3.1 探索勾股定理 同步练习（含答案）
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第三章
勾股定理
1
探索勾股定理
知识能力全练
知识点一
勾股定理
1.在Rt△ABC中，若斜边AB＝5，则AC2＋BC2＝（
）
A.5
B.10
C.20
D.25
2.在Rt△ABC中，∠A＝90已知AB＝5，BC＝13，则△ABC的面积为（
）
A.30
B.32.5
C.26
D.60
3.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（
）
A.8
B.12
C.18
D.20
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知BC＝8，AC＝6，则斜边AB上的高是（
）
A.10
B.5
C.
D.
5.如图所示，有一个面积为84
cm2的直角三角形，如果它的一条直角边长是7
cm，那么这个直角三角形的斜边长是多少？
知识点二
勾股定理的验证
6.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是（
）
A.S△EDA＝S△CEB
B.S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C.S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D.S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
7.下图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
）
A.52
B.42
C.76
D.72
8.直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为____________.
知识点三
勾股定理的简单应用
9.一辆拖拉机沿着公路以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（
）
A.0.4h
B.0.8h
C.1.2h
D.1.5h
10.一帆船由于风向，先向正西航行80千米，然后向正南航行150千米，这时它离出发点_________千米.
11.下图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位:mm），计算两圆孔中心A和B的距离为__________.
12.有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地边BC上的E处有健身器材，BE＝9米.由于居住在A处的居民去健身踩踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走■米，踏之何忍”.请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数.
13.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（
）
A.9
B.6
C.4
D.3
14.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（
）
A.2
cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
15.一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（
）
A.13
B.5或13
C.5
D.4
16.△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（
）
A.42
B.32
C.42或32
D.42或37
17.如图所示，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为___________.
18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB-AC＝2，BC＝8，则AB的长是_________.
19.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝__________.
20.如图所示，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC2的值为___________.
21.2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”（如图①），它是由4个全等的直角三角形（不等腰）拼接而成的.如图②，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP＝CQ，连接DP，BP，DQ,BQ，则构成了一个“压扁”的弦图.问题:线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积依然满足S1＝S2＝S3＝S4?
A.存在且唯一
B.存在多个
C.不存在
D.无法确定
22.用下图①中四个完全样的直角三角形可以拼成图②的大正方形，解答下列问题:
（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积，方法1:_______________________；方法2:_____________________；
（2）根据图②，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式；
（3）利用（2）的关系式解答:如果大正方形的面积是25，且（a＋b）2＝49，求小正方形的面积.
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.解析
设该直角三角形的另一条直角边长为a
cm，斜边长为c
cm，则＝84，
∴a＝24.由勾股定理，得c2＝72＋242＝252.
∴c＝25，该直角三角形的斜边长为25cm.
6.D
7.C
8.120
9.A
10.170
11.100
mm
12.解析
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝402＋92＝412，
∴AE＝41米，∵AB＋BE＝40＋9＝49米，49-41＝8米，∴标牌的■上填的数是8.
13.D
14.B
15.B
16.C
17.3
18.17
19.20
20.80
21.C
22.解析（1）a2＋b2；c2.
（2）a2＋b2＝c2.
（3）由（2）知，a2＋b2＝c2.
又（a＋b）2＝49，所以2ab＝49-（a2＋b2）＝49-c2＝49-25＝24.
所以小正方形的面积＝25-24＝1.
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知识能力全练
知识点一
勾股定理
1.在Rt△ABC中，若斜边AB＝5，则AC2＋BC2＝（
）
A.5
B.10
C.20
D.25
2.在Rt△ABC中，∠A＝90已知AB＝5，BC＝13，则△ABC的面积为（
）
A.30
B.32.5
C.26
D.60
3.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（
）
A.8
B.12
C.18
D.20
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知BC＝8，AC＝6，则斜边AB上的高是（
）
A.10
B.5
C.
D.
5.如图所示，有一个面积为84
cm2的直角三角形，如果它的一条直角边长是7
cm，那么这个直角三角形的斜边长是多少？
知识点二
勾股定理的验证
6.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是（
）
A.S△EDA＝S△CEB
B.S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C.S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D.S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
7.下图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
）
A.52
B.42
C.76
D.72
8.直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为____________.
知识点三
勾股定理的简单应用
9.一辆拖拉机沿着公路以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（
）
A.0.4h
B.0.8h
C.1.2h
D.1.5h
10.一帆船由于风向，先向正西航行80千米，然后向正南航行150千米，这时它离出发点_________千米.
11.下图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位:mm），计算两圆孔中心A和B的距离为__________.
12.有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地边BC上的E处有健身器材，BE＝9米.由于居住在A处的居民去健身踩踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走■米，踏之何忍”.请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数.
13.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（
）
A.9
B.6
C.4
D.3
14.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（
）
A.2
cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
15.一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（
）
A.13
B.5或13
C.5
D.4
16.△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（
）
A.42
B.32
C.42或32
D.42或37
17.如图所示，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为___________.
18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB-AC＝2，BC＝8，则AB的长是_________.
19.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝__________.
20.如图所示，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC2的值为___________.
21.2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”（如图①），它是由4个全等的直角三角形（不等腰）拼接而成的.如图②，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP＝CQ，连接DP，BP，DQ,BQ，则构成了一个“压扁”的弦图.问题:线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积依然满足S1＝S2＝S3＝S4?
A.存在且唯一
B.存在多个
C.不存在
D.无法确定
22.用下图①中四个完全样的直角三角形可以拼成图②的大正方形，解答下列问题:
（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积，方法1:_______________________；方法2:_____________________；
（2）根据图②，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式；
（3）利用（2）的关系式解答:如果大正方形的面积是25，且（a＋b）2＝49，求小正方形的面积.
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.解析
设该直角三角形的另一条直角边长为a
cm，斜边长为c
cm，则＝84，
∴a＝24.由勾股定理，得c2＝72＋242＝252.
∴c＝25，该直角三角形的斜边长为25cm.
6.D
7.C
8.120
9.A
10.170
11.100
mm
12.解析
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝402＋92＝412，
∴AE＝41米，∵AB＋BE＝40＋9＝49米，49-41＝8米，∴标牌的■上填的数是8.
13.D
14.B
15.B
16.C
17.3
18.17
19.20
20.80
21.C
22.解析（1）a2＋b2；c2.
（2）a2＋b2＝c2.
（3）由（2）知，a2＋b2＝c2.
又（a＋b）2＝49，所以2ab＝49-（a2＋b2）＝49-c2＝49-25＝24.
所以小正方形的面积＝25-24＝1.
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