2021-2022学年华东师大新版 九年级上册数学 第22章 一元二次方程 单元测试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年华东师大新版九年级上册数学《第22章
一元二次方程》单元测试卷
一．选择题
1．关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1＝0是一元二次方程的条件是（　　）
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠
D．a≠﹣3
2．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．
B．
C．
D．（x+4）（x﹣2）＝x2
3．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．5，﹣1
B．5，4
C．5，﹣4
D．5x2，﹣4x
4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
5．方程x2﹣4＝0的解为（　　）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．4
6．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（　　）
①x2＝1；②（x﹣2）2＝5；③（x+3）2＝3；④x2＝x+3；⑤3x2﹣3＝x2+1；⑥y2﹣2y﹣3＝0
A．1
B．2
C．3
D．4
7．方程x2＝x的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣3
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝1，x2＝﹣1
D．x1＝3，x2＝﹣1
8．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9
B．（x+2）2＝9
C．（x+2）2＝1
D．（x﹣2）2＝1
9．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A．﹣1
B．2
C．﹣1或3
D．3
10．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）
A．1，5
B．﹣1，3
C．﹣3，1
D．﹣1，5
二．填空题
11．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是　
　．
12．方程（x﹣1）2＝1的解为　
　．
13．若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是　
　．
14．已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是　
　．
15．若方程（n﹣1）x2﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则n　
　．
16．方程x2＝9的根是　
　．
17．方程（x﹣2）2＝9的解是　
　．
18．若将方程x2﹣8x＝7化为（x﹣m）2＝n，则m＝　
　，n＝　
　．
19．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是　
　．
20．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　
　．
三．解答题
21．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
22．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5＝0中x的值．
23．解方程（2x﹣3）2＝x2．
24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
26．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
27．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，
（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝　
　，＝　
　，＝　
　；
（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1＝0是一元二次方程，得
a﹣3≠0．
解得a≠3，
故选：B．
2．解：A、方程中含有无理式，不是一元二次方程；
B、方程中分母含有分式，不是一元二次方程；
C、方程整理得：（﹣1）x2+（6+6）x+9﹣9＝0，是一元二次方程；
D、方程整理得：x2+2x﹣8＝x2，即2x﹣8＝0，不是一元二次方程，
故选：C．
3．解：方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，
则二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4．
故选：C．
4．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0得：1+m﹣1＝0，
解得：m＝0．
故选：A．
5．解：移项得x2＝4，
解得x＝±2．
故选：C．
6．解：①②③⑤都是或可变形为x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c，而这四种形式都可用直接开平方法，
故选：D．
7．解：方程变形得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故选：B．
8．解：x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣4x＝5，
x2﹣4x+4＝5+4，
（x﹣2）2＝9，
故选：A．
9．解：由题意得：a﹣3≠0，|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
10．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得m≠﹣1．
故答案是：m≠﹣1．
12．解：x﹣1＝±1，
所以x1＝2，x2＝0．
故答案为x1＝2，x2＝0．
13．解：关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠﹣1．
故答案为：m≠﹣1．
14．解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，
∴1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1；
故答案为：﹣1．
15．解：∵方程（n﹣1）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
∴n﹣1≠0，即n≠1．
故答案为：n≠1．
16．解：x2＝9，
开方得：x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
17．解：开方得x﹣2＝±3即：
当x﹣2＝3时，x1＝5；
当x﹣2＝﹣3时，x2＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
18．解：∵x2﹣8x＝7，
∴x2﹣8x+16＝7+16，即（x﹣4）2＝23，
则m＝4、n＝23，
故答案为：4，23．
19．解：x2+3x﹣2x﹣6＝x+1，
x2+3x﹣2x﹣6﹣x﹣1＝0，
x2﹣7＝0．
故答案为：x2﹣7＝0；
20．解：解方程x2﹣8x+15＝0，得x1＝3，x2＝5．
当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高为，所以该三角形的面积是4÷2＝2；
当x2＝5时，与另两边组成直角三角形，该三角形的面积＝3×4÷2＝6．
三．解答题
21．证明：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
22．解：（1）4△3＝42﹣32＝16﹣9＝7；
（2）由题意得（x+2）△5＝（x+2）2﹣52＝0，
（x+2）2＝25，
两边直接开平方得：x+2＝±5，
x+2＝5，x+2＝﹣5，
解得：x1＝3，x2＝﹣7．
23．解：2x﹣3＝±x，
所以x1＝3，x2＝1．
24．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
25．解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
26．解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
27．解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x+＝4，
∴（x+）2＝16，
∴x2+2+＝16，
∴x2+＝14，
∴（x2+）2＝196，
∴x4++2＝196，
∴x4+＝194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2＝0，
∴x+＝，x2+＝，
∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．