第二章　§3　第2课时　函数的最值-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

1029970011480800第二章函数
§3　函数的单调性和最值
第2课时　函数的最值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=-|x|在R上(　　)
A.有最大值0,无最小值 B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值 D.以上都不对
2.(多选题)若函数y=ax+1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.0
3.函数y=x+x-2的值域是(　　)
A.[0,+∞) B.[2,+∞)
C.[4,+∞) D.[2,+∞)
4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内(　　)
A.有最大值42,有最小值12
B.有最大值42,有最小值-14
C.有最大值12,有最小值-14
D.无最大值,有最小值-14
5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
A.90万元 B.120万元
C.120.25万元 D.60万元
7.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是(　　)
A.(-∞,2) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(0,2)
8.若函数f(x)=1x在区间[1,a]上的最小值为14,则a=　　　　　.?
9.求函数f(x)=1x,12≤x<1,x,1≤x≤3的最大值与最小值.




10.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在区间[-1,2]上单调递增,求m的取值范围.
能力提升练
1.函数y=2--x2+4x的值域是(　　)
A.[-2,2] B.[1,2]
C.[0,2] D.[-2,2]
2.(多选题)(2020福建厦门双十中学高一月考)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题正确的是(　　)
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.函数f(x)是增函数
3.已知函数f(x)=-x2+2x+4在区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的值等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
4.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“????”如下:当a≥b时,a????b=a;当a A.12,+∞ B.12,2
C.12,23 D.-1,23
5.若函数f(x)=-(x-2)2,x<2,(3-a)x+5a,x≥2满足对任意x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,则实数a的取值范围是　　　　　.?
6.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　.?

7.函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.

8.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6吨,每吨大米的价格为6 000元,大米的保管费用z(单位:元)与购买天数x(单位:天)的关系为z=9x(x+1)(x∈N+),每次购买大米需支付其他固定费用900元.
(1)该食堂多少天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少?
(2)若提供粮食的公司规定:当一次性购买大米不少于21吨时,其价格可享受8折优惠(即原价的80%),该食堂是否应考虑接受此优惠条件?请说明理由.





素养培优练
已知函数f(x)=x2-mx+2.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]上的最小值为-1,求实数m的值;
(2)若m≥4时,对任意的x1,x2∈1,m2+1,总有|f(x1)-f(x2)|≤m24-4,求实数m的取值范围.








1029970011480800第二章函数
§3　函数的单调性和最值
第2课时　函数的最值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=-|x|在R上(　　)
A.有最大值0,无最小值 B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值 D.以上都不对
解析因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.

答案A
2.(多选题)若函数y=ax+1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.0
解析显然a≠0,当a>0时,y=ax+1在x=2取得最大值,在x=1取得最小值,所以2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,y=ax+1在x=1取得最大值,在x=2取得最小值,所以a+1-(2a+1)=2,即a=-2.
答案AB
3.函数y=x+x-2的值域是(　　)
A.[0,+∞) B.[2,+∞)
C.[4,+∞) D.[2,+∞)
解析函数y=x+x-2在区间[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2.
答案B
4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内(　　)
A.有最大值42,有最小值12
B.有最大值42,有最小值-14
C.有最大值12,有最小值-14
D.无最大值,有最小值-14
解析∵f(x)=x+322?14,x∈(-5,5),∴当x=-32时,f(x)有最小值-14,f(x)无最大值.
答案D
5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析∵f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,
∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,则f(x)min=f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=3+a=1.
答案C
6.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
A.90万元 B.120万元
C.120.25万元 D.60万元
解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,且x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为x=192,开口向下,又x∈N,所以当x=9,或x=10时,y取得最大值120万元.
答案B
7.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是(　　)
A.(-∞,2) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(0,2)
解析令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1?f(x-1)>f(1).又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以x-1>0,x-1<1,得1 答案C
8.若函数f(x)=1x在区间[1,a]上的最小值为14,则a=　　　　　.?
解析∵f(x)=1x在区间[1,a]上单调递减,
∴函数f(x)的最小值为f(a)=1a=14,∴a=4.
答案4
9.求函数f(x)=1x,12≤x<1,x,1≤x≤3的最大值与最小值.
解画出函数f(x)的图象,如图所示.

由图可知,函数的最大值是f(3)=3,最小值是f(1)=1.
10.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在区间[-1,2]上单调递增,求m的取值范围.
解(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,可得m+22≤-1,解得m≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4].
能力提升练
1.函数y=2--x2+4x的值域是(　　)
A.[-2,2] B.[1,2]
C.[0,2] D.[-2,2]
解析要求函数y=2--x2+4x的值域,只需求t=-x2+4x(x∈[0,4])的值域即可.
设函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4(x∈[0,4]),所以f(x)的值域是[0,4].因为t=f(x),所以t的值域是[0,2],-t的值域是[-2,0].
故函数y=2--x2+4x的值域是[0,2].故选C.
答案C
2.(多选题)(2020福建厦门双十中学高一月考)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题正确的是(　　)
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.函数f(x)是增函数
解析根据符号[x]的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:
当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;
当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;
当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;
当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.
画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.

根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;
从图象可知,函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;
根据函数单调性,可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以D错误.
答案AC
3.已知函数f(x)=-x2+2x+4在区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的值等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析因为函数f(x)=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,故函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
若m≤1,则函数f(x)在区间[0,m]上单调递增,其最小值为f(0)=-02+2×0+4=4>1,显然不合题意.
若m>1,则函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,m]上单调递减,
故函数f(x)的最大值为f(1)=5.
而f(0)=-02+2×0+4=4>1.令f(m)=1,即-m2+2m+4=1,也就是m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.又因为m>1,所以m=3.故选D.
答案D
4.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“????”如下:当a≥b时,a????b=a;当a A.12,+∞ B.12,2
C.12,23 D.-1,23
解析当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;
当1 所以f(x)=x-4,-2≤x≤1,x3-4,1 易知,f(x)=x-4在区间[-2,1]上单调递增,f(x)=x3-4在区间(1,2]上单调递增,且-2≤x≤1时,f(x)max=-3,1 答案C
5.若函数f(x)=-(x-2)2,x<2,(3-a)x+5a,x≥2满足对任意x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析由题意得y=f(x)为增函数,
∴3-a>0,-(2-2)2≤2(3-a)+5a,
∴-2≤a<3.
答案[-2,3)
6.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　.?

解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
答案6
7.函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.
解(1)任取x1,x2∈(0,1],且x1 所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)2+ax1x2>0,
即a<-2x1x2恒成立,∴a≤-2.
(2)由2x-ax>5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2x-542?258,
∴函数y=2x2-5x在区间(0,1]上单调递减,
∴当x=1时,函数y取得最小值-3,即a<-3.
8.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6吨,每吨大米的价格为6 000元,大米的保管费用z(单位:元)与购买天数x(单位:天)的关系为z=9x(x+1)(x∈N+),每次购买大米需支付其他固定费用900元.
(1)该食堂多少天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少?
(2)若提供粮食的公司规定:当一次性购买大米不少于21吨时,其价格可享受8折优惠(即原价的80%),该食堂是否应考虑接受此优惠条件?请说明理由.
解(1)设每天所支付的总费用为y1元,
则y1=1x[9x(x+1)+900]+0.6×6 000=900x+9x+3 609≥3 609+2900x·9x=3 609+180=3 789,当且仅当900x=9x,即x=10时取等号,则该食堂10天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)若该食堂接受此优惠条件,则至少每35天购买一次大米,设该食堂接受此优惠条件后,每x(x≥35)天购买一次大米,平均每天支付的总费用为y2,
则y2=1x[9x(x+1)+900]+0.6×6 000×0.8=900x+9x+2 889,设f(x)=900x+9x=9x+100x(x≥35),则f(x)在x≥35时为增函数,则当x=35时,y2有最小值,约为3 229.7,此时3 229.7<3 789,则食堂应考虑接受此优惠条件.
素养培优练
已知函数f(x)=x2-mx+2.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]上的最小值为-1,求实数m的值;
(2)若m≥4时,对任意的x1,x2∈1,m2+1,总有|f(x1)-f(x2)|≤m24-4,求实数m的取值范围.
解(1)函数f(x)=x2-mx+2,其图象的对称轴方程为x=m2.当m≤2时,f(x)min=fm2=-m24+2=-1,
∴m=-23;
当m>2时,f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=12-m+2=-1,∴m=4.
综上可知,m=-23或m=4.
(2)∵m≥4,∴m2∈1,m2+1,且m2+1?m2≤m2-1,∴当x∈1,m2+1时,f(x)max=f(1)=3-m,f(x)min=fm2=-m24+2.
∵对任意的x1,x2∈1,m2+1,总有|f(x1)-f(x2)|≤m24-4,∴f(x)max-f(x)min=3-m+m24-2=m24-m+1≤m24-4,解得m≥5,∴实数m的取值范围是[5,+∞).