临湘市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学
温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷，请将答案写在答题卷上，只交答题卷。
一、单项选择题。（本题共8小题，每小题5分。共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（其中i为虚数单位）的共轭复数为
A．1+
i
B．
C．
D．
2．如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”
A．“至少有一个黑球”与“都是红球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
3．已知向量，的夹角为，，，则
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设有直线m、n和平面、，下列命题中正确的命题是
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是
A．
B．
C．
D．
6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则
A．
B．
C．
D．
7．AB，CD是半径为1的圆的两条直径，，则
A．
B．
C．
D．
8．已知A、B、C三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为
A．1
B．
C．2
D．
二、多项选择题。（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得零分）
9．下面结论正确的是
A．若，则事件A与B是互为对立事件
B．若，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是
A．若A>B，则sinA>sinB
B．若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解
C．若△ABC为钝角三角形，则
D．若A=60°，a=2，则△ABC面积的最大值为
11．若向量，，下列结论正确的是
A．若同向，则
B．与垂直的单位向量一定是
C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则
D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是
12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且
AA1=AB=2．下列说法正确的是
A．四棱锥B-A1ACC1为“阳马”
B．四面体A1C1CB为“鳖膈”
C．四棱锥B-A1ACC1体积最大为
D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B
三、填空题。（本题共4小题。每小题5分，共20分）
13．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为
．
14．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为
3，4，5，5，6，7，7，8，9，10．则这组数据的
80%分位数是________．
15．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为
米．
16．已知向量=(2，1)，
=(1，7)，
=(5，1)，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么的最小值是____________．
四、解答题。（共70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（10分）已知平面向量、满足，，与的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量与平行，求实数的值．
18．（12分）已知△ABC的内角，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且△ABC的面积，求a．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
（1）求证：直线平面
（2）求直线与平面所成角的正切值．
20．（12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
21．（12分）某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查．
（1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？
（2）若所抽取的6人的血样中恰有2人呈阳性，4人呈阴性，现从这6人的血样中再随机抽取2人的血样作进一步检查，求至少有1人的血样呈阳性的概率．
22．（12分）从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
①sinC=sinA，②，③cos(B+C)=cos2B
问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知：a=bcosC+csinB
,
，__________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．临湘市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分。共40分，
1．B
2．D
3．B【解析】由题意知，所以．
4．D
5．A【解析】从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，共有1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6；共15组，其中1，3；2，4；3，5；4，6四组的编号之差的绝对值为2，故其概率为；
6．D
7．B
8．D【解析】设该球的半径为，可得，所以，设内接正方体的棱长为，所以，所以
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9．BD
10．ABD
11．AC
12．ABD【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”．
所以在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱平面．
在选项A中．
所以，又AC⊥BC，且，则平面．
所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确．
在选项B中．
由AC⊥BC，即，又且，所以平面．
所以，则为直角三角形．又由平面，得为直角三角形．由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形
．所以四面体A1C1CB为“鳖膈”，故B正确．
在选项C中．
在底面有，即当且仅当时取等号．
，所以C不正确．
在选项D中．由上面有平面，则，AF⊥A1C且，则平面
所以，AE⊥A1B且，则平面，则，所以D正确．故选：ABD．
填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分
13．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得，
圆锥的高为，因此圆锥的体积为，
故答案为
14．8.5【详解】数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且，
所以分位数是．
15．
16．-8
解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17．(10分)
（1）
；……………(5分)
（2）向量与平行，设，
由题意可知，向量与不共线，可得，解得．……………(5分)
18．(12分)（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A的大小；
（2）利用面积公式以及余弦定理，解出的值．
【详解】（1）因为，由正弦定理得；
……………(2分)
所以，得，……………(4分)
因，故……………(6分)
（2），得，……………(9分)
，所以……………(12分)
19．
(12分)
【详解】（1）因为四边形是菱形，所以
又因为平面平面
所以又因为
所以平面……………(6分)
（2）过作连结
因为平面平面所以
又因为所以平面
所以是直线与平面所成角……………(9分)
在中，
所以
所以是直线与平面所成角的正切值……………(12分)
20．(12分)【答案】（1）；（2），；（3）．
【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0．002+0．0095+0．011+0．0125+x+0．005+0．0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0．002+0．0095+0．011）×20+0．0125×（a-220）=0．5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0．002＋0．0095＋0．011＋0．0125＋x＋0．005＋0．0025)×20＝1得：
x＝0．0075，所以直方图中x的值是0.0075
……………(3分)
(2)月平均用电量的众数是＝230……………(5分)
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224
……………(8分)
(3)月平均用电量为[220，240)的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240，260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280，300]用户有0.0025×20×100＝5户，……………(10分)
抽取比例＝＝，
所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×＝5户……………(12分)
21．(12分)（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）．
【分析】（1）求出三个部门的员工人数之比，即可求出各部门分别抽取的人数，求出总人数即可求出概率；
（2）求出随机抽取2人的血样的所有可能结果，再得出至少有1人的血样呈阳性的结果，即可求出概率．
【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1，
由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人．……………(3分)
该企业总共有名员工，
记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
所以每一位员工被抽到的概率为．……………(6分)
（2）记事件：“至少有1人的血样呈阳性”
记其中呈阳性的2人的血样分别为，，呈阴性的4人的血样分别为，，，，则从6人的血样中随机抽取2人的血样的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，……………(8分)
其中至少有1人的血样呈阳性的结果有：，，，，，，，，，共9种，……………(10分)
故至少有1人的血样呈阳性的概率为．……………(12分)
22．（12分）【解析】因为，所以a=bcosC+csinB
由正弦定理sinA=sinBcosC+sinCsinB
又因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，所以cosB=sinB，得；……………(4分)
若选择①，得，
由余弦定理，得，
得，所以；……………(12分)
若选择②因为，所以，得，
又由余弦定理，可得
，
得，从而得或．
若选择③因为，且，
所以，即，因为，所以，
，，这与三角形的内角和等于相矛盾，所以这样的三角形不存在．
