(共51张PPT)
2.6.1 双曲线的标准方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
(逻辑推理、数学抽象)
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
(数学运算)
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.(数学运算)
4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.(逻辑推理)
课前篇
自主预习
激趣诱思
如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?
知识点拨
1.双曲线的定义
名师点析若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.
(1)若|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|>0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;
(2)若|PF1|<|PF2|,则|PF2|-|PF1|>0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支.
微思考
在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的?
提示
①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
微判断
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )
(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
答案
(1)× (2)× (3)×
2.双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=c2-a2
名师点析双曲线与椭圆的比较
曲线名称
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
(2a>|F1F2|)
||MF1|-|MF2||=2a
(0<2a<|F1F2|)
a,b,c
的关系
b2=a2-c2
b2=c2-a2
标准方程
焦点在
x轴上
焦点在
y轴上
微练习
答案
D
微思考
在双曲线的标准方程中,怎样判断焦点在哪条坐标轴上?
提示
如果含x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果含y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.
课堂篇
探究学习
探究一
求双曲线的标准方程
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(2)可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.
反思感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程.
变式训练1根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.
因为点P,Q在双曲线上,
探究二
双曲线定义的应用
例2已知双曲线
-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .?
分析由双曲线方程求出a及c的值,利用双曲线定义把|PQ|+|PF1|转化为|PQ|+|PF2|+2a,连接QF2交双曲线右支于P,则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|,由两点间的距离公式求出|QF2|,则|PQ|+|PF1|的最小值可求.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,
假设点M到另一个焦点的距离等于x,
则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得
反思感悟1.求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略
(1)数形结合
利用双曲线的定义,弄清|PF1|,|PF2|,|F1F2|三者之间满足的关系式,一般常用到三角变换和解三角形的知识,如例3(2)中进行面积的讨论中,就用到了余弦定理、面积公式等知识.
(2)化归思想
将原问题等价转化为易解决的问题,在双曲线中,尤其要注意特殊图形的性质和双曲线的定义,如例2中将|PQ|+|PF1|进行等价转化是问题的核心.
2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:
(1)列出等量关系,化简得到方程;
(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;
(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
延伸探究将例3(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos
60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
变式训练2(1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
(2)已知双曲线x2-y2=1,F1,F2分别为其左、右两个焦点,P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .?
(1)答案
C
解析
动圆圆心为P,半径为r,已知圆圆心为N,半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,
所以||PN|-|PM||=4,
即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,
解析
不妨设点P在双曲线的右支上,
因为PF1⊥PF2,
所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(2
)2,
又|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,
可得2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,
探究三
双曲线在生活中的应用
例4某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.
解
因为|PC|=|PB|,
所以P在线段BC的垂直平分线上.
又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.
kPA=tan∠PAx=
,所以∠PAx=60°,
所以P点在A点的北偏东30°方向.
反思感悟1.利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:
(1)建立适当的坐标系;
(2)求出双曲线的标准方程;
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
2.注意事项:
(1)解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
变式训练3一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=
,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
素养形成
易错点——因忽略双曲线方程中含有的字母的符号而致错
案例已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),求k的值.
【规范答题】
当堂检测
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
答案
D
解析
当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.
2.已知双曲线
=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )
A.4a
B.4a-m
C.4a+2m
D.4a-2m
答案
C
解析
不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,
知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
3.已知方程
=1表示双曲线,则m的取值范围是( )
A.(-1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-1,2)
答案
D
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(3)a=b,经过点(3,-1).
解
(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,
又知焦点在x轴上,且c=5,
所以b2=c2-a2=25-16=9,
本
课
结
束(共65张PPT)
2.6.2 双曲线的几何性质
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握双曲线的简单几何性质.
(直观想象)
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(逻辑推理)
3.通过具体实例初步了解直线与双曲线相交的相关问题.(数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物,建在水源不十分充足的地区的电厂.为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却建筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结构上最稳定,强度高,能够获得更大的容积,气流顺畅,对流冷却效果好,造型美观.
知识点拨
双曲线的几何性质
标准方程
图形
性
质
范围
x≤-a或x≥a
y∈R
y≤-a或y≥a
x∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;
虚轴:线段B1B2,长:2b;
半实轴长:a,半虚轴长:b
渐近线
离心率
a,b,c间的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
名师点析(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
曲线名称
双曲线
椭圆
曲线形状
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0a,b,c关系
a2+b2=c2
a2-b2=c2
(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为
.
(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
微练习
(1)圆锥曲线
=1的离心率e=2,则实数m的值为( )
A.-5 B.-35
C.19
D.-11
答案
B
(2)双曲线
=1的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0
B.4x±3y=0
C.
x±2y=0
D.9x±16y=0
答案
A
微判断
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )
答案
(1)√ (2)× (3)√
微思考
(1)双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?
提示
双曲线的离心率e=
反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.
(2)一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?
提示
1个.
课堂篇
探究学习
探究一
由双曲线方程研究其几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
要点笔记由双曲线的方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
延伸探究求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
例2已知F1,F2为双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求该双曲线的渐近线方程.
分析求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求a,b间的关系.本题利用双曲线的定义和直角三角形边、角之间的关系,求a,b间的关系.
反思感悟1.根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程.
答案
A
探究二
由双曲线的几何性质求标准方程
例3根据以下条件,求双曲线的标准方程.
反思感悟1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程.
探究三
直线与双曲线的位置关系
例4(1)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线:
其中是“单曲型直线”的是 .?
分析由已知点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即
=1(x>0).分别与①②③④中的直线联立方程组,根据方程组的解的性质判断该直线是否为“单曲型直线”.
(2)已知双曲线焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3).
①求该双曲线的标准方程;
②若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长.
(1)答案
①②
∵Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,
∴y=x+1是“单曲型直线”.
消y得20x2+36x+153=0,
∵Δ=362-4×20×153<0,
∴y=2x+1不是“单曲型直线”.
故符合题意的有①②.
反思感悟1.直线与双曲线位置关系的判定方法
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
2.双曲线的弦长公式
和直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样.设直线y=kx+b与双曲线交于
3.如果利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所得直线方程的存在性进行验证.
变式训练3(1)已知双曲线方程为x2-
=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
答案
B
解析
因为双曲线方程为x2-
=1,则P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的有3条.
(2)已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
解
不存在.理由如下,
设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲线上的两点,
则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,
而Δ=-8<0,方程无实根,即直线与双曲线无交点,
故不存在满足条件的直线.
(3)已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
①若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
②若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
素养形成
专项探究 离心率问题
答案
A
解析
因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|,因为A为双曲线右支上一点,
所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,
因为B为双曲线左支上一点,
所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a,
由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos
120°,得c2=7a2,则e2=7,又e>1,所以e=
.故选A.
答案
A
归纳总结求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.
(2)求解时,若用到特殊几何图形,可运用几何性质使问题简化.
迁移应用1渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
答案
C
答案
D
当堂检测
1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( )
答案
C
2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为
答案
AD
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 .?
答案
x2-y2=8
解析
令y=0,得x=-4,
∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.
正确的说法是 .(把所有正确说法的序号都填上)?
答案
②④⑤
答案
32
所以|PQ|=12.
双曲线图像如图.
|PF|-|AP|=2a=4,①
|QF|-|QA|=2a=4,②
①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,
∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.
本
课
结
束(共43张PPT)
2.7.1 抛物线的标准方程
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.知道抛物线的定义,能推出抛物线的标准方程.(逻辑推理)
2.能根据条件,求出抛物线的标准方程.(数学运算)
3.能利用抛物线方程解决一些相关实际问题.(直观想象、数学建模)
课前篇
自主预习
激趣诱思
我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的
距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅
笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,
然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出
了一条曲线.
这就是本节我们要学习的抛物线,这条曲线上的点有什么特征?
知识点拨
1.抛物线的定义
微思考
(1)定义中为什么加上条件“l不经过F”?
提示
若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.
(2)抛物线的图形是双曲线的一支吗?
提示
不是.当抛物线上的点趋向于无穷远时,图像的切线接近于和x轴平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,图像的切线接近于与渐近线平行.抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别.
2.抛物线的标准方程
微练习
(1)抛物线的准线为x=-4,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=16y B.x2=8y
C.y2=16x
D.y2=8x
答案
C
(2)抛物线y2=4x上的点M(4,y0)到其焦点F的距离为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
微判断
(1)抛物线的焦点到准线的距离是p.( )
(2)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
答案
(1)√ (2)√
微思考
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线,那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗?
提示
抛物线对应的方程不一定是二次函数.如y2=4x是抛物线,但不是函数,更不是二次函数.
课堂篇
探究学习
探究一
求抛物线的标准方程
例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解
(1)因为点(-3,-1)在第三象限,
所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),
(2)对于直线方程3x-4y-12=0,
令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,
=3,所以p=6,
此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,
=4,所以p=8,
此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.注意事项:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
变式训练1根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);
(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.
解
(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且
=2,所以p=4,所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.
(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.
探究二
抛物线定义的应用
例2(1)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.
(2)已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.
∴点P坐标为(2,2).
(2)设动点M(x,y),☉M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,
即动点M到定点A和到定直线l:x=-3的距离相等,∴点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,
故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.
反思感悟1.抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.
2.解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
延伸探究若将例2(1)中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
变式训练2已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解
设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
探究三
抛物线的实际应用
例3河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5
m时,水面宽为8
m,一小船宽4
m,高2
m,载货后船露出水面上的部分高0.75
m,问:水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时,小船开始不能通航?
解
如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意可知,点B(4,-5)在抛物线上,
当船面两侧和抛物线接触时,船开始不能通航,
设此时船面宽为AA',则A(2,yA),
又知船露出水面上的部分高为0.75
m,
所以h=|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时,小船开始不能通航.
反思感悟首先确定与实际问题相匹配的数学模型是解决问题的关键.此问题中拱桥是抛物线型,因此可考虑利用抛物线的有关知识解决此问题,其操作步骤可概括为:
(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解:求出需要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
变式训练3如图中,抛物线形拱桥的跨度是20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需要用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长度.
解
建立如图所示的直角坐标系,
素养形成
求解曲线的轨迹方程
案例平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
分析一设点P的坐标为(x,y),则有
=|x|+1,化简即得动点P的轨迹方程,此解法用了求谁设谁的思路,即直接法.
分析二结合题意动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,因此分情况讨论:
当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;
当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).
【规范答题】
(方法二)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,则当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).
归纳总结求解曲线的轨迹方程的方法
(1)代数法:建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理;
(2)几何法:利用曲线的定义确定曲线类型并求出待定系数.
当堂检测
1.(多选)若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹不可能是( )
A.抛物线
B.线段
C.直线
D.射线
答案
BCD
解析
动点P的条件满足抛物线的定义.
2.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切,圆心在抛物线x2=4y上,则l的方程为( )
答案
C
解析
因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与到定直线l的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以l:y=-1.
3.一抛物线型拱桥,当水面离拱顶2
m时,水面宽2
m,若水面下降4
m,则水面宽度为( )
答案
B
解析
如图所示,建立直角坐标系.
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0).
∵当水面离拱顶2
m时,水面宽2
m,则B(1,-2).
4.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是 .?
答案
y2=8x
解析
由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
∴抛物线的方程为y2=8x.
5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .?
答案
2
解析
如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即F到直线l1的距离
6.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
(1)准线方程为y=
;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
本
课
结
束(共53张PPT)
2.7.2 抛物线的几何性质
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握抛物线的简单几何性质.
(直观想象)
2.了解抛物线几何性质的简单应用.(数学运算)
3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.
(逻辑推理)
4.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.
(直观想象、数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?
前照灯由灯泡、反射镜、
配光镜三部分组成
知识点拨
1.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
微思考
(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?
提示
“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.
(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?
提示
抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e=1
名师点析1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的
;(4)焦点到准线的距离均为p.
其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
微练习
以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
答案
C
解析
设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=
,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
微判断
(1)抛物线关于顶点对称.( )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )
答案
(1)× (2)√ (3)√
微思考
怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?
提示
一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.
课堂篇
探究学习
探究一
抛物线的几何性质的应用
例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
(1)答案
B
解析
因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是( )
A.(4,6)
B.[4,6]
C.(2,4)
D.[2,4]
(2)答案
A
解析
由题意知抛物线y2=4x的准线为x=-1,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),
则|AF|=x1+1.
解得x=1,
∵B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,
∴1=x2+3∈(4,6).
(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2
,求抛物线方程.
(3)解
由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).
设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴A与B关于x轴对称,
反思感悟研究抛物线的几何性质要从三个方面入手
(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
变式训练1已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解
(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,
又焦点F是△OAB的重心,
探究二
直线与抛物线的关系
例2(1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足
<4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与曲线C( )
A.恰有一个公共点
B.恰有2个公共点
C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点
D.没有公共点
(2)已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=
p,求直线AB的方程.
(1)答案
D
解得k=±2.所以直线AB的方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0.
反思感悟1.直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
2.求抛物线弦长问题的方法
(1)一般弦长公式
(2)焦点弦长
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.
(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
延伸探究若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.
(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
(1)答案
B
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时,①式是一个一元二次方程,
Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
(ⅰ)当Δ>0,即k<1,且k≠0时,
l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;
(ⅱ)当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;
(ⅲ)当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;
当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;
当k>1时,l与C没有公共点.
探究三
与抛物线有关的最值问题
例3(1)抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是 .?
(2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解析
如图所示,
设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.
过点P作PM⊥l,垂足为M.
则|PM|=|PF|.
设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.
(2)解
方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,
则点A到直线4x+3y-8=0的距离
反思感悟1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.
二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.
2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.
变式训练3已知P为抛物线y=
x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是( )
A.13
B.12
C.11
D.10
答案
B
解析
化抛物线y=
x2为标准形式x2=4y,
得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,
延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,
得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,
∵|PA|+|PF|≥|AF|,
∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.
素养形成
易错点——因不理解抛物线的标准方程的形式而致错
案例设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
故所求抛物线的标准方程为y=8x2.
错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-
;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
【规范答题】
故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
当堂检测
1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,则m=( )
答案
D
2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为( )
答案
C
3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是( )
答案
D
4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若
,则|QF|=
.
答案
3
解析
设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,
5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解
如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且坐标分别为
所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1>0,x2>0,2p>0,
所以x1+x2+2p≠0,x1=x2,
即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°.
6.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.
(1)若|AB|=10,求实数m的值;
(2)若OA⊥OB,求实数m的值.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,
解得m=-8或m=0(舍去).
所以m=-8,经检验符合题意.
本
课
结
束(共43张PPT)
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第二章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)
2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算)
3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷中不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方
形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋
的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的
哪些关系?
知识点拨
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0,设Δ=b2-4ac.
Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;
Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
微判断
(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.( )
答案
(1)× (2)√ (3)×
微思考
椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?
提示
不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用轴上两点间距离公式直接运算
微练习
顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为
的抛物线方程为 .?
答案
y2=12x或y2=-4x
解析
设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①
直线方程变形为y=2x+1,②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
课堂篇
探究学习
探究一
点与椭圆位置关系的判断
例1已知点P(k,1),椭圆
=1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为 .?
反思感悟处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:
延伸探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?
探究二
直线与圆锥曲线的位置关系判断
例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,
(1)l与C无公共点;
(2)l与C有唯一公共点;
(3)l与C有两个不同的公共点.
分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.
解
(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.①
要使l与C无公共点,即方程①无实数解,
则有1-4k2≠0,且Δ<0,即
64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0.
反思感悟判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.
(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.
变式训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:
=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点?
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,③
这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
探究三
相交弦长问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=
,求椭圆的方程.
分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.
解
设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),P(x1,y1),Q(x2,y2).
Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0.
由OP⊥OQ,得x1x2+y1y2=0,
即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
反思感悟若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.
(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.
设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|.
变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于( )
答案
A
探究四
中点弦问题
(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.
解
设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.
又A,B两点均在椭圆上,
要点笔记对中点弦问题,常用的解题方法——
平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.
变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
答案
C
解析
依题设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=2,
素养形成
存在性问题之探究
案例已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
【规范答题】
若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
而Δ=-8<0,方程无实根,
即直线与双曲线无交点,
故不存在满足条件的直线.
归纳提升(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.
(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.
当堂检测
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
答案
A
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
C
3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-
=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是 .?
答案
±1
解析
设线段AB的中点为M(x0,y0),
∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,
∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,
检验可知判别式Δ>0.故m=±1.
4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .?
(1)求△ABF2的周长;
(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.
本
课
结
束(共80张PPT)
章末整合
第二章
2021
内容索引
01
02
知识网络系统构建
题型突破深化提升
知识网络系统构建
题型突破深化提升
专题一
用待定系数法求直线或圆的方程
例1过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
答案
C
解析
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得
则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0得y2+4y-20=0,
设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得
例2若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.
解
设过两条直线交点的直线方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
因为原点到所求直线的距离为1,
解得λ2=9,即λ=±3.故所求直线的方程为x=1或4x-3y+5=0.
方法技巧1.求直线的方程、圆的方程的方法主要有两种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程.
2.选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
变式训练1求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解
设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,所以
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
专题二
用图示法解决圆中的最值或范围问题
方法技巧1.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题,理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.
2.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
变式训练2(1)已知B(3,4),求圆x2+y2=4上的点与B的最大距离和最小距离.
(2)已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点.求x2+y2的最大值和最小值.
(1)解
如图所示,设直线BO与圆交于P,Q两点,P'是圆上任意一点.
则|BP'|+|P'O|≥|BO|=|OP|+|BP|,∴|BP'|≥|BP|.
∴P是圆上与B距离最近的点.∵|BP'|≤|BO|+|OP'|=|BO|+|OQ|=|BQ|,
∴Q是圆上与B距离最远的点.
∴|BP|=3,|BQ|=7.
∴圆上的点与B的最大距离为7,最小距离为3.
(2)解
圆的方程化为(x-3)2+(y-2)2=1,圆心为(3,2),半径为1.
专题三
对称问题
例5已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.
把(x1,y1)代入y=x-2,整理得7x2+y2+22=0,
所以l2方程为7x+y+22=0.
例6已知圆C:x2+y2+Dx-6y+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称.
(1)求圆C的半径;
(2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求直线PQ的方程;
(3)直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时,求m的值.
所以x1·x2+(-x1+b)(-x2+b)=0.
所以2x1·x2-b(x1+x2)+b2=0.则b2-6b+1+b(4-b)+b2=0,即b2-2b+1=0,解得b=1.
经检验满足Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0.
所以直线PQ的方程为y=-x+1.
(3)直线l的方程可化为m(2x-y+8)=x-y+6,
方法技巧1.中心对称
(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).
(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距离相等.
2.轴对称
(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.
①当三条直线l1
,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;
②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.
3.涉及圆的对称问题,主要把握住圆心;涉及的计算公式,同直线中的计算公式.
特别地,直线f(x,y)=0关于直线y=x+a的对称直线方程为f(y-a,x+a)=0,直线f(x,y)=0关于直线y=-x+a的对称直线方程为f(a-y,a-x)=0,可以很方便地求解很多对称问题.
(2)已知圆x2+y2+4x-8y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是 .?
答案
(1)D (2)(-∞,12)
解析
(1)设两圆的圆心分别为A,B,因此原题可转化为在直线y=x上找一个点P,使|PB|-|PA|最大,即只需作点B关于直线y=x的对称点B',显然B'的坐标是(0,2),从而可知原点即为要求的点.故|PN|-|PM|的最大值为
(2)圆方程可化为(x+2)2+(y-4)2=20-a,则圆心为(-2,4),且20-a>0,即a<20.又圆关于y=2x+b成轴对称,所以点(-2,4)在直线y=2x+b上,
所以b=8,所以a-b<12.
专题四
求轨迹方程问题
例7已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
分析先根据椭圆的定义列出关系式,再将其坐标化即可.
解
∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.
又c=7,a=1,b2=48,
例8设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
解设动点P的坐标为(x,y).
当a=1时,P点的轨迹为直线x=0,即y轴.
方法技巧
变式训练4(1)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4
B.(x-1)2+y2=2
C.y2=2x
D.y2=-2x
(2)过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
(1)答案
B
(2)解
设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).
因为点N在直线x+y=2上,
所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
将③④代入⑤,得
动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
专题五
离心率问题
例9已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥y轴,则双曲线的离心率为( )
答案
B
解析
因为双曲线与抛物线有相同的焦点,
所以2c=p.①
设双曲线的另一焦点为F1,则AF=p,FF1=p,
答案
D
方法技巧
变式训练5(1)2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则( )
A.e1>e2
B.e1C.e1=e2
D.不能确定
解析
(1)设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2,焦距分别为2c1,2c2,由题意知a1>a2,c1>c2,且a1-c1=a2-c2.令a1-c1=a2-c2=t,t>0,
∴a1=t+c1,a2=t+c2,
(2)如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,
即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.
又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.
根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.
(3)由圆x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2,
∴圆过焦点F1和F2.
∴∠F1PF2=90°.
又2∠PF1F2=∠PF2F1,
专题六
圆锥曲线中的定点、定值、最值或探索类问题
1.定点问题
例11已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点,且直线AC和直线BC的斜率之积为-
.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
即3+4k2=m2.
即x0(1-t)+t2-4t+3=0.
由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.
综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
变式训练6已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
(2)证明
因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.
易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.设P(x1,y1),则
在上述方程中,令x=3,解得y=2,
所以直线PQ恒过定点(3,2).
2.定值问题
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值,并说明理由.
(1)证明
∵k1,k2均存在,∴x1x2≠0.
②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b.联立得方程组
消去y并整理得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,
其中Δ=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(1+4k2-b2)>0,即b2<1+4k2.
综合①②,△POQ的面积S为定值1.
方法技巧圆锥曲线中定值问题的两大解法
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②引起变量法:其解题流程为
变式训练7已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.
(1)解
由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.
(2)证明
由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为
y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.
因此k1k2为定值,且该定值为-1.
3.最值问题
例13已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为( )
答案
D
解析
如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入y2=8x,
例14已知F1,F2为椭圆x2+
=1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值.
分析△ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.
解
由题意,知|F1F2|=2.
经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.
故设直线AB的方程为y=kx+1,
方法技巧与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,这类问题的求解策略与方法如下:
(1)平面几何法.
平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.
(2)目标函数法.
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.
变式训练8(1)长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为 .?
(2)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:
=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
①求椭圆C1的方程;
②求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
(1)答案
1
②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
4.探索性问题
当l⊥x轴时,|RS|=3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.
当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为
y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2).
其中Δ>0恒成立,
由TS与TR所在直线关于x轴对称,得kTS+kTR=0(显然TS,TR的斜率存在),即
则t=4,综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称.
方法技巧此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
变式训练9已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为
,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且与A,B不重合).
(1)求曲线E的方程;
(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.
本
课
结
束
