2021-2022学年九年级数学人教版上册 22.2 二次函数与系数的关系同步练习（word版含解析）

22.2
二次函数与系数的关系
一、选择题
对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
若无论x取何值，代数式的值恒为非负数，则m的值为
A.
0
B.
C.
D.
1
二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：；；若方程有两个根和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为其中正确的结论有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
若抛物线经过第四象限的点，则关于x的方程的根的情况是
A.
有两个大于1的不相等实数根
B.
有两个小于1的不相等实数根
C.
有一个大于1另一个小于1的实数根
D.
没有实数根
如图抛物线的图象交x轴于和点B，交y轴负半轴于点C，且，下列结论：
；；；
其中正确的个数有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
二次函数部分大致图象如图所示，对称轴为直线，与x轴一个交点为，结合图象，下列说法错误的是
A.
B.
C.
D.
一元二次方方程有两个不相等的实数解
抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；；；方程有两个相等的实数根；其中正确结论的个数为
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与x轴的一个交点在和之间，有以下结论：；；；其中正确结论的个数是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：
；；当时，；
方程有两个大于的实数根．
其中错误的结论有???
．
A.
B.
C.
D.
如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象，下列结论：
；
；
当时，y随x的增大而增大；
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有
A.
B.
C.
D.
二次函数的图象如图所示，下列结论：
；；；．
其中正确结论的个数是
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
抛物线的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则t的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；不等式的解集为，正确的结论个数是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：；；是关于x的方程的一个根；其中正确的个数为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
在平面直角坐标系xOy中，二次函数的大致图象如图所示，则下列结论错误的有个．
，，；；；关于x的方程有两个不相等的实数根．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；当时，y随x的增大而增大：若m，为方程的两个根，则且：，其中正确的结论有
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
；
；
；
；
若方程有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：；；；是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
抛物线的图象如图，下列说法：；；；当时，；若点和在图象上，当时，其中正确的个数是
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：，，，，，其中结论正确的有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：把，代入解析式可得：，
解得：，
所以可得：，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
把代入解析式，根据，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题、涉及多项式乘多项式、二次函数与一元二次方程、根的判别式、解不等式等，解答该题的关键是熟悉二次函数图象的性质．
解答此题首先根据多项式乘多项式化成二次函数的一般式，然后根据题意和二次函数图象的性质，得出，最后根据根的判别式列出关于m的不等式，即可求出m的值．
【解答】
解：原式，
代数式的值恒为非负数，
二次函数的图像开口向上且与x轴最多只有一个交点，即，
，
解得，，
故选B．??
3.【答案】B
【解析】解：抛物线的顶点坐标，
，，
，，
抛物线的解析式为，
，故正确，
，故错误，
抛物线交x轴于，，
若方程有两个根和，且，则，正确，故正确，
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，则，可得，
设方程的两根分别为，，则，可得，
所以这四个根的和为，故错误，
故选：B．
根据二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，借助图象解题是关键．
根据题意画出函数的图象，根据抛物线与x的交点情况即可判断．
【解答】解：由抛物线经过第四象限的点，
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．??
5.【答案】C
【解析】解：据图象可知，，，
，故错误；
，
，
点B坐标为，
，
，
，故正确；
，，抛物线线与x轴交于和两点，
，
，
，故正确；
，
，，
，故正确；
故选：C．
根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．简称：左同右异；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
6.【答案】C
【解析】解：由图象可知：，，
，
，
，故A正确；
由对称轴可知：，
，
，故B正确；
关于直线的对称点坐标为，
，
，
，
，故C错误；
抛物线与直线有两个交点，
一元二次方方程有两个不相等的实数解，故D正确；
故选：C．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在y轴左侧，
，
对称轴为，抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，
与x轴的另一个交点在点和之间，
抛物线和y轴正半轴相交，时，，
，，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
时，，
即，
，即，所以正确；
当时，二次函数有最大值为2，
即只有时，，
方程有两个相等的实数根，故正确；
，
，
，
，故正确；
故选：D．
抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，，根据抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，抛物线和y轴正半轴相交，，，则，则可对进行判断；由抛物线的对称轴方程得到，而时，，则，、于是可对进行判断；利用抛物线的顶点，可得到抛物线与直线只有一个公共点，于是可对进行判断；，代入即可对进行判断．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．
8.【答案】D
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以正确；
抛物线交y的正半轴，
，
，所以正确；
抛物线与x轴有两个交点，
，所以正确；
由图象可知，时，且，
即，
即，故正确；
故选：D．
根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断；根据抛物线与x轴的交点即可判断；由图象可知，时，且，即可得到，即可判断．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数性质等内容，解题关键是利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当时，，；时，，．
由二次函数的图象开口方向知道，与y轴交点知道，由此即可确定ac的符号；
由于当时，，而根据图象知道当时，由此即可判定的符号；
根据图象知道当时，，由此即可判定此结论是否正确；
根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．
【解答】
解：图象开口向下，，
图象与y轴交于正半轴，则，
，故选项错误；
当时，对应y值小于0，即，故选项正确；
当时，，故选项错误；
利用图象与x轴交点都大于，故方程有两个大于的实数根，故选项正确；
故选；C．??
10.【答案】D
【解析】解：抛物线开口向上，因此，与y轴交于负半轴，因此，故，所以正确；
抛物线对称轴为，与x轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，所以不正确；
时，y随x的增大而增大，所以正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以正确；
综上所述，正确的结论有：，
故选：D．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
11.【答案】B
【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为，
，
，故正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
，
，
，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，
，故正确，
由图象知，当时，，
，故错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
先由抛物线与x周董交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为，判断出结论，先由抛物线的开口方向判断出，进而判断出，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出，判断出结论，最后用时，抛物线在x轴下方，判断出结论，即可得出结论．
此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，解得，
关于x的一元二次方程为实数化为，
关于x的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，
且或且，
解得或，
综上所述，t的范围为．
故选：A．
先利用抛物线的对称轴方程得到，再利用方程在的范围内有实数根，则且或且，然后解不等式确定t的范围．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13.【答案】C
【解析】解：抛物线开口向上，则，故正确；
由图象可知：抛物线与x轴无交点，即
，故错误；
由图象可知：抛物线过点，，即当时，，
当时，，
，即，
，故正确；
故正确；
点，在直线上，
由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，
的解集为，故正确；
故选：C．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
14.【答案】C
【解析】解：二次函数的图象开口向下，
，
二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
，
对称轴是直线，
，
，
．
故错误；
抛物线与x轴有两个交点，
，
故正确；
对称轴为直线，且经过点，
抛物线与x轴的另一个交点为，
是关于x的方程的一个，
故正确；
由中知，
，
故正确；
综上所述，正确的结论是共3个．
故选：C．
根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；
根据抛物线与x轴的交点即可判断；
根据二次函数的对称性即可判断；
由对称轴求出即可判断．
本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当时，二次函数的图象开口向上，当时，二次函数的图象开口向下．
15.【答案】C
【解析】解：错误．开口向下，，，，抛物线交y轴的负半轴，．
错误．根据图象可知：错误．根据图象，当时，．
正确．观察图象可知抛物线与直线有两个交点，所以关于x的方程有两个不相等的实数根．
所以错误的有3个，
故选：C．
根据二次函数的性质一一判断即可
本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与x轴的交点等知识．关键在于结合图象利用二次函数的性质解题．
16.【答案】C
【解析】解：抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线
抛物线与x轴交于点和，且
由图象知：，，
故结论正确；
抛物线与x轴交于点
故结论正确；
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
故结论错误；
抛物线与x轴交于点和，
，为方程的两个根
，为方程的两个根
，为函数与直线的两个交点的横坐标
结合图象得：且
故结论成立；
当时，
故结论正确；
故选：C．
根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
17.【答案】A
【解析】解：二次函数图象性质知，开口向下，则再结合对称轴，得据二次函数图象与y轴正半轴相交得．
．
错．
二次函数图象与x轴交于不同两点，则．
．
错．
，
．
又当时，．
即．
．
．
．
正确．
要使成立，
只须成立．
即当时的y值大于当时的y值成立．
由于时函数有最大值，所以上述式子成立．
正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可．
由二次函数图像的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为故错．
综上：正确，故选：A．
由二次函数图象性质知，开口向下，则再结合对称轴，得据二次函数图象与y轴正半轴相交得由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则．
本题考查二次函数图象性质，较为综合．需要对二次函数各项系数对图象的理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想去解题．
18.【答案】C
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以正确；
点A到直线的距离大于1，
点B到直线的距离大于1，
即点B在的右侧，
当时，，
即，
，所以错误；
，，
，
，即，所以正确；
点A与点B关于直线对称，
，
是关于x的一元二次方程的一个根，所以正确．
故选：C．
利用抛物线开口方向得到，利用对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对进行判断；利用对称性可判断点B在的右侧，则当时，，则可对进行判断；利用，得到，把代入抛物线解析式可对进行判断；利用抛物线的对称性得到，则根据抛物线与x轴的交点问题可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
19.【答案】C
【解析】解：根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交与负半轴，对称轴在y轴右侧，则，，，所以故正确；
抛物线经过，两点，
二次函数对称轴为直线，
，
故，故正确；
当时，可得：，故正确；
根据图示知，当时，，故错误；
若在函数图象上，当时，无法确定，，的大小关系，故错误．
故选：C．
直接利用二次函数的性质分别利用函数图象与图象上点的坐标分析得出答案．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
20.【答案】D
【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
，
，
又，
，
，所以错误；
，即，所以正确；
，，
，所以正确；
，
而，
，
，所以正确；
当时，．
，，
由得到，
由得到，即，
上面两个相加得到，
故正确，
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．
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