22.2.1直接开平方法和因式分解法 课时作业- 2021-2022学年华东师大版九年级数学上册（2课时 Word版含答案）

22.2.1　第1课时　直接开平方法
知识点
1　用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的
一元二次方程
1.解方程:x2=25.
因为x是25的平方根,所以x=　　　　.?
所以原方程的解为x1=　　　　,x2=　　　　.?
2.一元二次方程x2-4=0的解是
(　　)
A.x1=2,x2=-2
B.x=-2
C.x=2
D.x1=2,x2=0
3.[教材例1变式]
用直接开平方法解下列方程:
(1)16x2=81;
(2)5x2-125=0;
(3)x2-5=;
(4)x2=3-x2.
知识点
2　用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥
0)的一元二次方程
4.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是　　　　　　.?
5.将方程(2x-1)2=9直接开平方,
得2x-1=　　　　,?
即2x-1=　　　　或2x-1=　　　　,?
所以x1=　　　　,x2=　　　　.?
6.下列方程中,不能用直接开平方法求解的是
(　　)
A.x2-3=0
B.(x-1)2-4=0
C.x2+2=0
D.(x-1)2=(-2)2
7.用直接开平方法解下列方程:
(1)(x+2)2=27;　
(2)(x-3)2-9=0;
(3)(2x-8)2=16;　
(4)9(3x-2)2=64.
8.已知2x2+3与2x2-4的值互为相反数,则x的值为
(　　)
A.±
B.±
C.
D.
9.给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'=nxn-1.例如:若函数y=x4,则y'=4x3.已知函数y=x3,则方程y'=12的根是
(　　)
A.x1=4,x2=-4
B.x1=2,x2=-2
C.x1=x2=0
D.x1=2,x2=-2
10.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2=　　　　.?
11.已知直角三角形的两直角边长x,y满足|x2-16|+=0,求这个直角三角形斜边的长.
12.对于实数p,q,我们用符号min表示p,q两数中较小的数,如min=1.因此,min=　　　　;若min=1,则x=　　　　.?
第2课时　因式分解法
知识点
1　解形如ab=0的方程
1.方程(x-2)(x+3)=0的解是
(　　)
A.x=2
B.x=-3
C.x1=-2,x2=3
D.x1=2,x2=-3
2.一元二次方程x(x-6)=0的两个实数根中较大的根是　　　　.?
3.解方程:2x(x-3)=0.
知识点
2　利用提公因式法解一元二次方程
4.将方程4x2-3x=0左边提公因式后,得x(4x-3)=0,必有　　　　=0或　　　　=0,解这两个方程,得原方程的根为x1=　　　　,x2=　　　　.?
5.[2020·凉山州]
一元二次方程x2=2x的根为
(　　)
A.x=0
B.x=2
C.x1=0,x2=2
D.x1=0,x2=-2
6.用因式分解法解方程:(x-3)2+2x(x-3)=0,把方程左边因式分解后,得　　　　　　　　,即(x-3)(3x-3)=0,由此得　　　　或　　　　,解得x1=　　　　,x2=　　　　.?
7.[2020·威海]
一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为　　　　　　.?
8.用因式分解法解下列方程:
(1)x(x-3)=x;　　
(2)(x+1)2-2x(x+1)=0;
(3)(x+2)2=2x+4.
9.小红解方程x(2x-5)+4(5-2x)=0的过程如下:先将方程变为x(2x-5)-4(2x-5)=0,移项得x(2x-5)=4(2x-5),方程两边都除以(2x-5)得x=4.请你判断小红的解法是否正确,若不正确,请给出正确的解法.
知识点
3　利用平方差公式、完全平方公式解一元
二次方程
10.由4y2-9=0,可得(　　　)2-32=0,则(2y+3)(　　　)=0,所以2y+3=0或　　　=0,解得y1=　　　　,y2=　　　　.?
11.由方程x2-4x+4=0可得(　　　　)2=0,则　　　　=0,解得x1=x2=　　　　.?
12.运用平方差公式或完全平方公式解方程:
(1)9y2-16=0;
(2)(x-1)2=9;
(3)2x2-4x=-2;
(4)25x2=10x-1.
13.已知方程x2+px+q=0的两个根分别为2和-5,则二次三项式x2+px+q可分解为
(　　)
A.(x+2)(x-5)
B.(x-2)(x+5)
C.(x+2)(x+5)
D.(x-2)(x-5)
14.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,其中x1(　　)
A.-4
B.-8
C.8
D.4
15.点A(2,0)和点B(0,1)都在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上,则关于x的方程x(kx+b)=0的解是　　　　　　.?
16.用因式分解法解下列方程:
(1)[教材例2(2)变式]
3(x-)=5x(-x);
(2)[教材例3(2)变式]
(2x-5)2-2=0;
(3)x2+3=2(x+1);
(4)x2-4x+4=(3-2x)2.
　利用十字相乘法解二次项系数为“1”的一元二次方程
方法指引:
此类题的解题思路为逆用多项式乘法,具体步骤为:首先把常数项分解为两个因数的积,然后把两个因数相加得到的结果恰好等于一次项的系数,于是就可对一元二次方程进行因式分解后求解.
例:用十字相乘法因式分解x2-5x+6时,可根据得:x2-5x+6=(x-2)(x-3).若x2-5x+6=0,则x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3.请利用上述方法解下列方程:
(1)x2+4x+3=0;
(2)x2+5x-6=0.
变式1:若关于x的一元二次方程x2+kx-12=0可变形为(x+m)(x+n)=0(m,n为整数),则k的最大值为　　　　.?
变式2:若关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0有一个根小于1,求k的取值范围.
教师详解详析
1.±5　5　-5　2.A
3.解:(1)∵x2=,∴x=±,
即x1=,x2=-.
(2)∵5x2=125,∴x2=25,
∴x=±5,即x1=5,x2=-5.
(3)x2-5=,x2=,解得x1=,x2=-.
(4)∵x2=3-x2,∴x2=3,∴x2=2,
∴x=±,即x1=,x2=-.
4.x+6=-4　[解析]
(x+6)2=16,两边直接开平方,得x+6=±4,则x+6=4或x+6=-4,故答案为x+6=-4.
5.±3　3　-3　2　-1
6.C　[解析]
x2-3=0移项得x2=3,可用直接开平方法求解;(x-1)2-4=0移项得(x-1)2=4,可用直接开平方法求解;(x-1)2=(-2)2=4,可用直接开平方法求解.故选C.
7.解:(1)∵x+2=±,∴x=-2±3,
∴x1=-2+3,x2=-2-3.
(2)∵(x-3)2-9=0,∴(x-3)2=9,
∴x-3=±3,∴x1=6,x2=0.
(3)∵2x-8=±,∴2x=8±4,
∴x1=6,x2=2.
(4)∵(3x-2)2=,
∴3x-2=或3x-2=-,
解得x1=,x2=-.
8.A　[解析]
根据题意知2x2+3+2x2-4=0,整理,得4x2-1=0,则4x2=1,x2=,∴x=±.故选A.
9.B　[解析]
由函数y=x3得n=3,则y'=3x2,
∴3x2=12,则x2=4,∴x=±2,
∴x1=2,x2=-2.故选B.
10.3　[解析]
(x2+y2-1)2=4,直接开平方,得x2+y2-1=±2.
解得x2+y2=3或x2+y2=-1.
∵x2≥0,y2≥0,∴x2+y2=3.
11.解:根据题意,得x2-16=0,y2-9=0,
所以x=±4,y=±3.
因为三角形的边长是正数,所以x=4,y=3,
所以这个直角三角形斜边的长为=5.
12.-　2或-1　[解析]
min{-,-}=-.
∵min{(x-1)2,x2}=1,
当x=0.5时,x2=(x-1)2,不可能得出最小值1;
当x>0.5时,(x-1)2x-1=±1,
即x-1=1或x-1=-1,
解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去);
当x<0.5时,(x-1)2>x2,则x2=1,
解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-1.
综上所述,x的值为2或-1.
教师详解详析
1.D　2.6
3.解:因为2x(x-3)=0,
所以2x=0或x-3=0,
解得x1=0,x2=3.
4.x　4x-3　0　
5.C
6.(x-3)(x-3+2x)=0　x-3=0　3x-3=0　3　1
7.x1=2,x2=
8.解:(1)移项,得x(x-3)-x=0,
方程左边提公因式,得x(x-3-1)=0,
即x(x-4)=0,解得x1=0,x2=4.
(2)(x+1)(x+1-2x)=0,
即(x+1)(1-x)=0,
所以x+1=0或1-x=0,
所以x1=-1,x2=1.
(3)(x+2)2=2(x+2),(x+2)2-2(x+2)=0,(x+2)(x+2-2)=0,x(x+2)=0,x+2=0或x=0,
所以x1=-2,x2=0.
9.解:小红的解法不正确.
正确解法如下:x(2x-5)+4(5-2x)=0,
x(2x-5)-4(2x-5)=0,
(2x-5)(x-4)=0,
2x-5=0或x-4=0,
∴x1=,x2=4.
10.2y　2y-3　2y-3　-　
11.x-2　x-2　2
12.解:(1)原方程可化为(3y+4)(3y-4)=0,
∴3y+4=0或3y-4=0,∴y1=-,y2=.
(2)∵(x-1)2-32=0,
∴(x-1+3)(x-1-3)=0,
∴x-1+3=0或x-1-3=0,
∴x1=-2,x2=4.
(3)原方程可化为2x2-4x+2=0,两边同时除以2,得x2-2x+1=0,∴=0,
∴x1=x2=1.
(4)原方程可化为25x2-10x+1=0,
∴(5x-1)2=0,∴x1=x2=.
13.B
14.B　[解析]
∵x2-2x=0,
∴x(x-2)=0.
∵x1∴x1=0,x2=2,则-2=0-2×22=-8.
故选B.
15.x1=0,x2=2　[解析]
方法一:根据题意知解得
则方程为x(-x+1)=0,
则x=0或-x+1=0,
解得x1=0,x2=2.
故答案为x1=0,x2=2.
方法二:由方程x(kx+b)=0可知x=0或kx+b=0.因为点A(2,0)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上,所以当x=2时,kx+b=2k+b=0,所以方程x(kx+b)=0的解为x1=0,x2=2.
16.解:(1)原方程可化为
3(x-)+5x(x-)=0,
∴(x-)(3+5x)=0,
∴x-=0或3+5x=0,
∴x1=,x2=-.
(2)原方程可化为(2x-5)2-22=0,
∴(2x-5+2)(2x-5-2)=0,
∴(2x-3)(2x-7)=0,
∴2x-3=0或2x-7=0,∴x1=,x2=.
(3)原方程可化为x2-2x+1=0,
∴(x-1)2=0,∴x1=x2=1.
(4)原方程可变形为(x-2)2=(3-2x)2,∴(x-2)2-(3-2x)2=0,
∴[(x-2)+(3-2x)][(x-2)-(3-2x)]=0,
即(1-x)(3x-5)=0,
∴1-x=0或3x-5=0,∴x1=1,x2=.
例:解:(1)方程左边分解因式,得(x+1)(x+3)=0,
所以x+1=0或x+3=0,
解得x1=-1,x2=-3.
(2)方程左边分解因式,得(x+6)(x-1)=0,
所以x+6=0或x-1=0,
解得x1=-6,x2=1.
变式1:11　[解析]
因为m+n=k且mn=-12(m,n为整数),
-12=1×(-12)=2×(-6)=3×(-4)=4×(-3)=6×(-2)=12×(-1),
所以,k的最大值是12+(-1)=11.
变式2:解:∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,
∴x1=2,x2=k+1.
∵方程有一个根小于1,
∴k+1<1,解得k<0,
∴k的取值范围为k<0.