(共44张PPT)
2.1 坐标法
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系.(数学抽象)
2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式.(逻辑推理)
3.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式.(逻辑推理)
4.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性.(数学运算、直观想象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考,思考着如何确定事物的位置,这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上,蜘蛛迅速爬过去把它捉住,笛卡尔此时恍然大悟,同学们能说出笛卡尔的新想法吗?
知识点拨
1.数轴上的基本公式
(1)数轴的定义
给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.
(2)数轴上的基本公式
①如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且B(x2),
②若A(x1),B(x2),M(x)为数轴上线段AB的中点,则可得到数轴上的中点坐标
微判断
如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.( )
答案
√
微思考
微练习
答案
-8 2 2
2.平面直角坐标系中的基本公式
(1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式:
(2)平面直角坐标系内的中点坐标公式
微练习
已知在平面直角坐标系中,点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标.
解
设点P(x,0),则|PA|=
=13,解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0).
微思考
P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示
P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
微判断
若△ABC三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐
答案
×
3.坐标法
通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,这种解决问题的方法称为坐标法.
微练习
在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,
则=
( )
A.2 B.4 C.5 D.10
答案
D
解析
如图,以C为原点,CB,AC所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),则
课堂篇
探究学习
探究一
数轴上的坐标运算
例1已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值.
①两点间距离为5;
②两点间距离大于5;
③两点间距离小于3.
解
数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|.
①根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10.
②根据题意得|5-a|>5,
即5-a>5或5-a<-5,故a<0或a>10.
③根据题意得|5-a|<3,
即-3<5-a<3,故2
变式训练1|x-1|+|x+2|的最小值为 .?
答案
3
解析
|x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离.
所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3.故|x-1|+|x+2|的最小值为3.
探究二
平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用
例2已知点A(a,3),B(3,3a+3)之间的距离为5,求a的值.
分析由两点之间的距离公式可以表示出|AB|,而|AB|=5,可得关于a的方程,解方程即可求出a的值.
即(a-3)2+(3a)2=25,
展开得a2-6a+9+9a2=25,
所以10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,
反思感悟1.点A与点B之间的距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.
2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.
变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为( )
答案
B
探究三
平面直角坐标系内中点坐标公式的应用
例3已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
分析由于AC,BC的中点的连线为△ABC中位线,应与底边AB平行.又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上.根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解.
反思感悟1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识
(1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量.
(2)从图像上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点.
2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键.
变式训练3已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )
答案
D
探究四
坐标法在平面几何图形中的应用
例4已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=
|BC|.
证明
如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
反思感悟建立平面直角坐标系的常见技巧
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.
(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.
延伸探究本例中条件不变,试用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.
证明
如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得
|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,
|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,
|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2.
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.
素养形成
易错点——因扩大取值范围而致错
错因分析没有验证等号是否成立,导致扩大了y的取值范围,实际上x是同步的,不能轻易分开.若分别讨论,必须验证等号成立的条件是否满足题意.
【规范答题】
令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.
这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题.
如图所示,作出点A关于x轴的对称点A'(0,-1),连接BA'交x轴于点P,可知|BA'|即为|PA|+|PB|的最小值.
当堂检测
1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是( )
A.C(-3)和D(-4)
B.C(3)和D(4)
C.C(-4)和D(3)
D.C(-4)和D(-3)
答案
A
答案
C
3.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
B
4.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则△ABC重心G的坐标为 .?
答案
(0,1)
5.已知?ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.
本
课
结
束(共41张PPT)
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)
2.理解用代数的方法探索直线斜率的过程.(逻辑推理)
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题.(数学运算)
4.初步理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.(直观想象、逻辑推理)
课前篇
自主预习
激趣诱思
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程,大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区.俯瞰长江,泄洪观景区和185米水位线的观景区则是波澜壮阔、雷霆万钧.浩大工程展现了国人的智慧和匠心.大坝上不同位置有的坡度“陡峭”,有的“平缓”,我们平常说的词语“陡峭”和“平缓”在数学中是如何刻画的呢?
知识点拨
1.直线的倾斜角
一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.这样直线倾斜角的取值范围为[0°,180°)(即[0,π)).
微判断
平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角.( )
答案
√
微练习
直线x=0的倾斜角为 .?
答案
90°
2.直线的斜率
(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan
θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为
当x1=x2时,直线l的斜率不存在.
名师点析斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角
(范围)
α=0°
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180°
斜率
(范围)
k=0
k>0
不存在
k<0
微判断
(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.( )
(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( )
答案
(1)× (2)× (3)√ (4)×
微练习
下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1)
D.(-2,2)与(-2,5)
答案
D
解析
选项D中,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,即斜率不存在.
微思考
直线的斜率越大,倾斜角越大,对吗?
提示
不对,它们之间的变化规律如下:
①当0°≤α<90°时,随α的增大,斜率k在[0,+∞)范围内增大;②当α=90°时,斜率不存在;
③当90°<α<180°时,随α的增大,斜率k在(-∞,0)范围内增大.
3.直线的方向向量和直线的法向量
?
定义
符号表示
方向向量
如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量
a∥l
法向量
如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量
v⊥l
微思考
已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的方向向量a和法向量v吗?该直线的斜率是多少?
课堂篇
探究学习
探究一
直线的倾斜角
例1(1)直线x=-1的倾斜角为( )
A.135°
B.90°
C.45°
D.0°
(2)下列说法正确的是( )
A.一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α在第一或第二象限
C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°
D.不是每一条直线都有倾斜角
(3)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.[0°,90°)
B.[90°,180°)
C.(90°,180°)
D.(0°,180°)
答案
(1)B (2)C (3)C
解析
(1)因为直线与x轴垂直,所以倾斜角为90°.
(2)由倾斜角的定义可知,A错误;倾斜角的范围是[0°,180°),故B错误;和x轴平行的直线的倾斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误.
(3)直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是(90°,180°).
反思感悟求直线的倾斜角的方法及注意点
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意:
①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;
②注意直线倾斜角的取值范围.
变式训练1(1)已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的取值范围为( )
A.[25°,155°)
B.[-25°,155°)
C.[0°,180°)
D.[25°,205°)
(2)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 .?
答案
(1)D (2)60°或120°
解析
(1)因为直线l的倾斜角为θ-25°,
所以θ-25°∈[0°,180°),
所以θ∈[25°,205°).
(2)有两种情况:如图①,直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°;
如图②,直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°.
探究二
直线的斜率和倾斜角的关系
例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
分析(1)根据斜率公式列出关于m的方程即可;
(2)当直线倾斜角为90°时,利用直线上点的横坐标相等这一特征列等式即可.
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.
反思感悟通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan
α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视.
延伸探究(1)本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
(2)若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
探究三
求直线的方向向量和法向量
例3已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:
直线的一个方向向量a,法向量v,斜率k与倾斜角θ.
解
根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为
=(3-(-1),
2-(-2))=(4,4),∴取a=(4,4).
再根据a与v垂直,因此取v=(4,-4).
直线的斜率k=
=1,再由tan
θ=k=1,得θ=45°.
综上可知,该直线的一个方向向量为(4,4),法向量为(4,-4),斜率为1,倾斜角为45°.
反思感悟1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一定要明确其定义.
2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
变式训练2若直线l的倾斜角为
,则l的一个方向向量d可以是 .(只需填写一个)?
答案
(1,-1)
探究四
斜率公式的综合应用
例4已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求
的最大值和最小值.
分析根据
的几何意义,本题的实质是求线段y=-2x+8(2≤x≤3)上的点与原点连线的斜率的最值.
要点笔记利用斜率公式解决代数问题的关键是根据题目中代数式的特征,看是否可以先写成
(x1≠x2)的形式,从而联想其几何意义(即直线的斜率),再利用几何图形的直观性来分析、解决问题.
变式训练3(1)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是 .?
(2)求证:A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.
(1)答案
(-2,1)
解析
因为直线的倾斜角为钝角,
所以直线的斜率小于0,
(2)证明
方法一:利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率,
素养形成
易错点——因忽略斜率不存在的情况而致错
案例设直线l过点A(7,12),B(m,13),求直线l的斜率k,并说明倾斜角α的取值范围.
错因分析上述产生错误的根源是没有讨论m=7这种斜率不存在的情形.
【规范答题】
正解
当m=7时,直线l与x轴垂直,
斜率不存在,倾斜角α=90°;
防范措施要明确直线的斜率公式是在x1≠x2的条件下才成立的,当x1=x2时斜率是不存在的.因此在遇到点的坐标有参数存在时,要注意参数的取值范围,若不能排除斜率不存在的情形,则需要进行分类讨论.
迁移应用若直线l的斜率k≤1,求倾斜角α的取值范围.
解
当k≥0时,∵tan
45°=1,∴当0≤k≤1时,0°≤α≤45°;当k<0时,90°<α<180°.
∴当k≤1时,倾斜角α的取值范围是[0°,45°]∪(90°,180°).
当堂检测
1.过点P(-2,m)和点Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为( )
A.1
B.4
C.1或3
D.1或4
答案
A
2.(多选)若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题是假命题的有( )
A.若α1<α2,则两直线的斜率k1B.若α1=α2,则两直线的斜率k1=k2
C.若两直线的斜率k1D.若两直线的斜率k1=k2,则α1=α2
答案
ABC
3.直线y=-
x+9的斜率为 ,一个方向向量为 ,倾斜角为 ,一个法向量为 .?
4.直线l过点A(1,2)且不过第四象限,则l的斜率k的取值范围是 .?
答案
[0,2]
解析
在平面直角坐标系中观察符合题意的直线,再求斜率的范围.如图所示,当直线l在l1位置时,k=0;当直线l在l2位置时,k=
=2,故直线l的斜率的取值范围是[0,2].
6.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,求直线l的斜率的取值范围.
解
如图所示,直线l与线段AB相交,只需直线l绕点P按逆时针从PB转到PA,即为直线l的范围.
因为kPB=
,kPA=-4,但过点P且垂直于x轴的直线的斜率是不存在的,所以在旋转过程中,l的斜率由kPB变化到无穷大,此时倾斜角在增大.
当倾斜角转过90°时,斜率又由无穷小到kPA,所以直线l的斜率的取值范围
本
课
结
束(共29张PPT)
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解直线与方程的关系.
(数学抽象)
2.理解点斜式方程和斜截式方程的推导,并能明确其适用条件.(逻辑推理)
3.知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数含义.(逻辑推理、直观想象)
4.能利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决一些相关实际问题.(数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
问题1 一次函数y=kx+b的图像是一条直线l1,如果把x,y看做未知数,那么y=kx+b就是一个方程.直线l1上的点的坐标和方程的解之间有什么关系呢?
问题2 在平面直角坐标系内,如果一条直线l经过一个定点P0(x0,y0),其斜率为k,能否将直线上所有的点的坐标(x,y)满足的关系表示出来呢?
知识点拨
1.直线与方程
一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.
微判断
(1)如图所示,线段AB的方程为y=x+1.( )
(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.( )
答案
(1)× (2)×
2.直线的点斜式方程
?
点斜式
已知条件
点P(x0,y0)和斜率k
图示
方程形式
y-y0=k(x-x0)
适用条件
斜率存在
微判断
直线y-3=m(x+9)恒过定点(9,-3).( )
答案
×
微练习
过点(1,1)且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 .?
答案
y-1=x-1
微思考
方程
=k和y-y0=k(x-x0)表示同一条直线吗?
提示
方程
=k和y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的直线缺少一个点P0(x0,y0).
3.直线的斜截式方程
?
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y=kx+b
适用条件
斜率存在
名师点析(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图像就一目了然.因此,在解决直线的图像问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.
微判断
(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离( )
(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.( )
答案
(1)× (2)×
微练习
(1)已知直线的斜率是2,且在y轴上的截距是-3,则此直线的方程是( )
A.y=2x-3 B.y=2x+3
C.y=-2x-3
D.y=-2x+3
答案
A
(2)直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( )
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
答案
B
课堂篇
探究学习
探究一
直线的点斜式方程
例1求满足下列条件的直线的方程:
(1)过点P(-4,3),斜率k=-2;
(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;
(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.
分析利用直线的点斜式方程及特殊位置的直线表示形式解答.
解
(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),整理得所求方程为y=-2x-5.
(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行,则斜率k=0,
故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.
(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,
又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.
反思感悟利用点斜式求直线方程的步骤
(1)确定直线要经过的定点(x0,y0);
(2)明确直线的斜率k;
(3)由点斜式直接写出直线方程.
注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0.
变式训练求斜率是直线y=x+1的斜率的3倍,且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点P(3,4);
(2)在x轴上的截距是-5.
解
直线y=x+1的斜率为1.
由题意可得,所求直线的斜率k=3.
(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即y=3x-5.
(2)由题意知直线经过点(-5,0),所求直线的方程是y-0=3(x+5),即y=3x+15.
探究二
直线的斜截式方程
例2已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.
(1)求直线l的方程;
(2)当m为何值时,直线通过(1,1)点?
分析(1)直接套用直线的斜截式方程;(2)将点(1,1)代入所设方程求m.
解
(1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.
(2)只需将点(1,1)代入方程y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.
反思感悟对直线的斜截式方程的理解要注意以下几点:
(1)由直线的斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特殊情况.
(2)直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线.
(3)斜截式方程y=kx+b的特点:左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|.
延伸探究(1)将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程?
(2)将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?
解
(1)直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.
当堂检测
1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( )
A.直线经过点(-1,2),斜率为-1
B.直线经过点(2,-1),斜率为-1
C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1
D.直线经过点(-2,-1),斜率为1
答案
C
解析
由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直线的斜率为-1,过点(-1,-2).
答案
B
3.已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为( )
答案
D
4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
答案
D
5.已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的点斜式方程为 .?
6.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程.
本
课
结
束(共47张PPT)
第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.会利用方向向量推导出直线的两点式方程.(逻辑推理)
2.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系.(逻辑推理)
3.结合图示明确直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围.(直观想象)
4.根据提供的条件,能恰当地选取合适的方程形式解决实际问题,并能进行方程形式上的转化.(数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
同学们,在初中我们已经知道两点确定一条直线,那么,在平面内经过两个定点的直线的方程能否用“公式”写出来呢?若这两个点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),你有几种思路写出上述所求的“公式”呢?我们学过的直线方程的各种形式,最后能否都归为一种形式呢?带着这些问题,让我们进入今天的课题吧!
知识点拨
1.直线的两点式方程
?
已知条件
图示
方程式
适用条件
两点
式
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2
斜率存在
且不为0
微判断
(1)直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.( )
(2)过原点的直线不适用两点式方程.( )
答案
(1)√ (2)×
微练习
过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为 .
答案
5x-y-13=0
微思考
两点式表示直线方程的条件是什么?两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了?
提示
两点式除了不适用于斜率为0与斜率不存在的直线,其他情况均可表示;只需将
变形为(x-x1)·(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能适用于所有直线了.
2.直线的一般式方程
所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.
?
方程形式
局限
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
不能表示斜率不存在或斜率为0的直线
截距式
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
无
名师点析(1)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的方程形式及适用范围.
(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
微判断
(1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )
(2)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.( )
(3)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线.( )
答案
(1)× (2)× (3)×
微练习
(1)在平面直角坐标系中,直线x+
y-3=0的倾斜角是( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
答案
C
(2)已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,直线恒过定点 .?
答案
(3,1)
解析
kx-y+1-3k=0可化为y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1).
微思考
在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直线?
课堂篇
探究学习
探究一
直线的两点式方程
例1已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,
(1)求BC边所在的直线方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解
(1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2),
即2x+5y+10=0,
故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0.
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.
反思感悟1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程.
2.由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x2与y2是同一点坐标,而x1与y1是另一点坐标.
变式训练1(1)经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A.2
B.-3
C.-27
D.27
(2)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求△ABC三条边所在直线的方程.
(1)答案
D
所以三边AB,AC,BC所在直线的方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
探究二
直线的截距式方程
例2已知点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,求xy的最大值.
反思感悟对直线的截距式方程应注意以下几点:
(1)在方程
=1中,要求a≠0,b≠0,即直线在x轴与y轴上的截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线.
(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式来求解,注意截距都为0,即直线过原点这种情况.
变式训练2在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( )
A.4x+3y-12=0
B.4x-3y+12=0
C.4x+3y-1=0
D.4x-3y+1=0
答案
B
探究三
直线的一般式方程
例3根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是
,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;
(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.
即x+3y+3=0.
(5)y-2=0.
反思感悟1.在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式.
2.当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,直线Ax+By+C=0有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
变式训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
①斜率是-
,且经过点A(8,-6)的直线方程为 ;?
②在x轴和y轴上的截距分别是
和-3的直线方程为 ;?
③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为 .?
(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为( )
A.4x-3y+5=0
B.4x-3y-5=0
C.3x+4y-5=0
D.3x+4y+5=0
答案
(1)①x+2y+4=0 ②2x-y-3=0 ③x+y-1=0 (2)A
解析
(2)在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上,
∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故选A.
探究四
含参数的一般方程的有关问题
例4设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.
得m=-2或m=-1(舍去).
∴m=-2.
延伸探究对于本例中的直线l的方程,若直线l与y轴平行,求m的值.
反思感悟1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为零.
2.令x=0可得在y轴上的截距,令y=0可得在x轴上的截距,若确定直线的斜率存在,可将一般式化为斜截式.
3.解分式方程要注意验根.
变式训练4(1)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足( )
(2)若直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则a= .?
答案
(1)C (2)1
解析
(1)因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1.
(2)由题意知a≠0,当x=0时,y=2;
素养形成
易错点——因忽视截距为0的情况而致错
案例求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.
错因分析忘记截距为0的情况,而导致丢解.
【规范答题】
正解1(1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),
所以直线l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
正解2由题意知,直线l的斜率存在,且不为0.
设直线方程为y-3=k(x-2),且k≠0.
当堂检测
1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为( )
A.5x+3y-25=0
B.5x-3y-25=0
C.3x-5y-25=0
D.5x-3y+25=0
答案
B
2.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
答案
D
3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为( )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0或x+y-3=0
D.2x-y=0或x-y+1=0
答案
D
所以直线方程为x-y+1=0.
综上,所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
故选D.
4.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是 .?
答案
3x+y-6=0
5.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值.
(1)直线l的斜率为-1;
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
本
课
结
束(共61张PPT)
2.2.3 两条直线的位置关系
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.会求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)
2.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合.(逻辑推理)
3.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件.(逻辑推理)
4.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件:A1A2+B1B2
=0或k1k2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题.(逻辑推理、数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱子支撑,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?那么两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?
知识点拨
1.两条直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a,b)
直线l1,l2
l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
点A在直线l1上
A1a+B1b+C1=0
直线l1与l2的交点是A
?
要点笔记因为平面直角坐标系中,一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了考察l1与l2之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可.
微判断
若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
答案
×
微练习
直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )
A.(-4,-3) B.(4,3)
C.(-4,3)
D.(3,4)
答案
C
2.两条直线的相交、平行与重合
(1)直线方程在斜截式形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.
位置关系
平行
重合
相交
图示
k,b满足条件
k1=k2且b1≠b2
k1=k2且b1=b2
k1≠k2
(2)直线方程在一般式形式下两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系,可以用方程组
的解的情况进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下表所示.
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平行
无交点
或
有唯一解
相交
有一个交点
A1B2≠A2B1
有无数
个解
重合
无数个
交点
存在实数λ,使得
微判断
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.( )
(2)若两条直线平行,则它们的斜率相等.( )
(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.( )
答案
(1)× (2)× (3)√
微练习
(1)下列直线与直线x-y-1=0平行的是( )
A.x+y-1=0
B.x-y+1=0
C.ax-ay-a=0(a≠0)
D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)
答案
B
(2)若直线2x+y-1=0与y=ax+3相交,则a的取值范围为 .?
答案
(-∞,-2)∪(-2,+∞)
微思考
应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么?
提示
(1)当k1≠k2时,l1与l2相交.当两直线斜率都不存在时,两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时,两直线相交.
(2)当k1=k2时,不能判断两直线平行,还可能重合.
3.两条直线的垂直
(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1⊥l2?k1k2=-1.
(2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
名师点析(1)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0平行的直线可表示为
A(x-x0)+B(y-y0)=0;
(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;
(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为
(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0;
微判断
若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( )
答案
×
微练习
(1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案
D
解析
两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.
(2)若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a等于 .?
课堂篇
探究学习
探究一
判断两条直线的位置关系
例1判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0;
分析判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定;二是根据直线方程一般式的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定.
①×2-②×3得5x-10=0,所以x=2.将x=2代入①得y=-2,所以两直线相交,交点坐标为(2,-2).
由①得x=3y,代入②得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以两直线平行.
(方法二)(1)因为A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,所以A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交.
反思感悟1.判断两条直线平行:
(1)如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;
(2)利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断.
2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零;(2)利用A1A2+B1B2=0判断.
3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数含参数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.
变式训练1已知点A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),试判断直线AB和直线CD的位置关系.
又因为B(0,-4),D(0,18),所以直线AB的方程为y=6x-4,直线CD的方程为y=6x+18.
因为两条直线的斜率相等,在y轴上的截距不相等,所以直线AB和直线CD平行.
探究二
利用两条直线的位置关系确定参数
例2(1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值;
(2)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
分析既可以用直线的一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况.
反思感悟利用两直线的位置关系求参数的取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式求解,一定要对特殊情况单独讨论.本例中方法一体现了分类讨论的条理性,方法二体现了适用两条直线方程的所有情况,具有统一性.
变式训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是( )
A.-1或2
B.0或1
C.-1
D.2
(2)若直线l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0垂直,则a的取值是( )
A.2
B.-2
C.2或-2
D.2或0或-2
(3)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
(1)答案
C
解析
(1)∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,
∴a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1.
(2)答案
C
解析
由题意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,
解得a=±2.
探究三
求与已知直线平行或垂直的直线方程
例3已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:
(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
分析本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.
解
(1)(方法一)利用直线方程的点斜式求解.
(方法二)利用直线系方程求解.
设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-20).
由点A(2,2)在直线l1上,得3×2+4×2+m=0,解得m=-14.
故直线l1的方程为3x+4y-14=0.
(2)(方法一)设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率为.
即4x-3y-2=0.
(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2经过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2.故l2的方程为4x-3y-2=0.
反思感悟求直线方程的巧妙设法
(1)求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可设为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值.
(2)求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.
(3)求与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为y=-
x+m(k≠0),然后通过待定系数法,求参数m的值.
(4)求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设方程为Bx-Ay+m=0(A,B不同时为零),然后用待定系数法,求出m.
变式训练3(1)已知直线l过点(1,1)且平行于直线4x+y-8=0,则直线l的方程是( )
A.x-4y+3=0
B.x-4y-5=0
C.4x+y+5=0
D.4x+y-5=0
(2)以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x-y-8=0
B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0
D.3x+y+2=0
(3)求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点且平行于直线5x+4y=0的直线方程.
(1)答案
D
解析
设与直线4x+y-8=0平行的直线方程为4x+y+c=0(c≠-8),∵直线4x+y+c=0过(1,1),∴4+1+c=0,即c=-5,
则直线方程为4x+y-5=0,故选D.
(2)答案
B
②×4-①得5x+10=0,解得x=-2.
将x=-2代入②得2×(-2)+y+2=0,所以y=2.
所以两直线的交点坐标为(-2,2).
设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c≠0),代入(-2,2)得
5×(-2)+4×2+c=0,所以c=2.故所求直线方程为5x+4y+2=0.
探究四
平行与垂直的综合应用
例4如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
分析利用两直线的斜率关系,来研究平行或垂直,对于四边形而言,可以先选取一组对边研究,再选取一组邻边研究,最后下结论.
要点笔记通过对本例题的探究可以看出,研究直线平行或垂直的方法除了前面向量的方法还可以利用直线的斜率进行,利用斜率判断时要注意先对斜率的存在与否进行检验,其次要注意几何图形的内在联系,从而判断几何形状.
延伸探究将例4中的四个点改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.
解
由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图.
所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.
变式训练4已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求A点坐标.(A,B,C,D按逆时针方向排列)
解
(1)若∠A=∠D=90°,如图①,
由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
图①
图②
素养形成
对称问题的探究
案例(1)求A(3,2)关于B(-3,4)的对称点C的坐标;
(2)求直线3x-y-4=0关于P(2,-1)对称的直线l的方程;
(3)求A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点B的坐标;
(4)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.
分析(1)利用中点坐标公式列方程求解;
(2)根据所求直线上任意一点关于P(2,-1)的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解;
(3)利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解;
(4)将直线关于直线的对称转化为点关于直线的对称来解决.
【规范答题】
解
(1)设C(x,y),由中点坐标公式得
故所求的对称点的坐标为C(-9,6).
(2)取直线l上任一点(x,y),则它关于P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线
3x-y-4=0上.
所以3(4-x)-(-2-y)-4=0.所以3x-y-10=0.
所以所求直线l的方程为3x-y-10=0.
(3)设B(a,b)是A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点,根据直线AB与已知直线垂直,且线段AB的中点在已知直线2x-4y+9=0上,则有
所以所求的对称点B的坐标为(1,4).
归纳提升(1)对于点关于点的对称,只需运用中点坐标公式即可.
(2)对于直线关于点的对称,根据所求直线与已知直线平行可先设出方程,然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程.结论为l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.
(3)对于点关于直线的对称,一般按下列步骤处理.
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1,P2的直线垂直于对称轴l.
(4)求一条直线关于另一条直线对称的直线方程,一般可考虑将直线关于直线的对称转化为点关于直线的对称问题来解决.
当堂检测
1.直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题:
①若l1∥l2,则斜率k1=k2;
②若斜率k1=k2,则l1∥l2;
③若倾斜角α1=α2,则l1∥l2;
④若l1∥l2,则倾斜角α1=α2.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
①错,②③④正确.
2.若点A(3,-4)与点A'(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x+6y+16=0
B.6x-y-22=0
C.6x+y+16=0
D.x+6y-16=0
答案
D
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
答案
A
解析
因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k=
,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m= .?
答案
1
5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
即3x+4y-11=0.
方法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
又因为l经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,即m=-11.
所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.
本
课
结
束(共43张PPT)
2.2.4 点到直线的距离
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课前篇
自主预习
激趣诱思
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?
知识点拨
1.点到直线的距离
(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.
(2)图示:
名师点析(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.
(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
微判断
点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
答案
×
微练习
点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )
答案
C
微思考
2.两条平行直线之间的距离
(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)图示:
(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.
(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离
要点笔记(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
微判断
(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.( )
(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
答案
(1)× (2)√
微练习
答案
B
解析
两条直线方程分别可化为3x-2y-12=0,3x-2y+2=0,则所求距离
(2)直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2
,则C的值为( )
A.9 B.11或-9 C.-11 D.9或-11
答案
B
课堂篇
探究学习
探究一
点到直线的距离
例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.
(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
(2)解
(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,
恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
反思感悟1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
延伸探究若将本例(2)改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为 .?
答案
x+3y-5=0
解析
将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.
探究二
两条平行直线之间的距离
例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为 .?
(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为 .?
(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方程为 .?
变式训练(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为( )
(2)到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是( )
A.3x-4y-11=0
B.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0
C.3x-4y+11=0
D.3x-4y+11=0或3x-4y+9=0
(3)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是 .?
答案
(1)A (2)B (3)x+2y-3=0
(2)到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹是两条与该直线平行的直线,设其方程为3x-4y+m=0(m≠-1).
(3)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1).
素养形成
易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错
案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.
错解
设所求直线方程为y-5=k(x+3),
整理,得kx-y+3k+5=0.
错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.
【规范答题】
正解
当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,
得kx-y+3k+5=0.
即8x+15y-51=0.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.
防范措施在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.
当堂检测
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )
答案
D
2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为( )
答案
B
3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )
答案
C
4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 .?
答案
(5,-3)
解析
由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,
5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为 ,它们之间的距离为 .?
解析
由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.
经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.
∴m=-1.
6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
解
(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
解得k=0或k=1.
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,
∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
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