14.3
因式分解
14.3.1
提公因式法
课前预习
1.把一个多项式化成几个整式
的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的
或
.因式分解和
是方向相反的变形.
2.一个多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的
.公因式的确定：①系数：各项系数的
；②字母及指数：各项都含有的相同字母的
次幂.
3.如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式
的形式，这种分解因式的方法叫做
.即pa+pb+pc=
.
课堂练习
知识点1
因式分解的定义
1.下列四个多项式中，能因式分解的是(
)
A.
a2+1
B.
a2-6a+9
C.
x2+5y
D.
x2-5y
2.(2021
曲靖期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(
)
A.m(a+b)＝ma+mb??????
B.a2+4a-21＝a(a+4)-21
C.x2+16-y2＝(x+y)(x-y)+16?
D.?x2-1＝(x+1)(x-1)
知识点2
提公因式法因式分解
3.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中，各项的公因式是(
)
A.a2b
B.4a2b
C.-4a2b
D.-a2b
4.下列因式分解中，正确的是(
)
A.ab(a-b)-a(b-a)=-a(b-a)(b+1)
B.6(m+n)2-2(m+n)=(2m+n)(3m+n+1)
C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)
D.3x(x+y)2-(x+y)=(x+y)2(2x+y)
5.用提公因式法因式分解：
(1)24ax2y-6axy2；
(2)x(x-2y)-(2y-x)；
(3)(a2-ab)+c(a-b)；
课时作业
练基础
1.若多项式(x+2y)2-6x
(x+2y)有一个因式为x+2y，则另一个因式为(
)
A.2x-5y
B.-5x-2y
C.-5x+2y
D.5x+2y
2.计算(-3)m+2×(-3)m-1，得(
C
)
A.3m-1
B.(-3
)m-1
C.-(-3)m-1
D.(-3)m
3.已知a-b=3，a+c=-1，则代数式ac-bc+a2-ab的值为(
)
A.4
B.3
C.-3
D.-4
4.(3x+2)
(
-x6+3x5)
+
(3x+2)(-2x6+x5)
+
(x+1)?(3x6-4x5)与下列哪一个式子相同?(
)
A.(
3x6-4x5)
(2x+1)
B.(
3x6-4x5)
(2x+3)
C.-
(3x6-4x5)
(2x+1)
D.-
(3x6
-4x5)(2x+3)
5.若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=
.
6.多项式-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2因式分解时，所提取的公因式应是___
____.
7.(a-b)2(x-y)-(b-a)(y-x)2=(a-b)(x-y)·(___
___).
8.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=
.
9.把下列各式分解因式：
(1)x(x-y)+y(y-x)；
(2)4q(1-p)3+2(p-1)2；
(3)(2x-3y)(m+n)-(3x-2y)(-m-n).
10.利用因式分解计算：
(1)21×3.12+62×3.12+17×3.12；
(2)×+×()+×206.5.
11.不解方程组，求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.
12.△ABC的三边长a，b，c存在关系a2+b2≠c2且a2(a-b)+b2(a-b)=c2(a-b)，判断△ABC的形状.
提能力
13.a是有理数，则整式a(a2-2)
-2a2+4的值(
)
A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.不等于0
14.【核心素养·乐学善学】阅读下列材料：
因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2.
请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).14.3
因式分解
14.3.1
提公因式法
课前预习
1.把一个多项式化成几个整式
积
的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的
因式分解
或
分解因式
.因式分解和
整式乘法
是方向相反的变形.
2.一个多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的
公因式
.公因式的确定：①系数：各项系数的
最大公约数
；②字母及指数：各项都含有的相同字母的
最低
次幂.
3.如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式
乘积
的形式，这种分解因式的方法叫做
提公因式法
.即pa+pb+pc=
p(a+b+c)
.
课堂练习
知识点1
因式分解的定义
1.下列四个多项式中，能因式分解的是(
B
)
A.
a2+1
B.
a2-6a+9
C.
x2+5y
D.
x2-5y
2.(2021
曲靖期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(
D
)
A.m(a+b)＝ma+mb??????
B.a2+4a-21＝a(a+4)-21
C.x2+16-y2＝(x+y)(x-y)+16?
D.?x2-1＝(x+1)(x-1)
知识点2
提公因式法因式分解
3.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中，各项的公因式是(
B
)
A.a2b
B.4a2b
C.-4a2b
D.-a2b
4.下列因式分解中，正确的是(
A
)
A.ab(a-b)-a(b-a)=-a(b-a)(b+1)
B.6(m+n)2-2(m+n)=(2m+n)(3m+n+1)
C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)
D.3x(x+y)2-(x+y)=(x+y)2(2x+y)
5.用提公因式法因式分解：
(1)24ax2y-6axy2；
解：原式=6axy(4x-y).
(2)x(x-2y)-(2y-x)；
解：原式=x(x-2y)+(x-2y)=(x-2y)(x+1).
(3)(a2-ab)+c(a-b)；
解：原式=a(a-b)+c(a-b)
=(a+c)(a-b).
课时作业
练基础
1.若多项式(x+2y)2-6x
(x+2y)有一个因式为x+2y，则另一个因式为(
C
)
A.2x-5y
B.-5x-2y
C.-5x+2y
D.5x+2y
2.计算(-3)m+2×(-3)m-1，得(
C
)
A.3m-1
B.(-3
)m-1
C.-(-3)m-1
D.(-3)m
3.已知a-b=3，a+c=-1，则代数式ac-bc+a2-ab的值为(
C
)
A.4
B.3
C.-3
D.-4
4.(3x+2)
(
-x6+3x5)
+
(3x+2)(-2x6+x5)
+
(x+1)?(3x6-4x5)与下列哪一个式子相同?(
C
)
A.(
3x6-4x5)
(2x+1)
B.(
3x6-4x5)
(2x+3)
C.-
(3x6-4x5)
(2x+1)
D.-
(3x6
-4x5)(2x+3)
5.若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=
4
.
6.多项式-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2因式分解时，所提取的公因式应是___-a(a-b)2____.
7.(a-b)2(x-y)-(b-a)(y-x)2=(a-b)(x-y)·(___a-b+x-y___).
8.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=
-31
.
9.把下列各式分解因式：
(1)x(x-y)+y(y-x)；
解：原式=x(x-y)-y(x-y)
=(x-y)(x-y)
=(x-y)2.
(2)4q(1-p)3+2(p-1)2；
解：原式=4q(1-p)3+2(1-p)2=2(1-p)2(2q-2pq+1).
(3)(2x-3y)(m+n)-(3x-2y)(-m-n).
解：原式=(2x-3y)(m+n)+(3x-2y)(m+n)=(m+n)(2x-3y+3x-2y)=5(m+n)(x-y).
10.利用因式分解计算：
(1)21×3.12+62×3.12+17×3.12；
解：原式=3.12×(21+62+17)=3.12×100=312.
(2)×+×()+×206.5.
解：原式=(+206.5)=×210=35.
11.不解方程组，求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.
解：∵原式=7y(3y-x)?2-2(3y-x)?3=(3y-x)?2(7y-6y+2x)=(3y-x)?2(y+2x),
且
∴原式=(-1)2×6=6.
12.△ABC的三边长a，b，c存在关系a2+b2≠c2且a2(a-b)+b2(a-b)=c2(a-b)，判断△ABC的形状.
解：∵a2(a-b)+b2(a-b)=c2(a-b)，
∴a2(a-b)+b2(a-b)-c2(a-b)=0.
∴(a-b)(a2+b2-c2)=0.
∵a2+b2≠c2，
∴a2+b2-c2≠0.
∴a-b=0,即a=b.
∴为等腰三角形.
提能力
13.a是有理数，则整式a(a2-2)
-2a2+4的值(
A
)
A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.不等于0
14.【核心素养·乐学善学】阅读下列材料：
因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2.
解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)［1+x+x(1+x)］
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
解：原式=(1+x)［1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1］
=(1+x)2［1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2］
…
=(1+x)n+1.
