(共32张PPT)
2.3.1 圆的标准方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握圆的定义及标准方程.(数学抽象)
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,并能解决一些简单的实际问题.(数学模型)
3.会用待定系数法求圆的标准方程.(数学运算)
4.能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.(直观想象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
拉达尔公路隧道位于挪威西部,是世界上最长的公路隧道.拉达尔隧道位于挪威西部的拉达尔和艾于兰之间,全长24.51千米.于1995年3月开始动工兴建,2000年11月27日正式通车.隧道中也蕴含着丰富的数学知识,比如,隧道横截面可近似看成半圆形,测出相关数据可以解决车辆能否通过的问题,那么怎样建立这个圆的方程呢?
知识点拨
1.圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点是圆心,定长是圆的半径.
微思考
平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么?
提示
是一个以定点为圆心,以定长为半径的圆面.
2.圆的标准方程
一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,
两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2,通常称为圆的标准方程.
微判断
(1)(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆的方程.( )
(2)函数y=b-
(r>0)的图像是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.( )
答案
(1)× (2)√
微思考
在平面直角坐标系中,圆是函数的图像吗?
提示
根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图像,否则,不是函数的图像.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图像.
3.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0-a)2+(y0-b)2微练习
点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A.在圆外
B.在圆内
C.在圆上
D.不确定
答案
B
课堂篇
探究学习
探究一
求圆的标准方程
例1(1)圆心在点C(2,1),半径长是
的圆的标准方程为 .?
(2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为 .?
(3)已知两点A(-1,-3),B(3,a),以线段AB为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为
.?
答案
(1)(x-2)2+(y-1)2=3 (2)(x-8)2+(y+3)2=25 (3)(x-1)2+(y+2)2=5
因为以线段AB为直径的圆经过原点,
故(0,0)代入①成立,解得a=-1.
故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
反思感悟1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.
2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”,“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
变式训练(1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y+2)2=100
B.(x-1)2+(y-2)2=100
C.(x+1)2+(y+2)2=25
D.(x-1)2+(y-2)2=25
(2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 .?
答案
(1)D (2)(x+5)2+(y+3)2=25
解析
(1)∵AB为直径,∴AB的中点(1,2)为圆心,
∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
(2)∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,
∴该圆的半径为5,
∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.
探究二
点与圆的位置关系
例2已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上,为什么?
分析先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案.
所以,经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.
把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以,点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点能在同一个圆上.
反思感悟判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:
(1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小;
(2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.
延伸探究试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程,并且判断点(3,6)与所求圆的关系.
解
所求方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5.经判断,因为点(3,6)代入圆方程左边可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,因此点(3,6)在该圆外.
素养形成
一题多解——待定系数法与几何法求圆的标准方程
案例求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.
【规范答题】
解
方法一:待定系数法
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
方法二:几何法
由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.
∵弦的垂直平分线过圆心,
∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
归纳提升(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.
(3)有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想.
当堂检测
1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是( )
A.(x+3)2+(y+1)2=5
B.(x+3)2+(y+1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5
D.(x-3)2+(y-1)2=25
答案
D
2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a满足( )
答案
D
解析
依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
答案
A
解析
方法一:直接法
∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
方法二:数形结合法
作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是 .?
答案
(x-4)2+y2=1
解析
设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),
5.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.
解
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
根据已知条件可得
本
课
结
束(共40张PPT)
2.3.2 圆的一般方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握圆的一般方程及其特点.
(数学抽象)
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程.(数学运算)
3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.(数学运算)
4.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题.(数学模型)
5.结合具体实例,初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
课前篇
自主预习
激趣诱思
我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个二元二次方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F为常数),请问这个方程在什么条件下是一个圆的方程?
知识点拨
1.圆的一般方程
圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是D2+E2-4F>0.
微练习
已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为 .?
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件
图形
D2+E2-4F<0
不表示任何图形
D2+E2-4F=0
表示一个点
D2+E2-4F>0
表示以为圆心,以为半径的圆
微练习
方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的图形是 .?
答案
直线x=0或点(1,-1)
微思考
若一个二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则系数A,B,C,D,E,F应满足什么条件?
提示
应满足的条件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.
课堂篇
探究学习
探究一
圆的一般方程初步理解
例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.
反思感悟1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:
(1)由圆的一般方程的定义,D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征进行判断.
应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
2.对于一般式方程表示圆求参类问题,也要将其化为标准方程,再将其转化为不等式(方程)的求解问题.
变式训练1(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,1]
(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的取值是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
(1)A (2)D
解析
(1)因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,
则16+4-4×5k>0,所以k<1.
(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,
∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以当m=1时,r2取得最小值,
从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.
探究二
求圆的一般方程
例2已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,
∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.
反思感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
延伸探究若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?
探究三
求动点的轨迹方程问题
例3如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
例4已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
又P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
反思感悟与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等.
(1)直接法:根据题设,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点所满足的关系式;
(2)定义法:当所列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出点的轨迹方程;
(3)相关点代入法:若动点P(x,y)因为已知圆上的另一动点Q(x1,y1)而运动,且x1,y1可用x,y表示,则将Q点的坐标代入已知圆的方程,求得动点的轨迹方程.
变式训练2已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.
(方法二)设点M的坐标为(x,y),连接OC,PC,取线段OC的中点A,连接MA.
圆C的方程可化为(x-4)2+(y-3)2=4,圆心C(4,3),|CP|=2,则点A的坐标为
如图所示,在△OCP中,M,A分别是OP,OC的中点,
即|MA|=1.
又当O,C,P三点共线时,|MA|=1.
所以点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆.
探究四
求圆关于点(线)对称的圆
例5试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C'的方程.
解
(方法一)设P'(x,y)为所求曲线C'上任意一点,P'关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.
所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0.
化简,得x2+y2+4x-3y+5=0,
即曲线C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.
(方法二)特殊对称
圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C',圆心
反思感悟1.求圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程,首先要找出圆心C(a,b)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变,即得所求圆的方程.
2.求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求出圆心关于直线的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变,即得所求圆的方程.
变式训练3若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( )
答案
B
解析
由题意知直线2x-y+3=0经过该圆圆心.因此将圆心(k,0)代入直线方程
素养形成
易错辨析——因忽视二元二次方程表示圆的条件而致错
案例已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.
错解
∵点A在圆外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.
错因分析本题错解的根源是仅利用了点在圆外的条件,而忽略了方程作为圆的方程而蕴含的a的范围的限制.
【规范答题】
正解
∵点A在圆外,
防范措施在讨论含有参数的二元二次方程时,一定要明确,只有当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆,因此在与其他条件相融合时,一定不要漏掉这一隐含信息.
当堂检测
1.若圆的一般方程为x2+y2+6x+6=0,则该圆的圆心和半径分别是( )
答案
D
2.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是( )
A.2x-y+1=0
B.2x+y+1=0
C.2x-y-1=0
D.2x+y-1=0
答案
B
解析
圆心坐标为(1,-3),检验知2x+y+1=0过圆心(1,-3).
3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=1
D.(x+2)2+(y-1)2=1
答案
A
解析
设圆上任意一点的坐标为(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),
代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
4.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是 .?
5.已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,则2x2+y2的最大值为 ,最小值为 .?
答案
8 0
解析
由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,解得0≤x≤2,所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],
当x=0时,2x2+y2取最小值0,
当x=2时,2x2+y2取最大值8,
故2x2+y2的最小值为0,最大值为8.
6.已知圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),且与y轴交于M,N两点,试求线段MN的长.
解
设圆的一般式方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由于圆经过三点
A(-1,0),B(3,0),C(1,2),
解得D=-2,E=0,F=-3.故圆的方程为x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,则圆心到y轴的距离d=1,半径r=2,
本
课
结
束(共41张PPT)
2.3.3 直线与圆的位置关系
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.能熟练地解二元二次方程组,并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题.(数学抽象)
2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系.(逻辑推理)
3.掌握求圆的切线方程的方法,并会求与圆有关的最值问题.(数学运算,直观想象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
如图是一个休闲娱乐广场,广场的中心是一块圆形区域的场地,旁边被绿化植物包围,小路贯穿其中,旁边的马路也与广场相望.把圆形区域看成圆面,道路看成直线,人看成点.
1.如果一个小孩在广场里玩,他也恰好处在一条小路上,该小路穿越中心圆形区域,你觉得这个小孩在圆形区域内吗?
2.如果一个小孩在圆形区域里玩,他也恰好处在一条小路上,该小路穿过圆形区域吗?
3.如果一个人在圆形区域里玩(不在圆心),假设此人的坐标为(a,b),圆形区域对应的不等式为x2+y2≤r2,另有一条小路对应的直线方程为ax+by=r2,该小路与圆形区域有何位置关系?
知识点拨
直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线
位置关系
几何特征
代数特征(方程联立)
公共点个数
相离
d>r
无实数解(Δ<0)
0
相切
d=r
一组实数解(Δ=0)
1
相交
d两组实数解(Δ>0)
2
微练习
直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
答案
B
∴直线与圆x2+y2=1相交,
又(0,0)不在y=x+1上,
∴直线不过圆心.
微思考
(1)过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗?
提示
过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短?
提示
过圆内一点P的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长;当弦与过点P的直径垂直时弦最短.
课堂篇
探究学习
探究一
直线与圆的位置关系的判断
例1求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.
解
圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,
反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
变式训练1(1)(多选)已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,过点P作直线l⊥OP,直线m的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是( )
A.m∥l
B.m⊥l
C.m与圆相离
D.m与圆相交
(2)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
(1)答案
AD
(2)解
方法一(代数法)
得5x2-50x+61=0.
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1
280>0,
∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.
方法二(几何法)
∵d探究二
求切线方程
例2(1)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为( )
(2)过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.
分析先明确点M(2,4)与圆的关系,再利用d=r列式来刻画相切这一条件.本题若使用点斜式设切线方程,一定要检验斜率不存在的情况.
(1)答案
C
(2)解
由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,
所以切线方程为24x-7y-20=0.
又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.
综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.
反思感悟求圆的切线方程的三种方法
(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.
(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.
(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.
延伸探究(1)本例(2)中,若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程.
(2)本例(2)条件不变,试求切线长.
解
(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上,又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.
变式训练2(1)(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为 .?
答案
(1)AB (2)x=2或y=3
观察各选项,知实数k的取值可以是1,2.
(2)P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,
∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
∴k=0,∴切线方程为y=3;
当斜率不存在时,切线方程为x=2.
探究三
与圆有关的最值问题
AC斜率存在,设直线AC的方程为y+1=kAC(x+3),
即kACx-y+3kAC-1=0,
因为AC与半圆x2+y2=3(y≥0)相切,
反思感悟1.与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.
2.对于本题而言,解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.
变式训练3直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为( )
答案
C
素养形成
思想方法——用代数法和几何法研究弦长问题
案例1过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为 .?
解析
设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;
(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【规范答题】
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,
(3)存在直线l满足题意.理由如下,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意,知OM⊥ON,且OM,ON
的斜率均存在,
②当直线l
的斜率存在时,可设直线l
的方程为y=k(x+1),
代入(x-1)2+(y+2)2=9,
得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,
归纳提升1.求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的
(2)弦长公式:
如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是
(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为
通常采用几何法较为简便.
2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.
当堂检测
1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.相离或相切
答案
C
2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
答案
C
解析
直线y=kx+1恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.
3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,-1]
B.[-1,3]
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
答案
C
4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|= .?
解析
圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,
∵|AB|=4,∴直线l:mx+y-3=0过圆心(1,2),
∴m+2-3=0,∴m=1,
∴直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°,
∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,
5.记x2+y2≤1表示的平面区域为W,点O为原点,点P为直线y=2x-2上的一个动点,若区域W上存在点Q,使得|OQ|=|PQ|,试求|OP|的最大值.
解
画出直线y=2x-2与平面区域W,如图所示,
易知|OQ|≤1,在△OQP中,|OQ|+|QP|>|OP|,当且仅当O,Q,P三点共线时,有|OQ|+|QP|=|OP|.所以当|OQ|=1时,|OP|取最大值2.
本
课
结
束(共40张PPT)
2.3.4 圆与圆的位置关系
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
(数学抽象)
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
(逻辑推理)
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.(逻辑推理)
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
(直观想象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
魔术钢圈有很多的版本,通常有三连环和四连环.三连环中,有一个环是有缺口的,而另外两个环是密封的;而四连环的原理基本相同,唯一不同的是有两个环本来就连在一起,其余是一个有缺口的环和一个密封的环.表演时基本的手法是敲击法和摩擦法.敲击法:一手拿一个环,右手拿的是有缺口的环.缺口环的口要在右手的尾指处.用右手的
环敲击左手的环.先装作敲两下,第三下时右手
的环迅速向下敲,同时让左手的环的上端穿过
右手的环的缺口,穿进去后便连在一起.摩擦法:
同样一手拿一个环,其中一个当然是缺口环,
不过你哪一只手拿缺口环都行.把两个环靠在一起,让两个环的一端进行摩擦.当然,缺口不能让别人看到,要用食指捂住.当两个环摩擦时,趁机让普通环的一端直接滑入缺口环的缺口处.成功滑入后,再摩擦两下,拉直两个环就行啦.在魔术师美轮美奂的表演中,对于圈而言,有时分开,有时相连;如果把魔术圈看成圆,那么图中两个圆的位置关系能否用圆心和半径来刻画呢?
知识点拨
圆与圆位置关系的判定
1.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两个圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1,r2
的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<
dd=|r1-r2|
d<|r1-r2|
微判断
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )
(2)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( )
答案
(1)× (2)√
微思考
当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,两圆的公切线分别有几条?
提示
两圆外离时,公切线有4条,外切时有3条,相交时有2条,内切时有1条,内含时没有公切线.
2.代数法:设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数
2
1
0
两圆的公共点的个数
2
1
0
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
微判断
如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )
答案
×
微思考
如果两圆相交,如何得到这两圆的公共弦所在的直线方程?
提示
当两圆相交时,可解两圆的方程所组成的方程组,得到两交点坐标,利用两点式得到两圆的公共弦所在的直线方程,也可以把两圆的方程作差消去x2和y2,就得到两圆的公共弦所在的直线方程.
课堂篇
探究学习
探究一
两圆位置关系的判断
例1(1)圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2-2y=0的位置关系是( )
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
(2)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为 .?
答案
(1)B (2)外切
解析
(1)两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1和x2+(y-1)2=1,对应圆心坐标为O1(1,0),半径为1,和圆心坐标O2(0,1),半径为1,则圆心距离|O1O2|=
,则0<|O1O2|<2,即两圆相交,故选B.
(2)两圆的圆心分别为O1(-2,2),O2(2,5),半径分别为r1=1,r2=4,所以
要点笔记判断两圆的位置关系常用两种方法
几何法和代数法,但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来刻画,此种方法形象直观,关键是明确圆心和半径,再套用圆与圆位置关系的关系式进行求解或判断.
延伸探究若本例(1)中条件不变,所求改为“求圆O1与圆O2的公切线条数”结论又如何?
解
根据例题中结论☉O1与☉O2相交,则由平面几何知识可知,公切线条数为2.
变式训练1已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时,分别满足下列情况:
(1)圆C1与圆C2外切;
(2)圆C1与圆C2内含.
解
易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;
圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心C2(-1,m),半径r2=2.
(1)如果圆C1与圆C2外切,
所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.
(2)如果圆C1与圆C2内含,
探究二
两圆的公共弦问题
例2已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)判断两圆是否相交,若相交,求出公共弦所在的直线方程,若不相交,请说明理由;
(2)求公共弦的长度.
解
(1)相交.
将两圆方程配方化为标准方程,则
C1:(x-1)2+(y+5)2=50,
C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
∴|r1-r2|<|C1C2|将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.
(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离为
反思感悟1.当两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
变式训练2(1)若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则( )
A.E=-4,F=8
B.E=4,F=-8
C.E=-4,F=-8
D.E=4,F=8
(2)两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x+2y-40=0的公共弦的长为( )
(3)由题意将两圆的方程相减,可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1),
探究三
圆系方程的应用
例3(1)对于任意实数λ,曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 .?
(2)求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.
(1)答案
(1,3)和(1,-3)
解析
曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0可化为(x2+y2+6x-16)+λ(x2+y2-4x-6)=0,
∴x2+y2+6x-16=0且x2+y2-4x-6=0,
可得恒过定点(1,3)和(1,-3).
(2)解
设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.
得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.因为所求圆与直线y=x相切,所以Δ=0,即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,
故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.
反思感悟1.当经过两圆的交点时,圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出λ即可.
2.当给出的方程结构中参数比较分散时,要注意将含参数的合并在一起,进而讨论过定点或交点问题.
变式训练3求圆心在直线x-y-4=0上,且过圆x2+y2-4x-6=0和圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.
解
方法一:设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0
(λ≠-1),
所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.
即所求圆的圆心坐标为(3,-1),
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
素养形成
易错点——因方程丢解而致错
案例已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2},若A∩B中有且仅有一个元素,求a的值.
错解
由条件A∩B中有且仅有一个元素可知两圆相切,所以|O1O2|=5=a+2或5=a-2.所以a=3或a=7.
错因分析本题错解产生的根源是误认为参数a是正数了.
【规范答题】
正解
由A∩B中有且仅有一个元素,可知两圆相切,
所以|O1O2|=5=|a|+2或5=||a|-2|,
解得a=±3或a=±7.
综上所述,a的值为±3或±7.
防范措施在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中要明确各个参数的含义,尤其是r这个量,当r代表圆的半径时,理所当然r>0.但在一些情景下,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=m2只要保证等式右边是正数即可.也就是只需m2>0即可,这样m≠0即可.
当堂检测
1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是( )
A.外切
B.内切
C.相交
D.外离
答案
B
解析
圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36,圆心坐标为(7,1),半径为r1=6,圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径为r2=1,所以圆心距
2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0
B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0
D.4x-3y+7=0
答案
C
解析
AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入,即可排除A,B,D.
3.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为 .?
答案
2或-5
解析
两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),
两圆的半径分别为3,2,
解得m=2或-5.
4.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为 .?
5.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.
解
由两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-y=0.
∵圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C1(-2,0),C2(-1,-1),
本
课
结
束(共45张PPT)
2.4 曲线与方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系,并能根据点的坐标是否适合方程,来判断该点是否在曲线上.
(数学抽象,逻辑判断)
2.能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点.(数学运算)
3.初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法.(逻辑推理)
课前篇
自主预习
激趣诱思
笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”,是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事,笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sin
θ).你知道这是何意?其实这就是笛卡尔的爱心函数,图形是心形线,是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.同学们,你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗?
知识点拨
1.曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
微练习
方程y=
表示的曲线是( )
A.一条直线 B.圆
C.半圆
D.不表示任何图形
答案
C
微思考
若曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗?
提示
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.它阐明的含义是适合方程的所有点都在曲线上,即没有遗漏的点.所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多,一个也不少,即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系.
2.求两曲线的交点
已知曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组
的实数解就可以得到.
微练习
直线y=x+1与圆x2+y2=1的交点坐标为 .?
答案
(-1,0)和(0,1)
3.求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质
(1)点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:
①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);
②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;
③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.
微练面内,若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足
=0,则P点的轨迹曲线的形状是 .?
答案
圆
微思考
如何检验所求轨迹方程是否符合条件?
提示
检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.
课堂篇
探究学习
探究一
曲线与方程的概念问题
例1如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是( )
A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解
D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上
答案
D
解析
由题意可知,曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x,y)=0的解构成的集合的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等.据以上可知,选项A,B,C都是不正确的,只有选项D是正确的.
反思感悟1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.
2.判断点与曲线关系的方法
(1)从点的坐标角度
若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上.
(2)从方程的解的角度
若f(x0,y0)=0,则点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上;或若点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上,则f(x0,y0)≠0.
变式训练1方程(2x+3y-1)(
-1)=0表示的曲线是( )
A.两条直线
B.两条射线
C.两条线段
D.一条直线和一条射线
答案
D
探究二
用直接法求曲线的方程
例2已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.
分析因为已知条件中未给定坐标系,所以需“恰当”建立坐标系.考虑到对称性,由|AB|=2a,选A,B两点所在的直线为x轴,AB中点为坐标原点,则
A(-a,0),B(a,0),然后求解.
解
如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.由|AB|=2a,可设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).
因为|MA|∶|MB|=2∶1,
要点笔记直接法求曲线的方程
根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.
变式训练2(1)在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足
=4,则点P的轨迹方程是 .?
(2)与y轴相切并与圆C:x2+y2-6x=0也外切的圆的圆心的轨迹方程为 .?
答案
(1)x+2y=4 (2)y2=12x(x>0)或y=0(x<0)
(2)若动圆在y轴右侧,设与y轴相切,且与圆x2+y2-6x=0外切的圆的圆心为P(x,y)(x>0),则半径长为x,因为圆x2+y2-6x=0的圆心为(3,0),所以
若动圆在y轴左侧,则y=0(x<0).
综上所述,圆心的轨迹方程为y2=12x(x>0)或y=0(x<0).
探究三
用定义法求曲线的方程
例3已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为 .?
答案
(x-10)2+y2=36(y≠0)
解析
由已知条件及中位线等几何知识可知,动点A满足到点(10,0)的距离等于定长6的条件,设顶点A的坐标为(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考虑到构成△ABC,因此y≠0,所以所求方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).
反思感悟定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.
变式训练3到点(1,2)的距离等于
的动点Q的轨迹方程是( )
A.(x+1)2+(y+2)2=3
B.(x+1)2+(y+2)2=9
C.(x-1)2+(y-2)2=3
D.(x-1)2+(y-2)2=9
答案
C
解析
由圆的定义知动点Q的轨迹是以点(1,2)为圆心,以
为半径的圆,
故其方程为(x-1)2+(y-2)2=3.
探究四
用相关点法求曲线的方程
例4长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足
分析A,B分别在x轴、y轴上移动,可设A(x0,0),B(0,y0),又动点C(x,y)满足
解
因为长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,故可设A(x0,0),B(0,y0).
所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),
即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),
反思感悟“相关点法”的基本步骤
(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0).
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.
答案
y2=4x
解析
设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
探究五
求曲线的交点问题
例5试讨论圆x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4(k为参数)交点的个数.
分析只需把直线方程与圆方程联立,求方程组解的个数即可.
反思感悟已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x,y)=0,G(x,y)=0,则点P(x0,y0)是曲线C1,C2的交点?点P的坐标(x0,y0)满足方程组
方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解,两条曲线就没有交点.
变式训练5已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过点A作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.
解
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-1),解方程组
即3x+4y+1=0.
当过A点的直线l的斜率不存在时,方程为x=1.
此时,与l1的交点为(1,4)也满足题意.
综上所述,直线l的方程为3x+4y+1=0或x=1.
素养形成
易错点——因忽视验证造成增解而致错
案例求以A(-2,0),B(2,0)为直径端点的圆的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程.
错解
设点C的坐标为(x,y).
△ABC为圆内接三角形,且圆以线段AB为直径,
∴AC⊥BC,则kAC·kBC=-1.
化简,有x2+y2-4=0,
即点C的轨迹方程为x2+y2-4=0.
错因分析(1)在表述kAC,kBC时没有注意斜率不存在的情况.
(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.
【规范答题】
正解
设C的坐标为(x,y).
∴(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0.
又当x=±2时,C与A或B重合,不构成三角形,
∴所求C点的轨迹方程为x2+y2-4=0(x≠±2).
当堂检测
A.一条射线
B.一个圆
C.两条射线
D.半个圆
答案
D
A.x2+y2=1
B.x2+y2=2
C.x2+y2=1(x≠±1)
D.x2+y2=2(x≠±
)
答案
A
3.点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .?
4.平面直角坐标系中,已知A,B分别为坐标轴上的动点且|AB|=5,若线段AB的中点为M(x,y),则动点M的轨迹方程为 .?
答案
y=2x
∵点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,
∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.
6.已知方程x2+(y-1)2=10.
本
课
结
束(共42张PPT)
2.5.1 椭圆的标准方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握椭圆的定义.(数学抽象)
2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程.(逻辑推理)
3.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程.(数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
在2
000多年以前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,并获得了大量的成果.其中数学家阿波罗尼奥斯采用平面截割圆锥的方法来研究这种曲线,他的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果.
那么通过平面截割圆锥的方法你能得到几种曲线?
从集合或轨迹的角度,类比圆的定义,如何定义椭圆?
知识点拨
1.椭圆的定义
微思考
椭圆的定义中去掉限制条件后,动点P的轨迹还是椭圆吗?
提示
不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.
当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
微练习
到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上都不对
答案
B
解析
∵点P到两定点的距离之和为14等于|F1F2|,
∴轨迹是一条线段.
2.椭圆的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c
的关系
b2=a2-c2
名师点析(1)在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意a>b>0这个条件.
(2)焦点三角形中常用的关系式
①|PF1|+|PF2|=2a.
②
|PF1||PF2|·sin∠F1PF2.
③|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.
④|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|.
微练习
(1)a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
答案
D
(2)椭圆
+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案
D
解析
设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,
结合椭圆定义
|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.
(3)椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )
答案
C
微思考
能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置?
提示
能.根据x2与y2的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个轴上.
课堂篇
探究学习
探究一
待定系数法求椭圆的标准方程
例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.
反思感悟1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:
如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.
2.待定系数法求圆锥曲线方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养.
变式训练1根据条件,求椭圆的标准方程:焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).
探究二
定义法求椭圆的标准方程
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),
要点笔记用定义法求椭圆的标准方程,先根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
变式训练2已知椭圆两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26,求满足条件的椭圆的标准方程.
解
因为椭圆的焦点在y轴上,
因为2a=26,2c=10,所以a=13,c=5.
所以b2=a2-c2=144.
探究三
椭圆定义的应用
例3如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解
设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,
所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,
反思感悟利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
反思感悟(1)椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
延伸探究若将例4中“
∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
答案
(1)C (2)A (3)8
∵∠F1PF2∈(0°,180°),∴∠F1PF2=60°.
(3)由直线AB过椭圆的一个焦点F1,
知|AB|=|F1A|+|F1B|,
所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,
又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
素养形成
易错点——因对椭圆的标准方程认识不清而致错
错因分析错解中没有注意到椭圆方程中a>b>0这一条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.
【规范答题】
所以k的取值范围是(3,4)∪(4,5).
当堂检测
1.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
答案
A
解析
c=1,由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,
2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
答案
D
4.设F1,F2是椭圆
=
1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面积为 .?
答案
4
∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,
∴|PF1|=4,|PF2|=2.
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,
5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解
如图所示,连接MA.
由题意知点M在线段CQ上,
从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.
又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,
故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.
又A(1,0),C(-1,0),
故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
本
课
结
束(共41张PPT)
2.5.2 椭圆的几何性质
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系.(直观想象)
2.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.(直观想象)
3.尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.(数学运算、数学建模)
课前篇
自主预习
激趣诱思
根据开普勒三大定律,地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆,太阳处在这个椭圆的一个焦点上.在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点,在近日点时距离太阳14
710万千米.在远日点时距离太阳15
210万千米.事实上,很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如神舟九号飞船,于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空,之后进入近地点高度200千米.远地点高度329.8千米的椭圆形轨道,然后进行了5次变轨,两天后与天宫一
号交会对接成功,这是中国实施的首次载人空间交
会对接.
知识点拨
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点
离心率
微练习
答案
C
微判断
答案
(1)× (2)×
微思考
离心率对椭圆扁圆程度的影响?
提示
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=
,记e=
,则0课堂篇
探究学习
探究一
椭圆的简单几何性质
例1求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
反思感悟讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.
变式训练1已知椭圆C1:
=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
探究二
由几何性质求椭圆的标准方程
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
要点笔记此类问题应由所给的几何性质充分找出a,b,c所满足的关系式,进而求出a,b.在求解时,需注意椭圆的焦点位置,其次要注意平面几何知识的应用,将数形结合思想更多地渗透进去.
变式训练2分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3;
解
(1)由题意知a=5,c=3,b2=25-9=16,
焦点所在坐标轴可为x轴,也可为y轴,
探究三
椭圆的离心率问题
例3椭圆
=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 .?
解析
方法一:如图,
∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N.
∵|NF2|=|OF2|=c,
方法二:注意到焦点三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,
∠F1NF2=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得
延伸探究若例3改为如下:椭圆
=1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以F1F2为斜边作等腰直角三角形,三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为 .?
例4已知椭圆
=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为 .?
反思感悟求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法
(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).
(1)答案
C
素养形成
椭圆几何性质的实际应用
案例某段时间某飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如右图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在该飞船运行轨道的另外一个焦点上,从上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为( )
A.d1+d2+R
B.d2-d1+2R
C.d2+d1-2R
D.d1+d2
答案
D
反思感悟将太空中的轨迹与学过的椭圆建立关系.利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题,考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.
当堂检测
A.点(-3,-2)不在椭圆上
B.点(3,-2)不在椭圆上
C.点(-3,2)在椭圆上
D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上
答案
C
解析
由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.
2.设AB是椭圆
=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( )
A.98a
B.99a
C.100a
D.101a
答案
D
解析
由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=
…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,
故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
答案
A
解析
不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.
依题意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
4.已知椭圆
=1的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为 .?
解析
根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,
5.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=
,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
本
课
结
束
