吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1013.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-22 19:03:08 | ||
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文档简介
长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数 学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则
A．4 B．5 C．6 D．7
3．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．三棱柱中，点在上，且，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ）
A． B． C． D．
10．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
11（多选）．的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰三角形
12（多选）．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面 B．平面平面
C．直线与所成角的为 D．平面
第Π卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13．已知复数（为虚数单位）且，则_____．
14．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为__________________.
15．在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．
16．在中，，，，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得.当D为AB中点时，PD的长度为_______；若（m为常数且），则BD的长度是____.
三、解答题
17．已知向量．
（1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值．
18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，求证：
（1） 平面； （2） 平面平面．
20．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且⊥.
（1）求角；
（2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.
21．如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
22．某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点OA=300米，B为半圆上任意一点，以为一边作等腰直角，其中为斜边．
（1）若，求四边形的面积；
（2）现决定对四边形区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．D
5．A
6．B
7．C
8．A
9．D
10．B
11．BC
12．BC
13．
14．
15．
16．. .
【详解】
解：由勾股定理可知，，当D为AB中点时，
，所以;
∵C、D、P三点共线，∴可设（），∵，
∴，即，
若且，则A、B、D三点共线，∴，即，
∵，∴，，设，，
则，，∴根据余弦定理可得，
，∵，
∴，解得或（舍去），∴的长度为.
故答案为: ;.
17．（1） （2）
【详解】
解：（1）由，，则，
由题得，，
设向量与的夹角为，则，
由，所以. 即向量与的夹角为.
（2）由，，
所以，又，
所以，又，
所以，解得.
18．（1）证明见解析；（2）
【详解】
（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B.
又∵AB1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，
∴AB1⊥平面A1BC1.
（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝.
∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
（1）设与交于点，连接，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，，所以平面.
又因为平面，所以.
又因为，所以.
所以平面.
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
20．(1) . (2) ，周长为.
【详解】
（1）∵，
∴，
且，由正弦定理得：，
化简得：.
由余弦定理：，∴，
∵，∴.
（2）∵，
∴（当且仅当时取“”）
，
所以，，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.
21．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）证明：在直角梯形中，，且直角梯形是通过直角梯形
以直线为轴旋转而得，所以，
又，所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知，
因为二面角为，所以，过点作平面的垂线，
如图，建立空间直角坐标系．
设，则．
所以，．
设平面的法向量为，
则即
令，则，于是．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
22．（1）平方米；（2）．
【详解】
（1）当时，
平方米；
在中，由余弦定理得，
；
平方米，
四边形OABC的面积为
平方米；
（2）设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
；
，
不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，
则有；
化简得；
因为，
所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．
数 学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则
A．4 B．5 C．6 D．7
3．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．三棱柱中，点在上，且，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ）
A． B． C． D．
10．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
11（多选）．的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰三角形
12（多选）．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面 B．平面平面
C．直线与所成角的为 D．平面
第Π卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13．已知复数（为虚数单位）且，则_____．
14．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为__________________.
15．在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．
16．在中，，，，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得.当D为AB中点时，PD的长度为_______；若（m为常数且），则BD的长度是____.
三、解答题
17．已知向量．
（1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值．
18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，求证：
（1） 平面； （2） 平面平面．
20．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且⊥.
（1）求角；
（2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.
21．如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
22．某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点OA=300米，B为半圆上任意一点，以为一边作等腰直角，其中为斜边．
（1）若，求四边形的面积；
（2）现决定对四边形区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．D
5．A
6．B
7．C
8．A
9．D
10．B
11．BC
12．BC
13．
14．
15．
16．. .
【详解】
解：由勾股定理可知，，当D为AB中点时，
，所以;
∵C、D、P三点共线，∴可设（），∵，
∴，即，
若且，则A、B、D三点共线，∴，即，
∵，∴，，设，，
则，，∴根据余弦定理可得，
，∵，
∴，解得或（舍去），∴的长度为.
故答案为: ;.
17．（1） （2）
【详解】
解：（1）由，，则，
由题得，，
设向量与的夹角为，则，
由，所以. 即向量与的夹角为.
（2）由，，
所以，又，
所以，又，
所以，解得.
18．（1）证明见解析；（2）
【详解】
（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B.
又∵AB1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，
∴AB1⊥平面A1BC1.
（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝.
∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
（1）设与交于点，连接，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，，所以平面.
又因为平面，所以.
又因为，所以.
所以平面.
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
20．(1) . (2) ，周长为.
【详解】
（1）∵，
∴，
且，由正弦定理得：，
化简得：.
由余弦定理：，∴，
∵，∴.
（2）∵，
∴（当且仅当时取“”）
，
所以，，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.
21．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）证明：在直角梯形中，，且直角梯形是通过直角梯形
以直线为轴旋转而得，所以，
又，所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知，
因为二面角为，所以，过点作平面的垂线，
如图，建立空间直角坐标系．
设，则．
所以，．
设平面的法向量为，
则即
令，则，于是．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
22．（1）平方米；（2）．
【详解】
（1）当时，
平方米；
在中，由余弦定理得，
；
平方米，
四边形OABC的面积为
平方米；
（2）设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
；
，
不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，
则有；
化简得；
因为，
所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．
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