河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案

豫西名校2020—2021学年下期期末联考
高二数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
1．若复数false，则复数false的虚部为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．用反证法证明“false，false，false，则false，false全为false”时，假设正确的是（ ）
A．false，false中只有一个为false B．false，false中至少有一个不为false
C．false，false中至少有一个为false D．false，false全为false
3．已知直线false：false，false：false，则“false”是“false”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知数列false为等差数列，false为其false前项和，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知是false，false双曲线false：false（false，false）的左、右焦点，false是右支上一点，且false是false的直角三角形，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．false或false
C．false D．false或false
6．如图，在直三棱柱false中，false，false，false，false，则false与false所成的角的余弦值为（ ）
A
B
C
A
B
C
A．false B．false C．false D．false
7．false届高三毕业生即将离开校园，高三false班有false名“奥赛、强基”选手，现在准备把手中的资料送给高二false班的false名同学，若高二false班的false名同学每人至少接受false名同学的送书，则不同的送书方案有多少种（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，false，则false面积的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知实数false，false满足不等式组false，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知随机变量false服从两项分布false，且false（false），随机变量false服从正态分布false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．设false，false，false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知数列false满足false，false为其前false项和，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．false的展开式中false项的系数为________．
14．若函数false在区间false上单调递增，则实数false的取值范围为________．
15．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，false，点false为false的外心，若false，则false________．
16．已知抛物线false：false的焦点为false，过点false斜率为false（false）的直线false与抛物线false交于false、false两点，false的中点false到false轴的距离为false，若false是直线false上的一个动点，false，则false的最大值为________．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
必考题（共60分）
17．等差数列false中，false，且false，false，false构成等比数列．
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false的前false项和false满足：false，求数列false的前false项和false．
18．奥运会是世界规模最大的综合性运动会，参赛人数屡创新高，个别运动员通过服用违禁药物来提升成绩．组委会要对可疑的参赛运动员进行尿检，假设某次比赛前组委会接到可靠消息，某国参加百米赛跑的false名运动员中有false人服用了违禁药品．
（1）假设对某国false名运动员逐个进行尿检，求恰好经过false次就能判断出服用违禁药品的运动员概率．
（2）若从该国false名运动员中随机抽取false名，其中含服用违禁药品的人数为false，求随机变量false的分布列和数学期望．
19．如图所示，空间几何体false中，false底面false，false，false为矩形，四边形false是边长为false的菱形，false，false为false的中点．
（1）证明：false平面false；
（2）求二面角false的余弦值．
20．己知直线false：false经过离心率为false的椭圆false：false（false）的上顶点．
（1）求椭圆false的方程；
（2）若过原点斜率存在且不为零的直线线false与椭圆false交于false，false两点，过点false作直线false，false分別与false轴交于点false、false，则在false轴上是否存在定点false在以false为直径的圆上？若存在，求出点false的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数false，其中false．
（1）若false，求函数false的单调减区间；
（2）设方程false在false上恰有false个零点，求证：false．
（二）选考题（共10分．请在22、23题中任选一题作答，如果多做按第一题计分）
22．在直角坐标系false中，直线false的参数方程为false（false为参数），以坐标原点为极点，以false轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false．
（1）求直线false的普通方程和曲线false的直角坐标方程；
（2）设点false，直线false与曲线false交于false、false两点，求false的值．
23．已知函数false．
（1）当时，求不等式false的解集；
（2）若不等式false恒成立，求实数false的取值范围．
豫西名校2020—2021学年下期期末联考
高二数学（理）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
1．false
【解析】因为false，
所以false的虚部为false．
2．false
【解析】正确的假设为：“false，false至少一个不为false”．
3．false
【解析】由false，解得false或false，
当false时，false：false，false：false，满足false；
当false时，false：false，false：false，不满足false；
所以“false”是“false”的充要条件．
4．false
【解析】因为false是等差数列，
所以false．
5．false
【解析】当false时，false，false，
所以false，
当false时，false，false，false，false，
所以false．
6．false
【解析】如图，以false为坐标原点，false，false，false分别为false，false，false轴建立空间直角坐标，
则false，false，false，false，
所以false，false，
所以false，
所以直线false与false所成角的余弦值为false．
7．false
【解析】由题意false名高三同学分成false组，有false种分法：①false人为false组，另外false人各自为false组：false；②false人为false组，另外false人均分为false组：false；共false种．
8．false
【解析】因为false，false，
所以false，即false
故false．
因为false，
所以false，
故false，即false，
由余弦定理得false，得false（当且仅当false时等号成立），
所以false的面积false．
9．false
【解析】不等式组所表示的区域如图：计算可得
false，false，false，false可看作阴影区域内的点与定点false连线的直线斜率，由图可得，所得直线斜率最大值为false．
10．false
【解析】因为false，
所以false，
得false，
又因为false服从false，
所以false，
所以false．
11．false
【解析】法一：设false（false），则false，
所以false在false上单调递增，
因为false，
所以false，
由条件得false，false，false，
所以false．
法二：设false（false），则false，故false在false上单调递增，
因为false，
所以false，
又false，false，false，
所以false．
12．false
【解析】因为false ①，
所以false ②
由②－①得：false，
所以数列false奇数项与偶数项均成公差为false的等差数列
当false为奇数时，false；
当false为偶数时，false，
又因为false，
所以false，得false，
所以false，
所以false．
二、填空题
13．false
【解析】false展开式中含false的项为：false．
14．false
【解析】由题意false在false上恒成立，即false恒成立，
又false（当且仅当false时取等号），
所以false．
15．false
【解析】因为false，false，
所以由余弦定理得：false，
所以false，
又因为false为false的外心，
所以false，
所以false，
即false ①
同理可得，false ②
联立①②得false，false，
所以false．
16．false
【解析】设直线false的方程为false（false），false，false
联立方程组false，得false，则false，
根据图形可知false，解得false，则直线false的方程为false，
设点false关于直线false的对称点为false，
可列出方程组false，false，即false，
此时线段false与直线false的交点即为使得false取得最小值的点，
因为false，
所以最大距离为false．
三、解答题
17．【解析】（1）设数列false的公差为false，
因为false，false，false构成等比数列，
所以false，
又false
所以false
所以false，
（2）当false，false，
当false，false，
综上，false（false），
所以false，
false，①
false，②
①－②得：false，
所以false
18．【解析】（1）记恰好经过false次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件false，
则包含两种情况：“false次检验均为没有服用违禁药物运动员”和“前false次检测中有两次检测出服用违禁药物运动员，且第四次检测出的是服用违禁药物运动员”
所以false，
（2）由题意可知false的可能取值为false，false，false，false
false，false，
false，false
故false的分布列为：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
所以false，
19．【解析】（1）因为false平面false，false平面false，
所以false，
因为false是菱形，且false，
所以false，false为正三角形，
从而false，
因为false为false的中点，
所以false，
所以false，从而false，
又因为false，
所以false平面false，
（2）因为false，false，false两两垂直，
故false为坐标原点，分别以false，false，false为false，false，false轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则false，
false，false，false，false，
设false中点为false，则false，false，易得false平面false，
故平面false的法向量为false，则
false，取false得false，
设二面角false的大小为false，则false，
所以，二面角false的余弦值为false．
20．【解析】（1）依题意false，false，
又false
false，false
false椭圆false的方程为false
（2）假设存在这样的点false，不妨设false：false（false），false（false），则false，
联立false，解得false，false
false
false所在直线方程为false，
false，同理可得false，
false，false
因为点false在以false为直径的圆上
所以false，即false，
所以false
false存在点false在以false为直径的圆上，点false坐标为false或false．
21．【解析】（1）因为false，
所以false，
由false得false，false，
当false时，false，
所以false和false时，false，false单调递减，
当false时，false，
所以false在false上单调递减，
当false时，false，
所以false和false时，false，false单调递减，
综上所述，当false时，false的减区间为false和false，
当false时，false的减区间为false，
当false时，false的减区间为false和false，
（2）由false得false，
令false（false），则由题意得false与直线false恰有false个交点，
所以false，令false（false），则
易知false单调递减，false，false，
所以存在false，使得false，此时false，
所以当false时，false，false单调递增；
当false时，false，false单调递减；
所以false，
因为false，false时，false，
故要使得false与false恰有false个交点，则false，
又因为false，
所以false成立．
22．【解析】（1）由题意，直线false的参数方程为false（false为参数），
消去参数false，可得直线false：false，即false
由曲线false：false，
将false，false，代入曲线false可得false，
即曲线false的直线坐标方程为false，
（2）由（1）直线false过定点false，倾斜角为false，参数方程可化为false，
将false代入曲线false得false，
所以false，false
所以false，
23．【解析】（1）当false时，false，
①当false时，则false，
false，
②当false时，则false，
false，
③当false时，则false，
false，
false不等式false的解集为false，
（2）因为false
又false恒成立，
所以false
解得：false或false
false的取值范围为false