取的100个人的免疫力指标平均值；
（3）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？
附：对于一组样本数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
高二下期末考试题参考答案
选择题
1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D
7．C 8．B 9．D 10．A 11．C 12．A
二、填空题
13． 14． 15． 16．①④
三、解答题
17．（1），； （2），最小值为.
【详解】（1）设的公差为，由题意得.
由得. 3分
所以的通项公式为. 5分
（2）由（1）得. 8分
所以时，取得最小值，最小值为 10分
18．（1）；（2）
【详解】（1），
由正弦定理得：，
整理得：，
∵在中，，∴，
即，∴，即； 6分
（2）由余弦定理得：，∴，
∵，
∴，∴，∴， 10分
∴的周长为. 12分
19．（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.
又∵AB1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1. 6分
（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝.
∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 12分
20．【详解】（1）由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，
又将曲线的极坐标方程化为，
曲线的直角坐标方程为. 6分
将直线的参数方程代入中，得，
得
此方程的两根为直线与曲线的交点，对应的参数，，得，，
由直线参数的几何意义，知 12分
21．（1）；（2）.
【详解】(1)半圆的普通方程为 ,又 ,
所以半圆的极坐标方程是 . 6分
(2)设 为点的极坐标，则有 ，解得；
设 为点的极坐标，则有，解得
由于 ，所以 ,所以线段 的长为. 12分
22．（1）1700人；答案见解析；（2）27；（3）80个单位．
【详解】（1）由频率分布直方图知，免疫力指标在中的频率为．
同理，在，，，中的频率分别为0.4，0.24，0.08，
0.02．故免疫力指标不低于30的频率为．
由样本的频率分布，
可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数为． 4分
（2）由直方图知，免疫力指标的平均值为． 8分
（3）由散点图知，5组样本数据分别为，，，，，
且x与y具有线性相关关系．因为，，
则，，
所以回归直线方程为．由（2）知，免疫力指标的平均值为27．由，得，解得．
据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．