(共44张PPT)
2.2.2 不等式的解集
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解不等式及不等式组的解集的概念,会利用不等式的性质解不等式或不等式组.(数学运算)
2.理解绝对值的几何意义,并会解绝对值不等式.(数学抽象,数学运算)
3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式,并会简单应用.(数学抽象,数学运算)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
如图为某三岔路口交通环道的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段
的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数相等).
问题1:你能用x3,x1,x2分别表示出x1,x2,x3吗?
问题2:你能判断出x1,x2,x3的大小吗?
【知识点拨】
知识点一、不等式的解集与不等式组的解集
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
名师点析
求不等式组解集的方法
(1)求每个不等式的解集;
(2)把各个不等式的解集表示在数轴上,找出公共部分.
不等式组的解集有4种情况(a>b):
记忆口诀同大取大,同小取小,大小取中,两背皆空.
微思考
方程的解与方程的解集是一样吗?
提示
不一样.方程的解集是方程的解构成的集合.
微练习
A.{x|x<-2}
B.{x|-2
C.{x|x≤-2}
D.{x|x≥-2}
答案
A
知识点二、绝对值不等式
一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
名师点析
1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法
(1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可.
(2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为?,|ax+b|≥c的解集为R.
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)零点分区间法
零点分区间法的一般步骤:①令每个绝对值号内的代数式为零,并求出相应的根;②将这些根按从小到大的顺序排列,把实数集分为若干个区间;③在所分区间内去掉绝对值号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义求解
由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
微思考
方程|x|=3的解是什么?
提示
方程|x|=3的解是x=±3.
微练习
不等式|x+1|<5的解集为 .?
答案
(-6,4)
解析
由|x+1|<5,得-5知识点三、数轴上两点间的距离及中点坐标公式
(1)距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|.
(2)中点坐标公式:如果线段AB的中点M对应的数为x,则
.
微练习
若A(5),B(7),则AB= ,AB的中点坐标为 .?
答案
2 6
解析
AB=|7-5|=2,AB中点的坐标为
=6.
课堂篇
探究学习
探究一
不等式组的解集
例1解不等式组,并把解集在数轴上表示出来:
分析分别求出各不等式的解集,再求出各个解集的交集,并在数轴上表示出来即可.
解
(1)解不等式2x+3>1,得x>-1,
解不等式x-2<0,得x<2,
则不等式组的解集为{x|-1将解集表示在数轴上如下:
解不等式x+8<4x-1,得x>3,
则不等式组的解集为{x|x>3},
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
要点笔记
一元一次不等式组的求解策略
熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键.
延伸探究求出例1(1)中所有整数解.
解
因为不等式组的解集为{x|-1探究二
解绝对值不等式
解绝对值不等式
例2解不等式3≤|x-2|<4.
分析此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.
由①,得x-2≤-3,或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.
由②,得-4如图所示,原不等式的解集为{x|-2例3解不等式:|x+7|-|x-2|≤3.
分析利用分类讨论思想脱去绝对值符号进行求解.
解
(方法一)|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1(如图所示).
从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1].
(方法二)令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2.
①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,
∴-9≤3成立,∴x<-7.
②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,即2x≤-2,
∴x≤-1,∴-7≤x≤-1.
③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3,即9≤3不成立,
∴x∈?.
∴原不等式的解集为(-∞,-1].
(方法三)将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0,
作出函数的图像(如图),从图可知,
当x≤-1时,有y≤0,即|x+7|-|x-2|-3≤0,
∴原不等式的解集为(-∞,-1].
反思感悟
含有绝对值的不等式的解题策略
解含有绝对值的不等式,总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式,但要根据所求不等式的结构,选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号,故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图像求解.
变式训练
1(1)关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3),则实数a= .?
(2)不等式|x+3|+|x-3|>8的解集为 .?
答案
(1)2 (2)(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析
(1)∵|x-a|<1,∴-1又∵关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3),∴a-1=1,且a+1=3,∴a=2.
(2)(方法一)由代数式|x+3|,|x-3|知,-3和3把数轴分为三个区间:x<-3,
-3≤x<3,x≥3.
当x<-3时,原不等式变形为-x-3-x+3>8,
即x<-4,此时不等式的解集为(-∞,-4);①
当-3≤x<3时,原不等式变形为x+3-x+3>8,此时不等式无解;②
当x≥3时,原不等式变形为x+3+x-3>8,
即x>4,此时不等式的解集为(4,+∞).③
取①②③的并集得原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).
(方法二)不等式|x+3|+|x-3|>8表示数轴上与A(-3),B(3)两点距离之和大于8的点,而A,B两点的距离为6,因此线段AB上的每一点到A,B的距离之和都等于6.如图,要找到与A,B距离之和为8的点,只需由点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位),即移到点B1(4),或由点A向左移1个单位,即移到点A1(-4),可以看出,数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(-4)向左的点到A,B两点的距离之和均大于8.∴原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).
探究三
数轴上的基本公式及应用
例4已知数轴上的三点A,B,P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).
(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?
(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求P(x),若不存在,请说明理由.
分析根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解.
∴点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点.
(2)不存在这样的P(x),理由如下:
∵AB=|1+3|=4<6,
∴在线段AB上找一点P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.
反思感悟
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离,若已知两点间的距离,也可用距离公式求相应点的坐标;
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可用公式求第三点的坐标.
变式训练
2已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值;
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1,求实数m的取值范围.
素养形成
分类讨论或数轴法比较大小
当堂检测
答案
C
A.{x|x<-2}
B.{x|x<2}
C.{x|-2D.{x|-2答案
A
答案
[2,3]
答案
6
解
解不等式x-3(x-2)≥-4,得x≤5.
解不等式x-1<
,得x<4.
则不等式组的解集为{x|x<4}.
本
课
结
束(共46张PPT)
2.2.3 一元二次不等式的解法
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.理解一元二次不等式的定义.(数学抽象)
2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.(数学运算)
3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.(逻辑推理,数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
城市人口的急剧增加使车辆日益增多,需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的联结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市
立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通运输部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位:m)的积,且车距不得少于半个车身,假定车身长均为l(单位:m),当车速为60(单位:km/h)时,车距为1.44个车身长,在交通繁忙时,应规定怎样的车速,才使此处的车流量最大?
【知识点拨】
知识点一、一元二次不等式的概念
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
名师点析
1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.
2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+
<0就不是一元二次不等式.
3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念:
(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;
(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.
微思考
下列不等式中,哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?
(1)ax2>0;(2)x3+5x-6≥0;
(3)-x-x2≤0;(4)x2>0;
(5)mx2-5y>0;(6)ax2+bx+c≤0;
(7)x-
>0.
提示
题号
是否是一元
二次不等式
理 由
(1)
不是
a=0时,不符合一元二次不等式的定义
(2)
不是
x的最高次数为3
(3)
是
符合一元二次不等式的定义
(4)
是
符合一元二次不等式的定义
(5)
不是
m=0时,为一元一次不等式.m≠0时,含有x,y两个未知数
(6)
不是
a=0时,x的最高次数不是2
(7)
不是
不是整式不等式
知识点二、一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
一般地,如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).
2.配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或
(x-h)2名师点析
1.解不含参数的一元二次不等式的方法
(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.
(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.
2.含有参数的不等式的解法
解含有参数的一元二次型不等式应注意以下几点:
(1)要以二次项系数与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;
(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零,不等式右边为零)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;
(3)如果判别式大于零,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小关系作为分类标准进行分类讨论.
我们在解决以上问题时,最优的处理次序应先看二次项系数的正负,其次考虑Δ,最后分析两根的大小.
分类讨论应注意以下问题:①对参数分类时要目标明确,讨论时要不重不漏.②最后结果要分类回答,切不可取并集,解集为?时,也是其中一类,不要随便丢掉.③弄清分类原因,能更好地、合理地对参数分类.④并不是所有含参数的问题都需要分类讨论.
微练习
(1)(2021甘肃宁县第二中学高二期末)不等式2+x-x2<0的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-2,1)
C.(-1,2)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案
A
解析
不等式可变形为x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
(2)解不等式:7+6x-x2≥0.
解
由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0,即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16,
即(x-3)2≤16,
两边开平方,得|x-3|≤4,
从而可知-4≤x-3≤4,即-1≤x≤7.
所以原不等式的解集为[-1,7].
知识点三、分式不等式的解法
1.分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式
>0(≥0)或
<0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).
2.分式不等式的解法
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.
化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为
的形式.
将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:
微练习
答案
C
课堂篇
探究学习
探究一
一元二次不等式的概念
例1①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是 .(请把正确的序号都填上)?
答案
①②⑥
解析
①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.
反思感悟
1.形如ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式,不等号也可以是“<”“≥”“≤”.
2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.
3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.
变式训练
1判断下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数),并说明理由.
(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;(3)ax2>2;
(4)x3+5x-6>0;(5)mx2-5y<0;
(6)ax2+bx+c>0.
解
(1)(2)是,(1)(2)符合一元二次不等式的概念.
(3)不是,因为当a=0时,不等式化为0>2,不符合一元二次不等式的概念.
(4)不是,因为x的最高次数为3,不符合一元二次不等式的概念.
(5)不是,因为当m=0时,它为一元一次不等式;当m≠0时,它含有两个未知数.
(6)不是,因为当a=0时,不等式化为bx+c>0,不符合一元二次不等式的概念.
探究二
一元二次不等式的解法
例2解下列不等式:
(1)-2x2-x+6≥0;(2)x2+x+1>0;
(3)(3x-1)(x+1)>4.
分析(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.
反思感悟
一元二次不等式的解题策略
1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.
2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2变式训练
2解下列不等式:
(1)x2-4x-5≤0;
探究三
分式不等式的解法
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2)
D.(-1,2)
分析(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解;(2)根据不等式及解集,可判断a的符号及
=2.将所求不等式变形,结合一元二次不等式解法即可求得解集.
答案
(1){x|-4反思感悟
这里的f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0.
探究四
含参数的一元二次不等式的解法
例4(2020江西南昌高一月考)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
分析将原不等式因式分解化为(ax-2)(x+1)≥0,对参数a分5种情况讨论:
a=0,a>0,-2要点笔记
本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法,运用分类讨论思想求解时,要注意分类的标准要恰当,同时应做到不重不漏的原则.
变式训练
3解不等式:x2+(2-a)x-2a≥0.
解
由x2+(2-a)x-2a≥0得,(x+2)(x-a)≥0,
①当a=-2时,不等式的解集是R;
②当a>-2时,不等式的解集是(-∞,-2]∪[a,+∞);
③当a<-2时,不等式的解集是(-∞,a]∪[-2,+∞).
素养形成
求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法
1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.
设y=ax2+bx+c(a≠0),则
当未说明不等式为一元二次不等式时,有
2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.
典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
方法点睛
不等式在某区间上恒成立问题
设y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)a>0时,y<0在区间[α,β]上恒成立?二次函数在区间两个端点处的函数值均小于零;
(2)a<0时,y>0在区间[α,β]上恒成立?二次函数在区间两个端点处的函数值均大于零;
(3)y>0在区间[α,β]上恒成立?[α,β]?A,其中A是y>0的解集.
变式训练
已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(1)求函数的解析式;
(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.
解
(1)易知-2和0是y=0的两个根,可得
∴y=3x2+6x.
(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而x∈[-2,2]时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,
∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
当堂检测
1.(2020山东滕州一中高一月考)不等式-x2+3x-2>0的解集是( )
A.(-∞,1)
B.(2,+∞)
C.(1,2)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
答案
C
解析
原不等式可化为x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,解得1A.[-2,1]
B.(-2,1]
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-∞,-2]∪(1,+∞)
答案
B
3.(2021云南丽江第一高级中学高二期末)已知a,b为实数,若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2),则a-b= .?
答案
-2
解析
∵不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2),
∴方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-1,x2=2,
则x1+x2=-
=1,x1·x2=
=-2,
解得a=-1,b=1,∴a-b=-2.
本
课
结
束(共46张PPT)
2.2.4 均值不等式及其应用
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式.(数学抽象)
2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.(逻辑推理、直观想象)
3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.(逻辑推理、数学运算)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的算术平均数
作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑,那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗?
知识点一、均值不等式
【知识点拨】
名师点析
1.重要不等式
对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2.不等式a2+b2≥2ab的变形
这两个变形体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.
3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同
4.均值不等式的变形
第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.
微思考
均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.
提示
(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2
中,a,b>0.
(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).
(3)证明的方法都是作差比较法.
(4)都可以用来求最值.
微练习
答案
B
(2)已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( )
A.有最大值2,有最小值-2
B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值
D.有最大值2,有最小值0
答案
A
解析
因为a,b∈R,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.
名师点析
利用均值不等式求最值注意事项
在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.
原因是这里的x不一定为正数.只有各项为正数时才能利用均值不等式.
二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示
应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
微练习
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 .?
课堂篇
探究学习
探究一
对均值不等式的理解
分析利用均值不等式时需注意使用条件.
答案
(1)D (2)C
反思感悟
在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.
一正,a,b均为正数;
二定,不等式一边为定值;
三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解.
变式训练
1设0答案
B
探究二
直接利用均值不等式求最值
例2(1)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.80
B.77
C.81
D.82
(2)当x>1时,
的最小值为 .?
分析根据已知条件,直接利用均值不等式求最值.
答案
(1)C (2)8
反思感悟
利用均值不等式求最值时要注意:
(1)x,y一定要都是正数.
(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够成立.
探究三
间接利用均值不等式求最值
分析(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.(2)(3)先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值.
反思感悟
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
素养形成
均值不等式的变形技巧
技巧一:裂项
分析先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).
技巧二:添项
分析当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.
技巧三:放入根号内或两边平方
分析求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.
当堂检测
1.函数f(x)=2x+
(x>0)有( )
A.最大值8
B.最小值8
C.最大值4
D.最小值4
答案
B
答案
D
3.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,则代数式3x+27y的最小值是 ,此时x= ,y= .?
本
课
结
束(共33张PPT)
2.1.1 等式的性质与方程的解集
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.了解等式的性质并会应用.(数学抽象)
2.会用十字相乘法进行因式分解.(数学运算)
3.会求一元一次方程及一元二次方程的解集.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
对于方程5x-2=2x-2,甲同学的解题步骤是首先等式两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x,
然后等式两边同时除以x,得5=2.
甲同学的解题过程正确吗?
【知识点拨】
知识点一、等式的性质与恒等式
1.等式的性质
?
文字语言
符号语言
性质1
等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c.
性质2
等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.
要点笔记
等式性质的延伸:①对称性:等式左右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a;②传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换).
2.恒等式
一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一.
(1)平方差公式、两数和(差)的平方公式.
a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式)
(a+b)2=a2+2ab+b2(两数和的平方公式)
(a-b)2=a2-2ab+b2(两数差的平方公式)
(2)“十字相乘法”
对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用右图表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法被称为“十字相乘法”.
要点笔记
运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:①分解因式的多项式是二次三项式;②二次项系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和.
微思考
(1)下列各式是否正确?
③若x+a=y-a,则x=y;
④若x=y,则ax=by.
(2)什么是立方差与立方和公式?
提示
(1)①正确;②③④错误.
(2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
微练习
分解因式:x2+2xy+y2-4= .?
答案
(x+y-2)(x+y+2)
解析
x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).
知识点二、方程的解集
(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
微练习
求方程x2-3x+2=0的解集.
解
∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0,
∴x=1或x=2,∴方程的解集为{1,2}.
课堂篇
探究学习
探究一
公式法分解因式
例1分解因式:
(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.
分析掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.
解
(1)x2-25=(x+5)(x-5);
(2)a2-6a+9=(a-3)2;
(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);
(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
要点笔记
分解因式的常用方法
(1)平方差公式法;
(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;
变式训练
1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;
(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解
(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);
(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.
探究二
十字相乘法分解因式
例2把下列各式因式分解.
(1)x2+3x+2;
(2)6x2-7x-5;
(3)5x2+6xy-8y2.
解
(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2).
(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
(3)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).
要点笔记
十字相乘法分解因式易错点
用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误:一是没有验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.
变式训练
2(1)x2+10x+16分解因式为( )
A.(x+2)(x+8)
B.(x-2)(x+8)
C.(x+2)(x-8)
D.(x-2)(x-8)
(2)x2-13xy-30y2分解因式为( )
A.(x-3y)(x-10y)
B.(x+15y)(x-2y)
C.(x+10y)(x+3y)
D.(x-15y)(x+2y)
(3)6x2-29x+35分解因式为( )
A.(2x-7)(3x-5)
B.(3x-7)(2x-5)
C.(3x-7)(2x+5)
D.(2x-7)(3x+5)
答案
(1)A (2)D (3)B
解析
(1)x2+10x+16=(x+2)(x+8)
.
(2)x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y).
(3)6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5).
探究三
求方程的解集
例3求方程x(x-2)+x-2=0的解集.
分析将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.
解
把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,
从而,得x-2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=-1.
所以方程的解集为{-1,2}.
反思感悟
因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
延伸探究请用求根公式求解本例方程的解集.
解
原方程可化为x2-x-2=0,
∴x1=2,x2=-1,
∴方程的解集为{-1,2}.
素养形成
数形结合思想的应用
典例
二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3).
(1)求出m的值并画出此二次函数的图像.
(2)求此二次函数的图像与x轴的交点及函数图像顶点的坐标.
(3)x取什么值时,函数图像在x轴上方.
解
(1)由二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3),得m=3.
∴二次函数为y=-x2+2x+3.
图像如图所示.
(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.
∴二次函数图像与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.
∴函数图像的顶点坐标为(1,4).
(3)由图像可知:当-1方法点睛
本题是二次函数图像和性质的简单应用,要注意把握二次函数图像的特征,尤其是顶点、对称轴和开口方向.
当堂检测
1.下列由等式的性质进行的变形,错误的是( )
答案
D
解析
如果a=3,那么
,正确,故选项A不符合题意;如果a=3,那么a2=9,正确,故选项B不符合题意;如果a=3,那么a2=3a,正确,故选项C不符合题意;如果a=0时,两边都除以a,无意义,故选项D符合题意.
2.下列分解因式错误的是( )
A.a2-5a+6=(a-2)(a-3)
B.1-4m2+4m=(1-2m)2
C.-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)
答案
B
解析
A选项,根据十字相乘分解因式可知,A正确;B选项中1+4m2-4m=(1-2m)2,左右两边不相等,所以B错误;C选项,根据平方差公式可知C正确;D选项,根据完全平方公式可知D正确.故选B.
3.若x=3是方程3x-a=0的解,则a的值是 .?
答案
9
解析
把x=3代入方程3x-a=0得9-a=0,解得a=9.
4.(2020上海嘉定第一中学高一月考)若2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b恒成立,则a+b= .?
答案
5
解析
因为2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b,即2x2+3x+5=2ax2+3ax+a+b恒成立,
5.若式子3x2-mx-2因式分解的结果是(3x+2)(x+n),试求实数m,n的值.
本
课
结
束(共36张PPT)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根
与系数的关系
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.理解一元二次方程,会求一元二次方程的解集.(数学运算)
2.明确一元二次方程根与系数的关系并会灵活应用.(数学抽象)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
今天是高一学生小芳的生日,她的4个同学约好为她举办一个生日晚会,邻居张叔叔路过晚会现场,想了解一下他们的年龄.小芳说:我是最小的,我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说:我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.张叔叔说:“我可以算出小芳的年龄了”.如果设小芳的年龄为x,那么列出的方程是怎样的?这类方程你见过吗?它有什么特点?
【知识点拨】
知识点一、一元二次方程的解集
1.配方法
(1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为
;②当t=0时,解集为{0};③当t<0时,解集为?.
(2)一般地,方程(x-k)2=t:①当t>0时,解集为
;②当t=0时,解集为{k}
;③当t<0时,解集为
?
.
2.公式法
3.因式分解法
对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),左边若能因式分解,变成(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,根据几个因式之积为0,则至少有一个因式为0,
名师点析
(1)因式分解法是解一元二次方程的特殊方法.
用因式分解法解一元二次方程是通过因式分解把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解,它在解符合某些特点的方程时很方便,当不能用因式分解法求解时,还需要利用公式法求解.
(2)用因式分解法解一元二次方程应注意的问题.①有些一元二次方程需要变形后(如移项,去括号,合并同类项等),才能用因式分解法求解;②用因式分解法解一元二次方程时,方程的一边必须为零;③不能在方程的两边同除以含有未知数的整式.
微思考
(1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗?
提示
不一定,a≠0时为一元二次方程,a=0,b≠0时为一元一次方程.
(2)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可以化为(x-k)2=t的形式吗?
微练习
关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是( )
A.两个不等的实数根
B.两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
C
解析
∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,
∴该方程无实数根.
知识点二、一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下关系:
名师点析
(1)根与系数的关系的应用:①不解方程,求与方程的根有关的代数式的值;②已知方程一根,求方程的另一根;③与根的判别式相结合,解决一些综合题.
(2)常见的涉及一元二次方程两根x1,x2的代数式的重要变形.
微思考
利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件?
提示
先把方程化为ax2+bx+c=0的形式,然后验证,是否满足a≠0,
Δ=b2-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.
微练习
一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为 .?
答案
2
解析
设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-
=2.
课堂篇
探究学习
探究一
求一元二次方程的解集
例1用适当的方法求下列方程的解集.
(1)x2-2x-8=0; (2)2x2-7x+6=0;
(3)(x-1)2-2x+2=0.
分析根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程.
解
(1)(方法一)移项,得x2-2x=8,
配方,得(x-1)2=9,由此可得x-1=±3,
∴x1=4,x2=-2,∴方程的解集为{-2,4}.
(方法二)原方程可化为(x-4)(x+2)=0,
∴x-4=0或x+2=0,∴x1=4,x2=-2,
∴方程的解集为{-2,4}.
(3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0.
因式分解,得(x-1)(x-1-2)=0,
∴x-1=0或x-3=0,
∴x1=1,x2=3,∴方程的解集为{1,3}.
反思感悟
一元二次方程的常见解法
(1)开平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±
或mx+n=±
,从而通过降次转化为一元一次方程.
(2)配方法:
用配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式;
②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式;
③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
④用直接开平方法解变形后的方程.
(3)因式分解法
①平方差公式法;
②完全平方公式法;
③提取公因式法;
④十字相乘法.
(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:当b2-4ac≥0时,
变式训练
1求下列方程的解集:
(1)4x2-4x-1=0; (2)x2+3x+1=0;
(3)x2-7x+10=0.
(3)∵x2-7x+10=(x-2)(x-5),
∴原方程可化为(x-2)(x-5)=0,从而可知x-2=0或x-5=0,即x=2或x=5.
∴方程的解集为{2,5}.
探究二
直接应用根与系数的关系进行计算
例2已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别是x1,x2,请利用根与系数的关系求:
分析先求x1+x2,x1x2,再用它们表示所求.
反思感悟
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时,要先根据原方程求出两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式,然后代入求值.
答案
(1)15 (2)10
探究三
一元二次方程根与系数关系的应用
例3已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0.
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解
(1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有两个不相等的实根.
(2)设方程的另一个根为x2,∴-1×x2=-3,解得x2=3.
∵-1+3=m,∴m=2.
反思感悟
一元二次方程根的情况
1.一元二次方程的判别式
方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a≠0):
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2,则有:x1+x2=-
,x1x2=
.
(2)以两个实数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
变式训练
2已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.
解
(1)依题意得Δ≥0,
即[-2(k-1)]2-4k2≥0,解得k≤
.
(2)依题意,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.
又由(1)知k≤
,∴x1+x2=2(k-1)<0,
∴x1+x2=-(x1x2-1),即2(k-1)=-(k2-1),
解得k1=1,k2=-3.
∵k≤
,∴k=-3.
素养形成
整体代入法求代数式的值
典例
若a是方程x2+x-2
019=0的一个实数根,则2a2+2a-1的值是 .?
解析
∵a是方程x2+x-2
019=0的根,
∴a2+a-2
019=0,即a2+a=2
019.
∴2a2+2a-1=2×2
019-1=4
037.
答案
4
037
方法点睛
根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2
019,然后利用整体代入法计算即可,不需求出方程的根.
当堂检测
1.下列方程中,无实数根的方程是( )
A.x2+1=0
B.x2+x=0
C.x2+x-1=0
D.x2=0
答案
A
解析
A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程无实数根;
B.∵Δ=12>0,∴方程有两个不相等实数根;
C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有两个不相等实数根;
D.∵Δ=0,∴方程有两个相等实数根.
故选A.
2.已知关于x的方程x2+mx+m=0有两个实数根,则m的取值范围为( )
A.[4,+∞)
B.(-∞,0)∪(4,+∞)
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.(0,4)
答案
C
解析
由题意知,Δ=m2-4m≥0,解得m≥4或m≤0.故选C.
3.已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1,则k= .?
答案
2
解析
依题意,得2×12-3k×1+4=0,即2-3k+4=0,解得k=2.
答案
-1 3
5.已知关于x的方程x2-2x+m-1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个实数根是5,求此方程的另一个根.
解
(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2,即m的取值范围是(-∞,2).
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
本
课
结
束(共42张PPT)
2.1.3 方程组的解集
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.会根据等式的性质求方程组的解集.(数学抽象、数学运算)
2.会利用消元法解方程组的解集.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x,y,z,则
当z=81时,x= ,y= .?
【知识点拨】
知识点一、二元一次方程组的解集
1.方程组的解集
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
2.二元一次方程组
方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
名师点析
二元一次方程组的解法
(1)代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
(2)加减消元法:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
微思考
解二元一次方程组的基本思路是什么?
提示
解二元一次方程组的基本思路是消元,把“二元”变为“一元”.
微练习
求下列方程组的解集.
解
(1)由②得y=4-2x,③
把③代入①,得3x+4(4-2x)=6,解这个方程,得x=2,把x=2代入③,得y=0,所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,0)}.
(2)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解这个一元一次方程,得x=2,把x=2代入①,得y=1,所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,1)}.
(3)②×2,得10x+4y=20,③
③-①,得7x=14,解得x=2,把x=2代入①,得6+4y=6,解得y=0.所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,0)}.
知识点二、三元一次方程组和二元二次方程组
1.三元一次方程组
方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
名师点析
三元一次方程组的解法
(1)解三元一次方程组时,先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点,然后确定先要消去的未知数,再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元,达到消元的目的.
(2)三元一次不定方程组的解法
当“三元一次方程组”只含有两个方程时,我们将其中一个未知数看成已知数,此时,方程组即二元一次方程组,利用消元思想即可求解.
2.二元二次方程组
二元二次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程.
二元二次方程组:方程组中含有两个未知数,含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组.
要点笔记
(1)二元二次方程组有两种类型:一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成;二是由两个二元二次方程组成,我们主要学习第一种类型.
(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次.
微思考
解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些?
提示
解三元一次方程组的基本思想是消元,其方法有代入消元法和加减消元法两种,通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.
解三元一次方程组时要特别注意:①三元一次方程组的解法多种多样,只要逐步消元,解出每一个未知数即可;②解三元一次方程组时,每一个方程都至少要用到一次,否则解出的结果也不正确.
微练习
课堂篇
探究学习
探究一
二元一次方程组的解集及其应用
分析方程组整理后,利用加减消元法求解即可.
①-②得4y=28,即y=7.
把y=7代入①得x=5.
则方程组的解集为{(5,7)}.
要点笔记
二元一次方程组的求解策略
解二元一次方程组,通常利用消元的思想,消元的方法有:代入消元法和加减消元法.
变式训练
1求下列方程组的解集:
②×2-①,得x=1.
将x=1代入②,得y=-3.
所以原方程组的解集为{(1,-3)}.
①+②,得30x=60,解得x=2.
将x=2代入①,得y=3.
所以原方程组的解集为{(2,3)}.
探究二
二元二次方程组的解集
分析根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
解
由方程①,得(x+y)(x-y)=-3,③
由方程②,得x+y=-1,④
联解③④,得x-y=3,⑤
联解④⑤,得x=1,y=-2.
所以原方程组的解集为{(1,-2)}.
要点笔记
二元二次方程组的解法
解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程求解.
探究三
三元一次方程组的解集
例3求下列方程组的解集:
分析(1)方程2x-y=7是二元一次方程,可以将另外两个方程结合起来消去z,再和2x-y=7联立求解即可;或将y用含x的代数式表示出来,再分别代入前两个方程,消去y,解方程组,进而得到原方程组的解集.(2)由x∶y=3∶2,y∶z=2∶5,得x∶y∶z=3∶2∶5,引入参数k,用含k的式子分别表示x,y,z,再代入③中,求出k的值,或将x与z用含y的式子表示出来,代入③,进而求出原方程组的解集.
解
(1)(方法一)①×2+②,得5x+8y=7,
④
把x=3,y=-1代入①,得3+3×(-1)+2z=2,所以z=1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}.
(方法二)由③,得y=2x-7,④
把④代入①,整理得7x+2z=23,⑤
把④代入②,整理得7x-4z=17,⑥
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}.
(2)(方法一)由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5.
设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0),并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2.
所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}.
把y=4分别代入④和⑤,得x=6,z=10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}.
反思感悟
(1)解三元一次方程组时若能根据题目的特点,灵活地进行消元,则可准确、快速地求解.消去一个未知数把“三元”转化为“二元”的方法:①先消去某个方程缺少的未知数;②先消去系数最简单的未知数;③先消去系数成整数倍的未知数;④注意整体加减或代入的应用.(2)解特殊的三元一次方程组的技巧:解特殊的三元一次方程组时,应具体问题具体分析,观察方程组的特点及未知数系数之间的关系,灵活消元.对于一些特殊的方程组,有特殊的解法,例如:若一个方程组由两个方程构成,其中一个方程是x∶y∶z=a∶b∶c(a,b,c为常数,且都不为0),另一个方程是关于x,y,z的三元一次方程,解这种方程组时,可引入k(k≠0),用含k的式子表示x,y,z,再代入三元一次方程中,化“三元”为“一元”,求出k的值,进而可求出x,y,z的值.
变式训练
3求下列方程组的解集:
解
(1)①+③,得3x+5y=11,④
③×2+②,得3x+3y=9,即x+y=3.⑤
把x=2,y=1代入③,得2+2-z=5,所以z=-1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(2,1,-1)}.
(2)(方法一)①+②+③,得2x+2y+2z=8,即x+y+z=4,④
④-①,得z=3.
④-②,得x=-1.
④-③,得y=2.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(-1,2,3)}.
(方法二)②-①,得z-x=4,④
把x=-1代入①,得-1+y=1,所以y=2.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(-1,2,3)}.
探究四
方程组的解集实际应用
例4“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1
500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载:“今有雏兔同笼,上有二十五头,下有七十六足,问雏兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有25个头;从下面数,有76条腿,问笼中各有几只鸡和兔?
分析设笼中有x只鸡,y只兔,根据“上有二十五头,下有七十六足”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
解
设笼中有x只鸡,y只兔,
∴原方程组的解集为{(12,13)}.
答:笼中有12只鸡,13只兔.
反思感悟
二元一次方程组的实际应用
本题考查了二元一次方程组的应用,解答此类问题的关键是读懂题意,合理设出未知数,找出等量关系,列方程组求解.
变式训练
4某天,一蔬菜经营户用90元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共50
kg,然后在市场上按零售价出售,西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示:
如果西红柿和豆角全部以零售价售出,他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱?
品名
西红柿
豆角
批发价(单位:元/kg)
2.0
1.5
零售价(单位:元/kg)
2.9
2.6
解
设购进西红柿x
kg,购进豆角y
kg,
∴(2.9-2)x+(2.6-1.5)y=49.
答:他当天卖这些西红柿和豆角赚了49元钱.
当堂检测
1.若|2m-n-7|+(m+n+1)2=0,则m-2n的值是( )
A.8
B.-4
C.4
D.-8
答案
A
解析
由|2m-n-7|+(m+n+1)2=0,可得
两式相加得3m-6=0,解得m=2.将m=2代入m+n+1=0,则2+n+1=0,解得n=-3,因此,
m-2n=2-2×(-3)=8.故选A.
2.小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元;小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元,则买2本数学书和1本语文书要花( )
A.25元
B.30元
C.35元
D.45元
答案
C
解析
设1本数学书的价格为x元,1本语文书的价格为y元,
即买2本数学书和1本语文书要花35元.
答案
1∶2∶3
答案
{(-2,-2),(1,1)}
解
由方程②,得y=1-x.③
把方程③代入方程①,得x2+(1-x)2=1.
整理,得x2-x=0.
解得x1=0,x2=1.
把x=0代入方程③,得y=1;
把x=1代入方程③,得y=0.
所以方程组的解集为{(0,1),(1,0)}.
本
课
结
束(共49张PPT)
2.2.1 不等式及其性质
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.了解日常生活中的不等关系.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质.(数学抽象)
3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证明.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了,一名女演员双手抚摸着短裙,眼里闪烁着倔强和自信的目光.只见她踮起脚尖,一个优雅的旋转,轻盈地提着舞裙,飘然来到台上,在追光灯下飘起舞裙,那飘洒翩跹的舞姿,把整个舞台化成一片
梦境……她为什么要踮起脚尖呢?因为一般的人,下半身长x与全身长y的比值
在0.57~0.6之间.设人的脚尖立起提高了m,则下半身长与全身长度的比由
变成了
,这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用,不等式还有哪些重要的性质呢?
【知识点拨】
知识点一、不等关系与不等式、实数大小的比较
1.不等关系与不等式
(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不小于
不大于
>?
≥
≤
≤
≥
≥
≤
(2)不等式的定义:含有不等号的式子.
名师点析
不等式a≥b和a≤b的含义
(1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a2.实数大小的比较
(1)数轴上的两点A,B的位置关系与其对应实数a,b的大小关系
①数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B),如下:
点A,B的位置关系
点A和点B重合
点A在点B右侧
点A在点B左侧
实数a,b的大小关系
a=b
a>b
a(2)比较两个实数的大小
方法
作差法
依据
a-b>0?a>b
a-b<0?aa-b=0?a=b?
结论
对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a名师点析
比较两个实数大小的方法
1.数轴比较法:在数轴上分别标出两个数,右边的数总比左边的数大.
2.比差法:设两个实数分别为a,b.若a-b<0,则a0,则a>b.
微思考
(1)怎样比较a2+b2与2ab的大小关系?
提示
(作差法)
∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab.
(2)已知
,如果c>d,那么a>b是否一定成立?请说明理由.
提示
不一定成立.如当c=1,d=-1时,c>d,此时若a=-1,b=1,也满足
,但不满足a>b.
微练习
(1)已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是( )
A.t>s B.t≥s
C.tD.t≤s
A.P≥Q
B.P≤Q
C.P>Q
D.P答案
(1)D (2)C
知识点二、不等式的性质
1.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么a+c>b+c;
(2)性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;
(3)性质3:如果a>b,c<0,那么ac(4)性质4:如果a>b,b>c,那么a>c.
(5)性质5:a>b?b2.不等式的性质的推论
(1)推论1:如果a+b>c,则a>c-b;
(2)推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
;
(3)推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd
;
(4)推论4:如果a>b>0,那么
an>bn
(n∈N,n>1);
(5)推论5:如果a>b>0,那么
.
名师点析
1.对不等式性质的理解
(1)性质5和性质4,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识.
(2)性质1(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.
(3)性质2,3(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.
(4)推论2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.
(5)推论3和推论4(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.
(6)性质1和性质5是双向推导,其他是“单向”推导.
2.不等式性质的适用条件
(1)在应用不等式的性质4时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如a≤b,b当两个不等式都带等号时,要特别注意两个不等式同时取等号的条件是否具备,否则等号不能传递过去.
(2)在应用性质2,3时,要特别注意“乘数c的符号”.例如当c≠0时,若a>b,则ac2>bc2;若无c≠0这个条件,即若a>b,则ac2>bc2就是错误的.
(3)若a>b>0,则an>bn>0(n∈N,n>1)的成立条件是“n为大于1的自然数,a>b>0”.假如去掉n为大于1的自然数这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-1>2-1,即
的错误结论,假如去掉b>0这个条件,取a=3,b=-4,n=2,那么就会出现32>(-4)2的错误结论.
不等式相乘时,不等式不仅要同向,而且还要各数都为正.
微思考
利用不等式性质应注意哪些问题?
提示
在使用不等式时,一定要弄清不等式(组)成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意.
微练习
用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2 bc2;?
(2)若a+b>0,b<0,则b a;?
(3)若a>b,c(4)已知x<1,则x2+2 3x.?
答案
(1)≥ (2)< (3)> (4)>
解析
(1)∵当c2>0时,有ac2>bc2,当c2=0时,有ac2=bc2,故应填“≥”;
(2)∵a+b>0,b<0,∴a>0,∴b(3)∵c-d,又a>b,
∴a-c>b-d,故应填“>”;
(4)∵x2-3x+2=(x-2)(x-1),而x<1,∴x-2<0,x-1<0,则(x-2)(x-1)>0,即x2-3x+2>0,
∴x2+2>3x,故应填“>”.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)若a>b,cb-d.( )
(4)已知a>b,e>f,c>0,则f-ac答案
(1)
√
(2)× (3)
√
(4)
√
知识点三、直接证明与间接证明
1.直接证明
(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显
成立的条件
2.间接证明
反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
微练习
答案
C
课堂篇
探究学习
探究一
应用不等式的性质证明不等式
反思感悟
证明不等式的解题策略
1.利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
3.除了熟练掌握不等式的性质外,还应掌握一些常用的证明方法.如作差比较法、作商比较法、分析法等.
探究二
利用不等式的性质求范围
例2已知1分析先根据a,b的取值范围得出2a,3b,-b的取值范围,再根据同向不等式的可加性求出2a+3b与a-b的取值范围.
解
∵1∴8<2a+3b<32.
∵2又∵1∴1+(-8)故2a+3b的取值范围是(8,32),a-b
的取值范围是(-7,2).
反思感悟
利用不等式的性质求代数式的范围要注意的问题
1.恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.
2.运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,切不可用似乎是很显然的理由,代替不等式范围的求解.
探究三
综合法与分析法的应用
例3设a≥b>0,证明:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)
证明
(方法一)综合法:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)
=(3a2-2b2)(a-b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
(方法二)分析法:要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,
只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,
∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,
∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,∴原不等式得证.
要点笔记
分析综合法的解题思路
分析法和综合法的解题思路是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.
探究四
不等式性质的实际应用
例4建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于
,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.
反思感悟
一般地,设a,b为正实数,且a0,则
.利用这个不等式,可以解释很多现象,比如b
g糖水中有a
g糖(b>a>0),若再添上m
g糖(m>0且未达到饱和状态),则糖水变甜了.
延伸探究现有A,B,C,D四个长方体容器,A,B的底面积均为a2,C,D的底面积均为b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且a≠b.现在规定一种游戏规则:每人一次从四种容器中取两个,盛水总和多者为胜.请研究对于先取者是否有必胜的方案?如果有,有几种?
解
设A,B,C,D四个容器的容积依次为VA,VB,VC,VD.
由题意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.
将A,B,C,D两两一组进行比较有下列三种可能:
(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)·(a+b)2,
(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)·(a2+b2),
(VA+VD)-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)·(a-b)2.
由题设知,a>0,b>0,a≠b,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判断其大于0,而其他两组结果的正负依赖于a,b的取值.a>b时为正,a因此,先取A,D者必胜,并且答案是唯一的.
素养形成
作差(商)法比较大小
典例
已知x∈R,m∈R,比较x2+x+1与-2m2+2mx的大小.
分析分别把“x2+x+1”与“-2m2+2mx”视为整体,利用作差比较法进行比较.
方法点睛
作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法,但是它们又有各自的适用范围,对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决.
(1)一般实数大小的比较都可以采用作差法,但是我们要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解,配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系的式子.
(2)作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子的大小的比较.
当堂检测
1.(2020河南高二月考)已知实数a>b>0,则下列结论正确的是( )
A.ac2>bc2
B.
C.a2D.ab答案
B
解析
因为a>b>0,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;因为
,故B正确;a2-ab=a(a-b)>0,即a2>ab,故C错误;ab-b2=b(a-b)>0,故D错误.故选B.
2.(多选题)(2020海南高一期末)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有( )
A.a+c≥b+c
B.-a≤-b
C.a2≥b2
D.
答案
ABD
解析
因为a-b≥0,所以a≥b.根据不等式的性质可知A,B正确;因为a,b的符号不确定,所以C不正确;
3.设m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,则m,n的大小关系是 .?
答案
m≥n
解析
m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a2≥0.
本
课
结
束(共32张PPT)
习题课 均值不等式的应用
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.能够利用均值不等式证明一般不等式.
2.能够利用均值不等式解决实际问题.
课前篇
自主预习
知识点、均值不等式
如果a,b都是正数,那么
,当且仅当a=b时,等号成立.
微思考
均值不等式
应用的条件是什么?
提示
一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.
课堂篇
探究学习
探究一
“常数代换法”求最值
答案
4
要点笔记
在利用均值不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用均值不等式为止.
答案
1
变式训练
1若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
答案
C
探究二
利用均值不等式证明不等式
分析(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用均值不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用均值不等式,可得三个“2”连乘;又
,可由此变形入手.
反思感悟
利用均值不等式证明不等式的注意事项
(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用均值不等式时,可将原不等式进行组合、构造,变成能使用均值不等式的形式.
(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,然后经过整理后再利用均值不等式进行证明.
探究三
均值不等式的实际应用
例3某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:
(1)每套丛书售价定为100元时,书商所获得的总利润是多少万元?
(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?
分析(1)先确定每套丛书定价为100元时的销售量,从而可得每套供货价格,根据销售每套丛书的利润=售价-供货价格,可求得书商能获得的总利润;(2)先确定每套丛书售价范围,再确定单套丛书利润,利用均值不等式,可求单套丛书的利润最大值.
反思感悟
应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
变式训练
3(2020北京高一月考)党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村居住环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的号召,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3
000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?
素养形成
一题多解
分析要求x+y的最小值,根据均值不等式,应构建某个积为定值.这需要对条件进行必要的变形,可进行“1”的代换,也可以“消元”等.
方法点睛
本题给出了两种方法,都用到了均值不等式,且都对式子进行了变形,配凑出满足均值不等式的条件,这是应用均值不等式解决问题的常用方法.在应用均值不等式解决问题时,要学会观察,学会变形.另外,方法二通过消元,化二元问题为一元问题时,要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制(消去x后,原来x的限制条件,应当由代替它的y来“接班”,此限制条件不会因“消元”而凭空消失).
当堂检测
答案
C
2.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
答案
D
3.若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 .?
答案
25
m2
4.已知a,b,c为任意实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
证明
∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
本
课
结
束(共24张PPT)
章末整合
第二章
2021
内容索引
01
02
知识网络
系统构建
题型突破
深化提升
知识网络
系统构建
题型突破
深化提升
专题一
一元二次方程的解集及其根与系数的关系
方法技巧一元二次方程的解集及其根与系数的关系,虽在高考中不直接考查,但它是解决某些数学问题的基础,常在解题过程中用到,主要涉及一元二次方程的解集及其根与系数的关系的应用.
变式训练
1已知关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0.
(1)求证:方程有两个实数根;
(2)当k为何值时,此方程的两个实数根互为相反数;
(3)我们定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1,x2(x1>x2),满足2<
<3,则称这个一元二次方程有两个“梦想根”.如果关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有两个“梦想根”,求k的取值范围.
(1)证明
∵关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0,a=k,b=-(k-1),c=-1,
Δ=b2-4ac=[-(k-1)]2-4k×(-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0,∴关于x的一元二次方程
kx2-(k-1)x-1=0有两个实数根.
专题二
利用均值不等式求最值
例2已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( )
答案
C
方法技巧运用均值不等式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用.当应用不等式的条件不满足时,要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形,使之满足使用不等式的条件,解题时要特别注意等号成立的条件.
答案
C
专题三
不等式恒成立与不等式有解问题
例3已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集是(-1,3),若对于任意x∈[-1,0],不等式f(x)+t≤4恒成立,则t的取值范围是( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,-2]
C.(-∞,-4]
D.(-∞,4]
答案
B
要点笔记
不等式在某区间上恒成立与不等式在某区间上有解(解集非空)问题是既有联系又有区别的两种情况,解题时应特别注意,两者都可转化为最值问题.
变式训练
3若不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为( )
答案
B
解析
∵不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,
专题四
解含有参数的不等式
分析对a进行分类讨论,解不等式.注意讨论二次项系数等于0,及二次项系数不为0时两个根的大小关系.
方法技巧在解答含参的一元二次型的不等式时,为了做到分类不重不漏,常从以下三个方面考虑:
一是二次项系数分为正数,0与负数;二是关于不等式对应的方程的根的存在性的讨论,从判别式大于0,等于0,小于0进行分类;三是关于不等式对应的方程的根的大小的讨论,两根之间的大小进行讨论.
变式训练
4解关于x的不等式ax2-x>0.
本
课
结
束