第二章　4.2　简单幂函数的图象和性质-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

1150620010731500第二章函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2　简单幂函数的图象和性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=3xα-2的图象过定点(　　)
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3 D.f(x)=x12
3.(多选题)下列结论不正确的是(　　)
A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3,12时,幂函数y=xα都是增函数
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数
4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　)
A.0<α<1 B.α<0
C.α<1 D.α>1
5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)

A.-1 B.n<-1,0 C.-11
D.n<-1,m>1
6.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是　　　　　.?
7.已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=　　　　　.?
8.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　.?
9.已知函数y=(a2-3a+2)xa2-5a+5(a为常数),问:
(1)当a为何值时,此函数为幂函数?
(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?
(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?






能力提升练
1.(多选题)(2020山东日照高一期末)已知函数f(x)=xα图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若0 2.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
3.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　)
A.c C.b 4.(多选题)已知实数a,b满足等式a12=b13,则下列关系式可能成立的是(　　)
A.0 C.1 5.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈(1,2]时,记?(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.


6.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.







素养培优练
已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.
(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为-4,178,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.






1150620010731500第二章函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2　简单幂函数的图象和性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=3xα-2的图象过定点(　　)
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
答案A
2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3 D.f(x)=x12
答案C
3.(多选题)下列结论不正确的是(　　)
A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3,12时,幂函数y=xα都是增函数
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数
答案ABD
4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　)
A.0<α<1 B.α<0
C.α<1 D.α>1
解析由幂函数的图象特征知α<1.
答案C
5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)

A.-1 B.n<-1,0 C.-11
D.n<-1,m>1
解析由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0 答案B
6.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是　　　　　.?
解析因为函数f(x)=x13的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<23.
答案-∞,23
7.已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=　　　　　.?
解析因为幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数,所以m2-2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减,所以m2-2m-3<0,即-km<3,又m∈Z,所以m=1.
答案1
8.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　.?
解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9,即明文是9.
答案9
9.已知函数y=(a2-3a+2)xa2-5a+5(a为常数),问:
(1)当a为何值时,此函数为幂函数?
(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?
(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?
解(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,
解得a=3±52.
(2)由题意知a2-5a+5=1,a2-3a+2≠0,解得a=4.
(3)由题意知a2-5a+5=-1,a2-3a+2≠0,解得a=3.
能力提升练
1.(多选题)(2020山东日照高一期末)已知函数f(x)=xα图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若0 解析因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),
所以α=12.所以f(x)=x12.
显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;
f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;
当x>1时,x>1,即f(x)>1,所以C正确;
当0 =x1+x222-x1+x222
=x1+x2+2x1x24?x1+x22
=2x1x2-x1-x24=-(x1-x2)24<0.
即f(x1)+f(x2)2 答案ACD
2.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
解析由已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
答案A
3.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　)
A.c C.b 解析幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),则m=1,(2)n=22?m=1,n=3,所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)单调递增.又ln 2<1<3,所以f(ln 2) 答案B
4.(多选题)已知实数a,b满足等式a12=b13,则下列关系式可能成立的是(　　)
A.0 C.1 解析画出y=x12与y=x13的图象如图所示,

设a12=b13=m,作直线y=m.
从图象知,若m=0或m=1,则a=b;
若0 若m>1,则1 故其中可能成立的是ACD.
答案ACD
5.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈(1,2]时,记?(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.
(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.
∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].
∵A∪B=A,∴B?A.∴2-k≥1,4-k≤4.
∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].
6.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.
故f(x)=x2.
(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,
函数y的对称轴为x=a-1,
由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.
∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
素养培优练
已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.
(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为-4,178,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1 又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.
(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,
则2a<1 (3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x=2q-12q=1-12q<1,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,
又g(2)=-1≠-4,
从而必有g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.
此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴x=34∈[-1,2],
∴g(x)在区间[-1,2]上的最大值为g34=-2×342+3×34+1=178,符合题意.
∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为-4,178.