五年级数学下册知识讲义：长方体和正方体-人教版

小学数学
长方体和正方体
北师大附属二中有一个长方体的游泳池，长25米，宽12米，深1.5米，如果在游泳池的四周和底面贴上边长为5分米的正方形瓷砖，需要多少块瓷砖？这个游泳池可以蓄水多少立方米？
1.
求需要多少块瓷砖，考查的是长方体的表面积，但是考虑实际问题的时候应该注意游泳池有一个面不用贴瓷砖，所以只需考虑5个面（四周和底面）。
S＝25×12＋（25×1.5＋12×1.5）×2＝411（平方米）
再求出瓷砖的面积，并且注意单位不统一先变换单位，
5分米＝0.5米，0.5×0.5＝0.25（平方米）
所以一共需要411÷0.25＝1644（块）
2.
求游泳池可以蓄水多少立方米，就是考查长方体的体积，根据长方体的体积公式计算。
V＝25×12×1.5＝450（立方米）
知识总结
知识点
概念
要点
长方体和正方体的认识
1.
长方体的特征：有6个面（6个面都是长方形或者有4个面是长方形，有两个面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。2.
正方体的特征：正方体的6个面是完全相同的正方形；12条棱的长度都相等；有8个顶点。3.
长方体长、宽、高的意义：相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。一个长方体有4条长、4条宽、4条高。
正方体是特殊的长方体
长方体和正方体的表面积
1.
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，字母表示为S＝2（ab＋ah＋bh）；2.
正方体的表面积＝棱长×棱长×6，字母表示为S＝6。
求水池、无盖水桶、通风管道的表面积时，要注意面的个数。
长方体和正方体的体积
1.
体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。2.
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。3.
体积单位间的进率：1＝1000，1＝10004.
长方体和正方体的体积计算公式：①
长方体的体积＝长×宽×高，用字母表示为V＝abh；②
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用字母表示为V＝；③
长（正）方体的体积＝底面积×高，用字母表示为V＝Sh。5.
容积的意义：容器所能容纳的物体的体积，通常叫做它们的容积。6.
容积的计算方法：长方体、正方体等规则容器容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器里面测量长、宽、高。7.
容积的单位和容积单位间的进率：1L＝1000mL8.
容积的单位和体积单位间的换算：1L＝1，1mL＝19.
不规则物体的体积的测量和计算方法：一般把这些物体的体积转化为可测量、计算的液体的体积。
相邻体积单位间的进率是1000。
例题1
用三个完全相同的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米，则每个正方体的表面积是多少平方厘米？
解答过程：根据题意画出示意图，结合已知条件进行观察、分析。
如图所示：
拼成的长方体的表面积一共由14个正方形的面积组成，用350除以14就可以求出一个正方形的面积是多少。知道了一个正方形的面积是多少就可以求出每个正方体的表面积了。
答案：350÷14＝25（cm?）
25×6＝150（cm?）
答：每个正方体的表面积是150平方厘米。
技巧点拨：画图法对解答条件隐蔽、复杂的问题，可以起到化难为易的作用。
例题2
将棱长分别为6厘米和8厘米的两个正方体铁块熔铸成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，求它的高是多少厘米？
解答过程：两个正方体铁块的体积和等于熔铸成的长方体的体积，先求出长方体的体积，再根据长方体的体积等于长×宽×高，求出长方体的高。
答案：6×6×6＝216（cm?）
8×8×8＝512（cm?）
216＋512＝728（cm?）
728÷13÷7＝8（cm）
答：它的高是8厘米。
技巧点拨：本题考查等积变形法，几何形体的形状发生变化后，变化后的物体和原物体相比体积不变。
例题3
在一个长5分米，宽3分米，高5分米的长方体玻璃缸内盛有2分米深的水。放入一个石块后（石块完全浸入水中），水深2.2分米，这个石块的体积是多少立方分米？
解答过程：石块完全浸入水中，所以玻璃缸内水增加的体积就是石块的体积。
答案：5×3×（2.2－2）＝3（dm?）
技巧点拨：利用排水法求形状不规则物体的体积时，将物体放入水中后，明确水上升的高度是解题的关键。