第二章　4.1　函数的奇偶性-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

1079500012611100第二章函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列函数是奇函数的有(　　)
A.y=x(x-1)x-1 B.y=-3x13
C.y=x-2x D.y=πx3-35x
2.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递增区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
3.(多选题)(2019福建泉州高一期末)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|+g(x)是偶函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.
5.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为　　　　　　　　.?
6.若函数f(x)=2x2+7x-4,x>0,g(x),x<0为奇函数,则f(g(-1))=　　　　　.?
7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　.?
8.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.

(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.






9.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.






10.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;
③f(1-a)+f(1-a2)<0.
求实数a的取值范围.






能力提升练
1.设f(x)是R上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,若m<0且m+n>0,则(　　)
A.f(n)+f(m)<0
B.f(n)+f(m)=0
C.f(n)+f(m)>0
D.f(n)+f(m)的符号不确定
2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上(　　)
A.有最小值-5 B.有最大值-5
C.有最小值-1 D.有最大值-3
3.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是(　　)
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
4.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=　　　　,f(-2)=　　　　　.?
5.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=　　　　　.?
6.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是　　　　　.?
7.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　.?

8.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的解析式;
(2)求出f(x)的值域.







素养培优练
已知函数f(x)=x+ab+x2是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且f12=25.
(1)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)上单调递增;
(2)若实数m满足f(m-1)+f(1-2m)<0,求m的取值范围.








1079500012611100第二章函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列函数是奇函数的有(　　)
A.y=x(x-1)x-1 B.y=-3x13
C.y=x-2x D.y=πx3-35x
解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.
答案BCD
2.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递增区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
解析由函数f(x)=x|x|-2x可得,函数的定义域为R,且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x),故函数f(x)为奇函数,函数f(x)=x|x|-2x=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,其图象如图所示,

所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),故选C.
答案C
3.(多选题)(2019福建泉州高一期末)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|+g(x)是偶函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|是偶函数,|g(x)|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,故A错误、C正确;由两个偶函数的和还是偶函数知B正确;由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数,故D错误.
答案BC
4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.
解析因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,
所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).
答案[0,+∞)
5.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为　　　　　　　　.?
解析由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3) 再由偶函数的性质得f(3) 答案f(3) 6.若函数f(x)=2x2+7x-4,x>0,g(x),x<0为奇函数,则f(g(-1))=　　　　　.?
解析当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,
所以f(x)=-2x2+7x+4.
即g(x)=-2x2+7x+4,
因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.
答案-81
7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　.?
解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18.
h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
答案-26
8.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.

(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.

(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
9.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,
且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2.
故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.
∴当x∈1,32时,f(x)单调递增;
当x∈32,3时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2.
∴m=14,n=-2,从而m-n=94.
10.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;
③f(1-a)+f(1-a2)<0.
求实数a的取值范围.
解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),
∴f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a)<-f(1-a2)
?f(1-a) ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴1-a>a2-1,-1<1-a<1,-1 故实数a的取值范围为(0,1).
能力提升练
1.设f(x)是R上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,若m<0且m+n>0,则(　　)
A.f(n)+f(m)<0
B.f(n)+f(m)=0
C.f(n)+f(m)>0
D.f(n)+f(m)的符号不确定
解析由m<0且m+n>0可得,n>-m>0.
因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
所以f(n) 所以f(-m)=-f(m),
故有f(n)<-f(m),即f(n)+f(m)<0.故选A.
答案A
2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上(　　)
A.有最小值-5 B.有最大值-5
C.有最小值-1 D.有最大值-3
解析∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,
∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,
∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3,
F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,
∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1.
答案C
3.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是(　　)
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
解析g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,

由xf(x)≤0可知x≥0,f(x)≤0或x<0,f(x)≥0.
结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.
故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.
答案A
4.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=　　　　,f(-2)=　　　　　.?
解析因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1.
所以f(x)=-x2+1x+1-1.
所以f(2)=-22+12+1-1=-143.又函数f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=143.
答案-1　143
5.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=　　　　　.?
解析根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,
则f(6)=a=8,f(3)=-1.
函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.
则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.
答案-15
6.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是　　　　　.?
解析因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7 所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).
答案(-7,3)
7.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　.?

解析不等式f(x)g(x)<0可化为f(x)g(x)<0,
由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).
∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2 答案{x|-2 8.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的解析式;
(2)求出f(x)的值域.
解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),
则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
综上,f(x)=x+2,x≤-1,-x2+2,-1 (2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1 当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)的值域为(-∞,2].
素养培优练
已知函数f(x)=x+ab+x2是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且f12=25.
(1)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)上单调递增;
(2)若实数m满足f(m-1)+f(1-2m)<0,求m的取值范围.
(1)证明函数f(x)=x+ab+x2是定义在区间(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=0,即ab=0,即a=0.
∵f12=25,∴b=1,∴f(x)=x1+x2.
任取x1,x2∈(-1,1),且-1 ∵x1,x2∈(-1,1),且x2-x1>0,1-x1x2>0,
∴(x2-x1)(1-x1x2)(1+x22)(1+x12)>0,∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在区间(-1,1)上单调递增.
(2)解∵f(x)=x1+x2是区间(-1,1)上的奇函数且单调递增,
∵f(m-1)+f(1-2m)<0,
∴f(m-1) ∴-1