第二章　§3　第1课时　函数的单调性-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

1097280010731500第二章函数
§3　函数的单调性和最值
第1课时　函数的单调性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0成立,则(　　)
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增后减
D.函数f(x)是先减后增
4.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2) C.f(a2+a) 5.若函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,3]∪[4,+∞) B.(-∞,3)∪(4,+∞)
C.(-∞,3] D.[4,+∞)
6.函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为(　　)
A.(-∞,0],[1,+∞) B.(-∞,0],(-∞,1]
C.[0,+∞),[1,+∞) D.[0,+∞),(-∞,1]
7.(多选题)下列命题是假命题的有(　　)
A.定义在区间(a,b)上的函数f(x),如果有无数个x1,x2∈(a,b),当x1 B.如果函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上就一定是减函数
C.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当f(x1)-f(x2)x1-x2<0时,f(x)在区间(a,b)上单调递减
D.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0时,f(x)在区间(a,b)上单调递增
8.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是(　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
9.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=　　　　,f(1)=　　　　　.?
10.证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.




能力提升练
1.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
2.若定义在R上的一元二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上单调递增,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是(　　)
A.0≤m≤4 B.0≤m≤2
C.m≤0 D.m≤0或m≥4
3.给出下列三个结论:
①若函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1) ②若函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,则f(a2+1) ③函数f(x)=1x在其定义域上是减函数.
其中正确的结论有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　)
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
5.若函数f(x)=x2+2ax+3,x≤1,ax+1,x>1是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　　.?
6.已知函数f(x)=ax+1x+2,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是　　　　　.(用区间来表示)?
7.(2020浙江金华高一检测)函数f(x)=1(x-1)(x-2)的定义域为　　　　　;单调递减区间为　　　　　.?
8.已知函数f(x)=mx+1nx+12(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=114.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.






素养培优练
1.(2019江苏南通期中)已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　　.?
2.设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0 (1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.



1097280010731500第二章函数
§3　函数的单调性和最值
第1课时　函数的单调性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
解析函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.
答案ABD
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
解析易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).
答案B
3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0成立,则(　　)
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增后减
D.函数f(x)是先减后增
解析由f(a)-f(b)a-b>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当ab时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.
答案A
4.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2) C.f(a2+a) 解析选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1) 答案D
5.若函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,3]∪[4,+∞) B.(-∞,3)∪(4,+∞)
C.(-∞,3] D.[4,+∞)
解析函数f(x)图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-1≤2,或a-1≥3,相应解得a≤3,或a≥4,故选A.
答案A
6.函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为(　　)
A.(-∞,0],[1,+∞) B.(-∞,0],(-∞,1]
C.[0,+∞),[1,+∞) D.[0,+∞),(-∞,1]
解析由函数图象(图略)可知选D.
答案D
7.(多选题)下列命题是假命题的有(　　)
A.定义在区间(a,b)上的函数f(x),如果有无数个x1,x2∈(a,b),当x1 B.如果函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上就一定是减函数
C.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当f(x1)-f(x2)x1-x2<0时,f(x)在区间(a,b)上单调递减
D.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0时,f(x)在区间(a,b)上单调递增
解析A是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”;
以f(x)=1x为例,知B是假命题;
∵f(x1)-f(x2)x1-x2<0(x1≠x2)等价于[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0,而此式又等价于f(x1)-f(x2)>0,x1-x2<0或f(x1)-f(x2)<0,x1-x2>0,
即f(x1)>f(x2),x1x2,
∴f(x)在区间(a,b)上是减函数,C是真命题,同理可得D也是真命题.
答案AB
8.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是(　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
解析由于函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=-b2a<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减.
答案B
9.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=　　　　,f(1)=　　　　　.?
解析∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x=-b2a=m4=-2,
∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.
答案-8　13
10.证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.
证明函数f(x)=-x的定义域为[0,+∞).
任取x1,x2∈[0,+∞),且x10,
f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)
=x1?x2
=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2.
∵x1-x2<0,x1+x2>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2) ∴函数f(x)=-x在定义域[0,+∞)上单调递减.
能力提升练
1.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
解析f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.
∵g(x)=ax+1在区间[1,2]上单调递减,
∴a>0,∴0 答案D
2.若定义在R上的一元二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上单调递增,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是(　　)
A.0≤m≤4 B.0≤m≤2
C.m≤0 D.m≤0或m≥4
解析因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(2)>f(0),解得a<0.
又因为f(x)的图象的对称轴为x=--4a2a=2,
所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同.所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
答案A
3.给出下列三个结论:
①若函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1) ②若函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,则f(a2+1) ③函数f(x)=1x在其定义域上是减函数.
其中正确的结论有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析①在函数单调性的定义中,x1,x2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性,①错误;
②∵a2+1>a2,又y=f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,
∴f(a2+1) ③取x1=-1,x2=1,∵f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(-1) 答案B
4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　)
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
解析因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,
又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
答案D
5.若函数f(x)=x2+2ax+3,x≤1,ax+1,x>1是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　　.?
解析由题意可得-a≥1,a<0,12+2a×1+3≥a×1+1,解得-3≤a≤-1,则实数a的取值范围是[-3,-1].
答案[-3,-1]
6.已知函数f(x)=ax+1x+2,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是　　　　　.(用区间来表示)?
解析由“若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.而f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a的取值范围为12,+∞.
答案12,+∞
7.(2020浙江金华高一检测)函数f(x)=1(x-1)(x-2)的定义域为　　　　　;单调递减区间为　　　　　.?
解析函数f(x)=1(x-1)(x-2),
∴(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,
函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞);
又t=(x-1)(x-2)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,
∴函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞).
答案(-∞,1)∪(2,+∞)　(2,+∞)
8.已知函数f(x)=mx+1nx+12(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=114.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
(1)解∵f(1)=m+1n+12=2,f(2)=2m+12n+12=114,∴m=1,n=2.
(2)证明设1≤x1 ∵1≤x11.
∴2x1x2-1>1.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)解∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
∴只需1+2x2>x2-2x+4.
∴x2+2x-3>0.∴x<-3或x>1.
素养培优练
1.(2019江苏南通期中)已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　　.?
解析任取x1,x2∈[2,+∞),且x10,f(x2)-f(x1)=x22+ax2?x12?ax1=x2-x1x1x2[x1x2(x1+x2)-a].
要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒成立.
∵x2-x1>0,x1x2>4>0,
∴a 又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,
即a的取值范围是(-∞,16].
答案(-∞,16]
2.设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0 (1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
解(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),
∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
(2)由题意知,当x>0时,0 当x=0时,f(0)=1>0;
当x<0时,-x>0,∴0 ∵f(x+(-x))=f(x)·f(-x),
∴f(x)·f(-x)=1.∴f(x)=1f(-x)>0.
故x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,
则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).
∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)·f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].
由(2)知,f(x2)>0.
∵x1-x2>0,∴0 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 故f(x)在R上是减函数.