(共32张PPT)
第1课时 函数的概念
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.(数学抽象)
2.会求一些简单函数的定义域和值域.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
一个人的体重(千克)与身高(厘米)有一定的关系,民间有一个粗略的公式,根据身高算出正常的体重:男性标准体重(千克)=身高(厘米)-100,女性标准体重(千克)=身高(厘米)-102.下表给出的是我国成年女子标准体重的参照数据.
身高
标准体重
150
cm
49.5
kg
152
cm
50.8
kg
154
cm
52.2
kg
156
cm
53.5
kg
158
cm
54.9
kg
160
cm
56.3
kg
162
cm
57.7
kg
164
cm
59.2
kg
166
cm
60.6
kg
168
cm
62.1
kg
170
cm
63.6
kg
172
cm
65.1
kg
174
cm
66.6
kg
请算算你体重正常吗?如果你算出来的数据与标准体重差距较大,就说明你体重不够标准.
【知识点拨】
知识点一、函数的概念
1.函数的定义
初中
在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,
y都有唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函数
高中
一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域
名师点析
1.函数有三要素:定义域、值域、对应法则.
2.因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则.
3.要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:(1)定义域和对应法则是否给出;(2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.
微练习
下列式子能否确定y是x的函数?
(1)x2+y2=4;
知识点二、同一函数
一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应法则也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一函数.
要点笔记
如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,那么这两个函数就相同.例如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一函数.
微拓展
同一函数的判定
两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数,这说明:
(1)定义域不同,两个函数也就不同.
(2)对应法则不同,两个函数也是不相同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
课堂篇
探究学习
探究一
求函数的定义域
例1求下列函数的定义域:
分析本题主要考查函数的定义域.只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的
集合.
反思感悟
函数定义域的求法
1.求函数的定义域之前,不能对函数的解析式进行变形,否则可能会引起定义域的变化.
2.求函数定义域的基本原则有:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集).
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
延伸探究在本例(4)条件不变的情况下,求函数y=f(x+1)的定义域.
解
由1≤x+1≤3,得0≤x≤2,所以函数的定义域为[0,2].
探究二
同一函数的判断
例2下列各组函数是否表示同一函数?为什么?
(4)f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1;
(5)f(x)=1与g(x)=x0(x≠0).
分析判断每一对函数的定义域是否相同,对应法则是否相同即可.
解
对于(1),在公共定义域R上,f(x)=|x|和φ(t)=
=|t|的对应法则完全相同,只是表示形式不同;对于(2),前者x∈R,后者x≥0,两者定义域不同;对于(3),前者定义域为[0,+∞),后者定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞);对于(4),尽管两个函数的自变量一个用x表示,另一个用t表示,但它们的定义域相同,对应法则相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为同一函数;对于(5),f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)(5)表示的不是同一函数.
要点笔记
同一函数的判断方法
定义域和对应法则,是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时,这两个函数才是同一函数.
变式训练
下列函数表示同一函数的是( )
A.y=2(x+1)与y=2x
B.y=x(x∈Z)与y=x
答案
D
探究三
简单函数值域的求法
分析求函数的值域没有统一的方法.如果函数的定义域是有限个值,那么就可将函数值都求出得到值域;如果函数的定义域是无数个值,那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域,如,观察法、配方法、换元法等.
反思感悟
求函数值域的常用方法
1.观察法:通过对函数关系式的简单变形,利用熟知的一些函数的值域,观察求得函数的值域.
2.配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量的取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域.
3.换元法:通过对函数的关系式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累.
素养形成
抽象函数定义域的求法
典例
(1)函数f(x)的定义域为[2,3],求函数f(x-1)的定义域.
(2)函数f(x-1)的定义域为[2,3],求函数f(x)的定义域.
解
(1)函数f(x)的定义域为[2,3],则函数f(x-1)中,2≤x-1≤3,解得3≤x≤4,即函数f(x-1)的定义域为[3,4].
(2)函数f(x-1)的定义域为[2,3],即2≤x≤3,则1≤x-1≤2,所以函数f(x)的定义域为[1,2].
方法点睛
求抽象函数定义域的原则及方法
(1)原则:同在对应法则f下的范围相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)的范围相同.
(2)方法:①已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域,其实质是已知g(x)∈A,求x的范围;
②已知f(g(x))的定义域为A,求f(x)的定义域,其实质是已知x∈A,求g(x)的范围,此范围就是f(x)的定义域.
当堂检测
1.函数f(x)=
+(x-2)0的定义域为( )
A.[1,+∞)
B.[1,2)∪(2,+∞)
C.(1,+∞)
D.(1,2)∪(2,+∞)
答案
D
答案
B
3.(2020江西莲塘高一月考)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则函数f(2x-1)的定义域为 .?
答案
[0,1]
解析
∵f(x)的定义域为[-1,1],
∴-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
∴函数f(2x-1)的定义域为[0,1].
5.已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f(f(-1))的值.
解
f(1)=13+2×1+3=6.f(t)=t3+2t+3.
f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a.
f(f(-1))=f((-1)3+2×(-1)+3)=f(0)=3.
本
课
结
束(共38张PPT)
第2课时 函数的表示方法及用信息技术
作函数图像
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.(数学抽象)
2.掌握求函数解析式的一般方法.(数学运算)
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.(逻辑推理)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318
km,设计速度目标值为380
km/h.若京沪高速铁路时速按300
km/h计算,火车行驶x
h后,路程为y
km,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线.
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题:根据初中学过的知识,说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的?
【知识点拨】
知识点一、函数的表示方法
名师点析
函数的三种表示方法的优缺点
表示方法
优 点
缺 点
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图像法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
微练习
购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域.
解
(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}.
(列表法)
x
1
2
3
4
y
2
4
6
8
(图像法)
该函数的值域为y∈{2,4,6,8}.
知识点二、用集合语言对函数的图像进行描述
一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.
这就是说,如果F是函数y=f(x)的图像,则图像上的任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图像F上.
微思考
如何判断一个图形是否为一个函数的图像?
提示
判断一个图形是否为函数图像,关键是判断定义域内的任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应.即要检验一个图形是否是一个函数的图像,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,平移垂线,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图像,否则,该图形不是函数的图像.
知识点三、分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的
对应方式,则称其为分段函数.
名师点析
学习分段函数应注意
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.
(2)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间端点的开闭,做到不重复、不遗漏.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.
微练习
(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.
解
(1)∵f(-2)=-(-2)=2,
∴f(f(-2))=f(2)=4.
(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,
∴a=2.
②当a≤0时,f(a)=-a=4,
∴a=-4.
综上可知,a=-4或a=2.
课堂篇
探究学习
探究一
画函数图像
例1作出下列函数的图像:
(1)y=-x+1,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3);
(3)y=|1-x|;
分析作函数图像,首先明确函数的定义域,其次明确函数图像的形状,体会定义域对图像的控制作用,处理好端点.如第(4)小题x=0时的情况.作图时,如第(2)小题,先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.函数图像的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.
解
(1)定义域为Z,所以图像为离散的点.图像如图1所示.
(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3),定义域不是R,因此图像不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图像如图2所示.
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数
图像如图3所示.
(4)这个函数的图像由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;
当-1≤x<0时,为直线y=x+1的一段.图像如图4所示.
反思感悟
常见的函数图像的画法
1.描点法.
描点法的一般步骤是:列表、描点、连线;
列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;
描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;
连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
2.变换作图法.
变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.
探究二
求函数解析式
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)= ;?
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)= .?
分析(1)用换元法或配凑法求解;(2)用待定系数法求解;(3)用方程组法求解.
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,
反思感悟
求函数解析式的四种常用方法
1.待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
2.换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.
3.配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.
4.方程组法:当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.
探究三
分段函数及其应用
分析在x≥-2时,由x+2>2,解得x>0后,需与x≥-2求交集,得x>0;当x<-2时,由
-x-2>2,得x<-4,与x<-2求交集,得x<-4.然后求x>0与x<-4的并集得最后结果.
解
当x≥-2时,f(x)=x+2,由f(x)>2,得x+2>2,解得x>0,故x>0;
当x<-2时,f(x)=-x-2,由f(x)>2,得-x-2>2,
解得x<-4,故x<-4.
综上可得,x的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞).
反思感悟
解决分段函数问题的关注点
1.已知函数值,求自变量的值时,切记要进行检验.解题时一定要注意自变量的范围,只有在自变量确定的范围内才可以进行运算.
2.已知f(x),解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.
延伸探究作出下列函数的图像,并写出函数的值域.
(1)y=|x+2|+|x-3|;
(2)y=|x+1|-|x-2|.
素养形成
数形结合思想在分段函数中的应用
典例
已知
则满足不等式f(1-x)>f(x)的x的取值范围是 .?
解析
方法一(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下:
当1-x≥0,且x≥0,即0≤x≤1时,
由f(1-x)>f(x),得(1-x)2>x2,
解得x<
,所以0≤x<
;
当1-x≥0,且x<0,即x<0时,
由f(1-x)>f(x),得(1-x)2+1>1,解得x≠1,
又x<0,所以x<0;
当1-x<0,且x<0,此时x不存在,不满足要求;
当1-x<0,且x≥0,即x>1时,
由f(1-x)>f(x),得1>x2+1,此时不成立.
综上可知,所求x的取值范围是
方法二(数列结合法)
方法点睛
函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上方的函数值大于下方所有函数图像对应的函数值,故可以根据函数图像的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.
当堂检测
1.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))=( )
A.2
B.1
C.3
D.不确定
答案
B
答案
B
3.(多选题)(2020广东佛山高一检测)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图像的是( )
答案
AD
解析
在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应,满足函数关系,在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性,故选AD.
4.(2021重庆巴蜀中学高一期末)已知函数f(x)满足f(x-1)=2x,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2x-1
B.f(x)=2(x-1)
C.f(x)=2x+1
D.f(x)=2(x+1)
答案
D
解析
令x-1=t,则x=t+1,代入得f(t)=2(t+1),即f(x)=2(x+1).故选D.
5.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100
km,那么票价是每千米0.5元;如果超过100
km,那么超过部分按每千米0.4元定价.则客运票价y(单位:元)与行程数x(单位:km)之间的函数关系式是
.?
解析
由题意,得当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)
×0.4=10+0.4x.
本
课
结
束(共36张PPT)
第1课时 函数的单调性
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解函数的单调性的概念.(逻辑推理)
2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.(逻辑推理)
3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.(直观想象)
4.掌握函数单调性的一些简单应用.(数学抽象)
5.理解函数的平均变化率.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8~9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y
(百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.
问题:(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?
【知识点拨】
知识点一、函数单调性的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I?D.
(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1
(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图2所示.
图1
图2
两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的
单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
名师点析
1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.
2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
微练习
(1)已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )
答案
B
(2)如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
答案
D
解析
根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.
知识点二、函数的平均变化率
一般地,当x1≠x2时,称
为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
微思考
给定平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),如何确定直线AB的斜率?
提示
当x1≠x2时,直线AB的斜率为
;当x1=x2时,直线AB的斜率不存在.
知识点三、判断函数单调性的步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤:
(1)任取x1,x2∈I,且Δx=x2-x1>0;
(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);
(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);
(4)定号(即判断Δy的正负);
(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).
微练习
求证:函数f(x)=
在区间[0,+∞)上是增函数.
课堂篇
探究学习
探究一
用定义法证明(判断)函数的单调性
例1利用单调性的定义证明函数f(x)=
在(-∞,0)内是增函数.
分析解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.
反思感悟
证明函数的单调性的步骤
1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x12.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);
3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;
4.判断:根据定义作出结论(若Δx=x2-x1与Δy=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).
探究二
利用图像求函数的单调区间
例2已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.
分析首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.
由图像可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].
反思感悟
图像法求单调区间的关注点
1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点.
2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用.
3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.
4.加绝对值的函数图像的两种画法:
(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像.
(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.
变式训练
2写出y=|x2-2x-3|的单调区间.
所以y=|x2-2x-3|的单调递减区间为(-∞,-1],[1,3];单调递增区间为[-1,1],[3,+∞).
探究三
函数单调性的简单应用
例3已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若函数f(x)的图像过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
解
(1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),
∴f(x)=x2-2x+5.
(2)由f(x)在区间[1,2]上不单调可知1<-
<2,即-4反思感悟
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
延伸探究把本例(2)条件“不单调”改为“单调”,求实数a的取值范围.
解
由f(x)在区间[1,2]上单调可知
,即a≤-4或a≥-2.a的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,+∞).
素养形成
分类讨论思想在函数单调性中的应用
分析要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.
解
设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x1∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
此时f(x)在(-1,1)内是减函数;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)此时f(x)在(-1,1)内是增函数.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;
当a<0时,函数f(x)在(-1,1)内是增函数.
方法点睛
1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
当堂检测
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )
A.y=2x+1
B.y=3x2+1
C.y=
D.y=|x|
答案
C
解析
由一次函数、二次函数、反比例函数及y=|x|的图像与性质知,只有选项C中的函数在区间(0,+∞)上不是增函数.故选C.
2.下列命题正确的是( )
A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2∈(a,b),使得当x1C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1∪I2上为增函数
D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)答案
D
解析
根据函数单调性的定义来判断.
3.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调递减区间为 .?
4.已知函数f(x)=ax2-x+a+1在区间(-∞,2)内是减函数,则a的取值范围为 .?
本
课
结
束(共35张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)
2.能借助函数的图像和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).(直观想象)
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况?
问题1:该天的最高气温和最低气温分别是多少?
问题2:设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化?
问题3:从函数图像上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?
【知识点拨】
知识点、函数的最大(小)值的定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点.
要点笔记
若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)的值域是[f(a),f(b)];若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数y=f(x)的值域是[f(b),f(a)].
微练习
已知函数f(x)在[-2,2]上的图像如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2),0
B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
答案
C
解析
由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
课堂篇
探究学习
探究一
利用函数的图像求函数的最值
例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图像,确定函数的最值情况,并写出值域.
分析去绝对值→分段函数→作图→识图→结论
由图像知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
反思感悟
图像法求最值的基本步骤
(1)画出f(x)的图像;
(2)利用图像写出该函数的最大值和最小值.
解
(1)函数f(x)的图像如图所示.
(2)由图像可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
探究二
利用函数的单调性求最值
例2已知函数f(x)=x+
.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
反思感悟
1.利用单调性求函数最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
解
?x1,x2∈[1,3],且x1.
当1≤x1f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当20,40,
∴f(x1)∴f(x)的最大值为5.
探究三
与最值有关的应用问题
例3一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N
)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)
(1)求y(单位:万元)与x(单位:件)的函数关系式;
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
解
(1)当0当x>20时,y=260-100-x=160-x.
(2)当0而当x>20时,160-x<140.
故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.
反思感悟
解函数应用题的一般程序
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
变式训练
2某公司生产一种电子仪器的月固定成本为20
000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
解
(1)设月产量为x台,则总成本为20
000+100x,
∴当x=300时,f(x)max=25
000.
∵当x>400时,f(x)<60
000-100×400<25
000.
∴当x=300时,f(x)max=25
000,
即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25
000元.
素养形成
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
典例
求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
分析可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的相对位置关系→结合单调性与图像求解
解
y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,[0,2]是函数的单调递增区间,如图1.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图像(如图2)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当1处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,[0,2]是函数的单调递减区间,如图4.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛
1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图像的增减性进行研究.特别要注意二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
对称轴x=h与[m,n]
的位置关系
f(x)的单调性
最大值
最小值
h在[m,n]上单调递增
f(n)
f(m)
h>n
在[m,n]上单调递减
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h<
在[m,h]上单调递减,
在(h,n]上
单调递增
f(n)
f(h)
?
h=
f(m)或f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
变式训练
已知函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解
由函数f(x)=x2-2x+2知其图像的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:
当t+1≤1,即t≤0时,如图1所示,此时函数
f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,
∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.
当
即0此时,函数f(x)在区间[t,1]上单调递减,在区间(1,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图3所示,此时,函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
当堂检测
答案
A
2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0
B.-1
C.2
D.3
答案
C
解析
y=|x+1|+2的图像如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3]
B.[-1,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,3]
答案
D
解析
∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.
答案
11
解析
f(x)在区间[1,2]上单调递增,其最大值为f(2)=10;f(x)在区间[-4,1]上单调递减,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
5.把长为12
cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.
本
课
结
束(共36张PPT)
3.1.3 函数的奇偶性
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.(逻辑推理)
2.能根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.(逻辑推理)
3.能利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等.(数学运算)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?
【知识点拨】
知识点一、奇偶函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,
名师点析
对函数奇偶性定义的理解
(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.
(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称.
微练习
下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( )
A.y=x-1
B.y=3x2
C.y=
D.y=-x|x|
答案
D
知识点二、奇偶函数的图像特征
(1)偶函数的图像关于
y轴
对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.
(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.
名师点析
奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0[a,b],[-b,-a](0微思考
(1)如果f(x)的图像关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?
提示
f(x)的图像关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图像上,则哪一个点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?
提示
若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图像上.
课堂篇
探究学习
探究一
判断函数的奇偶性
分析先求定义域,验证定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,进而做出判断.
(3)函数的定义域为[-1,1],关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
反思感悟
如何判断函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下:
(1)求f(x)的定义域;
(2)若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系.
2.对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性:
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
(2)奇函数的和、差仍为奇函数;
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
变式训练
1下列函数是偶函数的为( )
A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案
D
解析
选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数.
探究二
由函数的奇偶性求函数的解析式
例2已知f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的表达式.
分析已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.
解
令x<0,则-x>0.
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.
反思感悟
由函数奇偶性求函数解析式的解题策略
1.函数具有奇偶性,若只给出了部分区间上的解析式,则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式,其解题理论为函数奇偶性的定义.
正用定义可以判断函数的奇偶性,逆用可以求出函数在对称区间上的解析式.
2.结论:
(1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x,y分别替换为-x,-y,然后解出y即可.
(2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x<0时的解析式.
延伸探究若本例题中题干不变,如何求当x≤0时,f(x)的表达式?
解
只需将f(0)单独求出.
因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,
所以f(0)=0.
又因为f(x)=x|x+2|,x<0,所以f(x)=x|x+2|,x≤0.
探究三
奇、偶函数图像的应用
例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(2,+∞)
答案
C
解析
由偶函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.
于是可得出如图的草图.
由图可知使f(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选C.
反思感悟
函数奇偶性的应用
1.研究函数图像时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.
2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).
变式训练
2奇函数f(x)的定义域为[-5,5],它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为 .?
答案
{x|-2解析
奇函数f(x)在[-5,5]上的图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)<0;x∈(0,2)时,f(x)>0.
因为其图像关于原点对称,所以x∈(-5,-2)时,f(x)>0;x∈(-2,0)时,f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2素养形成
利用函数的单调性与奇偶性解不等式
典例
设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)方法点睛
利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)当堂检测
1.下列函数中是奇函数的为( )
A.y=x3-x2
B.y=|x-1|
C.y=-3x3+x
D.y=
答案
C
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
④若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图像.
其中不正确的是( )
A.①②
B.①④
C.①②④
D.①②③④
答案
D
解析
①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处可能无定义;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A为关于原点对称的数集);④中该图形可能不是函数的图像.故①②③④均错误.
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当x∈(0,+∞)时,f(x)= .?
答案
-x-x4
解析
(方法一)由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,即答案为-x-x4.
(方法二)设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),
则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.
又y=f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x).
∴f(x)在区间(0,+∞)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.
(1)如图是f(x)在区间[0,+∞)内的图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据;
(2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0).
本
课
结
束(共57张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.(数学运算)
2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.(数学运算)
3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.(直观想象)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
路边有一条河,小明从A点走到了B点,观察下列两组画面,并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河?
将这个实际问题抽象成数学模型.
【知识点拨】
知识点一、函数的零点
(1)定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即
f(α)=0
,则称α为函数y=f(x)的零点.
(2)性质:
①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.
要点笔记
(1)函数的零点可以理解为一个函数的图像与x轴的交点的横坐标.
(2)方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
微练习
下列函数中没有零点的是( )
答案
D
解析
由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.由于函数f(x)=
中,对任意自变量x的值,均有
≠0,故函数不存在零点.
知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系
设f(x)=ax2+bx+c(a>0)
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=f(x)的图像
?
?
?
f(x)的零点
x1,x2
x1(或x2)
无零点
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
f(x)=0的根
有两个不等的实根x1,x2,且x1有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2
没有实数根
f(x)>0的解集
{x|xx2}
?
R
f(x)<0的解集
{x|x1?
?
微思考
(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?
提示
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点.
(2)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为?,结论又如何?
提示
①如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,
知识点三、零点存在定理及分类
(1)函数零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且
f(a)f(b)<0
(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即?x0∈(a,b),
f(x0)=0
.
(2)分类:
名师点析
(1)一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:①函数f(x)在[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线;②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可.
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.
微思考
对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0一定成立吗?
提示
对于函数f(x),若满足f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图1所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)f(b)<0,如图2所示.
知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
(1)二分法的定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
这些步骤可用如图所示的框图表示.
微练习
答案
B
微思考
用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?
提示
不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间[a,b]内,都不满足f(a)f(b)<0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.
课堂篇
探究学习
探究一
求函数的零点
例1求下列函数的零点:
(1)f(x)=-x2-2x+3;
(2)f(x)=x4-1.
分析解对应的方程的根,即为函数的零点.
解
(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.
故函数的零点是-3,1.
(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),
所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.
故函数的零点是-1,1.
反思感悟
求函数零点的方法
1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.
2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练
1求f(x)=x3-4x的零点.
解
令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,
x2=-2,x3=2.
所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.
探究二
函数法(图像法)解一元二次不等式
例2解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
分析根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及基本方法求解.
(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,
∴不等式x2-4x+4>0的解集为{x|x≠2}.
(3)原不等式可化为x2-2x+3>0,由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,
∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.
反思感悟
函数法解一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据函数图像写出不等式的解集.
变式训练
2解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-
≥0.
探究三
判断函数的零点个数
例3(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac<0,则函数的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
(2)判断下列函数的零点个数:
①f(x)=x2-7x+12; ②f(x)=x2-
.
(1)答案
C
解析
二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点即方程ax2+bx+c=0的根,因为Δ=b2-4ac>0(因ac<0),所以函数有2个零点.
(2)解
①因为由f(x)=0,即x2-7x+12=0,得Δ=49-4×12=1>0,所以方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4.所以函数f(x)有两个零点.
方法二:令f(x)=0,即x2-
=0,因为x≠0,所以x3-1=0.
所以(x-1)(x2+x+1)=0.
所以x=1或x2+x+1=0.
因为方程x2+x+1=0的根的判别式Δ=12-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实数根.
所以函数f(x)只有1个零点.
反思感悟
函数零点的判断方法
1.对于函数零点的个数的判断通常的做法有:(1)直接求出零点;(2)结合函数图像分析;(3)对函数解析式确定的二次函数,用判别式Δ即可,若Δ表达式中含有字母,需对字母进行讨论.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数?抛物线f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的个数?方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的个数.
解
当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍);
当x>0时,令-2+x=0,解得x=2.
探究四
零点性质的应用
例4当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内?
分析对a分a=0,a>0,a<0三种情况讨论,并利用零点的特征性质来解决.
解
当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,
不符合题意.
当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,
∵方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,
反思感悟
解决根的分布问题的一般步骤
1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
2.结合草图考虑三个方面:(1)Δ与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.
3.写出由题意得到的不等式(组).
4.由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.
延伸探究求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.
解
设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.
又二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的,故f(x)在(-1,0)和(1,2)内分别有零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.
探究五
利用二分法求函数零点的近似值
例5求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度0.01).
解
确定一个包含负数零点的区间(m,n),
且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0,f(-2)<0,
所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间,
当然选取在较大的区间也可以.用二分法逐步计算,列表如下:
由于|-1.929
687
5+1.937
5|=0.007
812
5<0.01,所以函数的一个负零点近似值可取为-1.929
687
5.
反思感悟
1.二分法求函数零点近似值的一般步骤
2.二分法应用时的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,以及时终止计算.
延伸探究求本例函数f(x)在区间[-2,-1]上精确度为0.1的一个零点近似值.
解
因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图像是连续的曲线,根据函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:
由于|-1.875+1.937
5|=0.062
5<0.1,所以函数在区间[-2,-1]内的一个近似零点可取为-1.937
5.
素养形成
二次函数的零点综合问题
典例
已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;
(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;
(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).
分析本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.
(3)∵α,β是函数f(x)的两个不同零点,
∴α,β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两根,
∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5.
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.
方法点睛
1.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,也可以说x1,x2是f(x)=ax2+bx+c的两个零点,则有x1+x2=
2.本题中如果忽视Δ的利用,将会影响α2+β2的范围而导致出错.
变式训练
设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0)在[-1,1]上存在一个零点,求实数a的取值范围.
解
∵一次函数f(x)在[-1,1]上存在零点,∴f(-1)·f(1)≤0.
∴(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(3a+1)(a+1)≤0.
令g(a)=(3a+1)(a+1)=0,得函数g(a)的两个零点是
a1=-1,a2=-
,作出g(a)的图像如图所示,
当堂检测
1.(多选题)下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的图像是( )
答案
ACD
2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则实数f(x)=cx2+bx+a的零点为( )
A.1,2
B.-1,-2
答案
C
3.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 .?
答案
(-∞,-5]
解析
设f(x)=x2+mx+4,要使x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有
4.(1)当m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点?
②有两个不同零点且均比-1大?
(2)若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
解
(1)①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.
②设两个零点分别为x1,x2,且x1>-1,x2>-1,x1≠x2,则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4,
(2)若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
则作出g(x)的图像,如下图所示.
由图像可知要使|4x-x2|=-a有四个根,
则需g(x)的图像与h(x)的图像有四个交点,
所以0<-a<4,即-4故a的取值范围是(-4,0).
本
课
结
束(共42张PPT)
3.3 函数的应用(一)
3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.会利用所学知识,解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.(数学运算)
2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学应用意识.(数学建模)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
牛顿(1642—1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家,是17世纪最伟大的科学巨匠.然而,对于一些在自然科学上一知半解的人来说,牛顿的赫赫有名与其说来自他的科学发现,毋宁说是来自那个妇孺皆知的苹果落地的故事.那是1666年夏末的一个傍晚,在英格兰林肯郡乌尔斯索普,一个腋下夹着一
本书的年轻人走进了他母亲家的花园,坐在一棵树下,开始埋头读他的书.正在他翻动书页时,他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然,“啪”的一声,一只历史上最著名的苹果落了下来,恰好打在了这位青年的头上.这位青年不是别人,正是牛顿.据说,牛顿当时正在苦苦思索着一个问题:是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上,又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上?
掉下来的苹果打断了他的思索,“为什么这只苹果会坠落到地上呢?”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说正是从这一问题的思考中,他找到了答案,并提出了万有引力定律.
问题1:你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单地提出的万有引力吗?
问题2:你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗?
【知识点拨】
知识点一、常见的函数模型
(1)一次函数模型.
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图像解题时,应注意:①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图像是一条直线.
(2)二次函数模型.
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题.
(3)分段函数模型.
这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数(形如y=
,k≠0)、二次函数模型中两种及以上的综合.
微思考
(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?
提示
通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型.
(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?
提示
在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.
知识点二、实际问题的函数建模
实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.
一般步骤为:
(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.
(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.
(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题
的解.
微练习
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
解
设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1
050,
x∈[250,400].
因为y=0.3x+1
050是定义域上的增函数,所以当x=400时,
ymax=120+1
050=1
170(元).
答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1
170元.
课堂篇
探究学习
探究一
一次函数模型的应用
例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(单位:元)与日产量x(单位:套)之间的关系为y=6x+30
000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2
000套
B.3
000套
C.4
000套
D.5
000套
(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(单位:个),付款y(单位:元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
(1)答案
D
解析
因利润z=12x-(6x+30
000),所以z=6x-30
000,由z≥0解得x≥5
000,故至少日生产文具盒5
000套.
(2)解
由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
当4≤x<34时,y1当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.
反思感悟
1.一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
2.一次函数的最值求解
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.
变式训练
1若一根蜡烛长20
cm,点燃后每小时燃烧5
cm,则燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:h)的函数关系用图像表示为图中的( )
答案
B
解析
蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D,更不可能是A,C.故选B.
探究二
二次函数模型的应用
例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
分析本题中平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.
解
(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9
600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9
600=-3(x-60)2+1
200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为
1
125元.
反思感悟
二次函数的实际应用
1.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.
2.对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
变式训练
2有A,B两城相距100
km,在A,B两城之间距A城x
km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10
km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?
探究三
分段函数模型的应用
例3WAP手机上网每月使用量在500
min以下(包括500
min),按30元计费;超过500
min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60
min)使用量在1
min以下不计费,在1
min以上(包括1
min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x
min与所付费用y元之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20
h,要付多少钱?
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?
分析由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.
解
(1)设上网时间为x
min,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
(2)当x=20×60=1
200(min)时,x>500,
应付y=30+0.15×(1
200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500
min,由解析式可得上网时间为900
min.
反思感悟
分段函数的实际应用
1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.
延伸探究为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:
该企业职工每人每月工资为1
200元,其他经营性费用为每月13
200元.
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?
解
(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,
则(52-40)×36×100=1
200t+13
200,
∴t=25.
即该企业有25名职工.
(2)设每个月的利润为f(p),则
∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,
当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,
∵450>441,∴当p=55时,能更早还清贷款,
又(100×450-1
200×20-13
200)×12=93
600,
=5,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.
素养形成
规范答题
典例季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后,当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销售.
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系式为Q=-0.125(t-8)2+12,
t∈[0,16],t∈N,试问该服装第几周每件销售利润最大?最大利润是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)
解
(1)由题意,知
当t∈[0,5]时,P=10+2t;
当t∈(5,10]时,P=20;
当t∈(10,16]时,P=20-2(t-10)=40-2t.
(2)设每件的销售利润为L元,则L=P-Q,
故当t∈[0,5],t∈N时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12=0.125t2+6,当t=5时,Lmax=9.125;
当t∈(5,10],t∈N时,L=20+0.125(t-8)2-12=0.125(t-8)2+8,当t=6或10时,Lmax=8.5;
当t∈(10,16],t∈N时,L=40-2t+0.125(t-8)2-12=0.125(t-16)2+4,当t=11时,Lmax=7.125.
综上可知,第五周每件销售利润最大,最大利润为9.125元.
方法点睛
(1)分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.
(2)分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.
变式训练
某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的
,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.
(1)写出y(单位:万元)关于x(单位:人)的函数解析式,并指出x的取值范围;
(2)当140当堂检测
1.面积为S的长方形的某边长度为x,则该长方形的周长L与x的函数关系为( )
答案
C
2.某生产厂家的生产总成本y(单位:万元)与产量x(单位:件)之间的关系式为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( )
A.52
B.52.5
C.53
D.52或53
答案
D
解析
因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),
所以x=52或x=53时,f(x)有最大值.
3.已知直角梯形ABCD,如图1所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图像如图2所示,则△ABC的面积为 .?
答案
16
4.某汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为每辆25万元,市场调研表明:当销售单价为每辆29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价-进货单价).
(1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式;
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
解
(1)因为y=29-25-x,所以y=-x+4(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N).
(2)
=(8x+8)×(-x+4)=-8x2+24x+32(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N).
(3)由(2)知,z=-8x2+24x+32=-8(x-1.5)2+50(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N),
故当x=1.5时,zmax=50.
所以当销售单价为每辆29-1.5=27.5(万元)时,每周的销售利润最大,最大利润为50万元.
本
课
结
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习题课 函数单调性与奇偶性的综合应用
第三章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法.(数学运算)
2.理解并运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
图1和图2分别是偶函数和奇函数的一部分图像,你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗?
【知识点拨】
知识点、函数的单调性与奇偶性
(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;
f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.
(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.
(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则
f(0)=0;若f(x)为偶函数,则
f(x)=f(-x)=f(|x|).
微练习
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)( )
A.在区间[1,7]上是增函数
B.在区间[-7,2]上是增函数
C.在区间[-5,-3]上是增函数
D.在区间[-3,3]上是增函数
(2)若奇函数f(x)满足f(3)A.f(-1)B.f(0)>f(1)
C.f(-2)D.f(-3)(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为
.?
答案
(1)C (2)A (3)f(3)解析
(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.
所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的单调性可知选C.
(2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(-1).
(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)内单调递减,故f(3)再由偶函数性质得f(3)课堂篇
探究学习
探究一
利用函数的奇偶性求解析式
例1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:
(1)f(0);
(2)当x<0时,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
分析(1)利用奇函数的定义求f(0);
解
(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.
反思感悟
利用函数奇偶性求解析式的注意事项
1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;
2.利用已知区间的解析式进行代入;
3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);
4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.
变式训练
1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x<0时f(x)的解析式.
解
设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.
探究二
应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
例2设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)答案
A
解析
∵f(x)在R上是偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).
而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)内为增函数,
∴f(2)∴f(-2)要点笔记
利用函数性质比较大小的常用方法
在应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
变式训练
2若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则
f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
解
因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).
又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
素养形成
化归思想在解抽象不等式中的应用
典例
已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
分析要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.
解
∵f(x)是奇函数,
∴f(1-a2)=-f(a2-1).
∴f(1-a)+f(1-a2)<0
?f(1-a)<-f(1-a2)
?f(1-a)∵f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减的,
∴a的取值范围为(0,1).
方法点睛
1.本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.
2.本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:
(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价变形时出错;
(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f(x)的定义域出错;
(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.
变式训练
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)内是减函数,且f(x)>0,实数a满足不等式f(3a2+a-3)解
∵f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,∴f(x)的图像在y轴左侧递减.
又∵f(x)是奇函数,
∴f(x)的图像关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减,且f(x)<0.
又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,
∴f(x)的图像在R上递减.
∵f(3a2+a-3)∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,
即实数a的取值范围为(1,+∞).
当堂检测
1.设f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)B.f(4)>f(3)
C.f(2)>f(0)
D.f(-1)答案
D
解析
∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又f(4)>f(1),∴f(4)>f(-1).
2.(2020江西赣州南康中学高一月考)已知f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,则当x<0时,f(x)=( )
A.x2-2x
B.-x2+2x
C.x2+2x
D.-x2-2x
答案
B
解析
设x<0,-x>0,则f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x)=-x2+2x.故选B.
3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=_________.
答案
-26
解析
∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,∴25+a·23+2b=-18.
∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.
5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解
∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6,即a的取值范围为(6,+∞).
本
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章末整合
第三章
2021
内容索引
01
02
知识网络
系统构建
题型突破
深化提升
知识网络
系统构建
题型突破
深化提升
专题一
分段函数的应用
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解
(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图像(图像略)知
∴1方法技巧已知函数的奇偶性求参数值,可利用定义或特殊值来求解,本题也可用f(-1)=-f(1)求出m的值,再检验即可.另外,分段函数的各段的单调性可分别判断,但对于跨段的单调性问题要注意在分段端点处的衔接.
专题二
函数单调性、奇偶性的综合应用
例2已知函数f(x)=ax+
(x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
变式训练
2函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f(1)=0,求不等式f(x-
)<0的解集.
专题三
二次函数的最值(值域)
例3已知函数f(x)=x2+2ax+2.
(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值和最小值;
(2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.
分析将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论.
解
(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为1∈[-5,5],故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;
当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.
(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a.
当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增函数,
所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;
当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图1所示,
由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;
当0<-a<5,即-5当-a≥5,即a≤-5时,函数在区间[-5,5]上是减函数,所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a.
综上可得,当a≥5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为27-10a;
当0≤a<5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为2-a2;
当-5当a≤-5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a,最小值为27+10a.
方法技巧对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的最值问题,首先应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.
(1)求二次函数在定义域R上的最值;
(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型:
①顶点固定,区间也固定.
此种类型是较为简单的一种,只要找到对称轴,画出图像,将区间标出,最值一目了然.
②顶点变动,区间固定.
这种类型是比较重要的,在高考题中多次出现,主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况,然后根据不同情况写出最值.
③顶点固定,区间变动.
此种情况用得较少,在区间里含有参数,根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论.
变式训练
3设f(x)=x2-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式.
解
∵f(x)=(x-2)2-8,x∈[t,t+1],
∴当2∈[t,t+1],即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8.
当t+1<2,即t<1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,
∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,
∴g(t)=f(t)=t2-4t-4.
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