河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 Word版含答案

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姓名：_________
考生号：________
河南名校联盟
2020—2021学年高二（下）期末考试
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷共8页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息、并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．作答选择題时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知false为虚数单位，则false（ ）
A．false B．5 C．false D．false
3．已知等差数列false的前n项和为false，若false，则false（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知方程false，命题甲：false是该方程的解；命题乙：false是该方程的解，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知抛物线false的焦点为false，若false，则false的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知向量false为单位向量且满足false，若向量false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．3
8．已知一个几何体的三视图如图所示，其外接球的表面积为false，则这个几何体的体积为（ ）
A．20 B．16 C．20或12 D．16或20
9．已知函数false，则（ ）
A．函数false的单调递增区间为false B．函数false有两个零点
C．函数false为奇函数 D．过坐标原点有两条直线与函数false的图象相切
10．已知函数false，函数false与函数false的图象关于点false中心对称，则（ ）
A．函数false的最小正周期为false B．函数false的最大值为2
C．函数false的图象关于直线false对称 D．函数false的图象关于点false中心对称
11．如图，在正三棱锥false中，下列表述不正确的是（ ）
A．false
B．当false时，正三棱锥false的外接球的表面积为false
C．当false时，二面角false的大小为false
D．若false，点M，N分别为false上一点，则false周长的最小值为3
12．已知false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知棱台false．正方形false的边长为2，正方形false的边长为4，平面false平面false且false平面false，则棱台false的体积为________．
14．已知点false满足不等式组false，则false的最大值为_______．
15．false的展开式中，false的系数为________．
16．已知点O为坐标原点，点P为圆false上一动点，点Q为圆false上一动点，设false的最小值为m，则m的值为___________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4．5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元，员工甲在前10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，回答以下问题．
（Ⅰ）记利用方案二员工甲获得的日奖励为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
已知数列false满足false．
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）求数列false的前n项和false．
19．（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图所示，三棱柱false可分解成一个阳马false和一个鳖臑false，其中侧面false是边长为3的正方形，false，M为线段false上一点．
（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）求false的长，使得线段false与平面false所成角的正弦值为false．
20．（本小题满分12分）
已知点false，false都在椭圆C上，点A为椭圆C的上顶点点F为椭圆C的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l的倾斜角为false，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得false？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数false．
（Ⅰ）求false的最小值；
（Ⅱ）函数false，若函数false有两个不同的零点求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为false（false为参数），直线l的参数方程为false（false为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；
（Ⅱ）若false，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求false的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数false的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若false，证明：false．
河南名校联盟
2020—2021学年高二（下）期末考试
数学（理科）答案
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
A
C
C
B
B
D
D
D
C
B
一、必做题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】根据公式false直接得解，也可用韦恩图证明，故选A．
2．【答案】C
【解析】false，故选C．
3．【答案】A
【解析】依题意，false，则false，又因为false，所以false，则false，故选A．
4．【答案】C
【解析】方程false，即false，解得false或false，令false可得false，同时false时，false；令false可得false，同时false时，false，故选C．
5．【答案】C
【解析】由程序框图可知，一共进行4次循环，循环结束时false，所以最后输出的值为false，故选C．
6．【答案】B
【解析】由false，得false，令false得false，令false，则falsefalse，当且仅当false，即false时取等号．
故选B．
7．【答案】B
【解析】根据题意知false，所以false，建立平面直角坐标系，设false，则false，所以false，所以false，故选B．
8．【答案】D
【解析】根据题意，外接球的直径为false，该几何体可看作长方体截得的一部分，如下图两种图形，该几何体外接球的直径为长方体的体对角线长，设长方体底面的宽为x，false，∴false，故该几何体的体积为false或false，故选D．
9．【答案】D
【解析】由false，得false，所以函数false在false上单调递减，在false上单调递増，所以A不正确；分析函数false的大致图象（也可另false，得false），可知B错误；设切点为false，可得切线方程为false，又因为过坐标原点，可得false，该方程有两个解，所以D正确；因为false，所以C错误．故选D．
10．【答案】D
【解析】依题意，false，函数false，因此点false是函数false的图象的一个对称中心，故选D．
11．【答案】C
【解析】易证正三棱锥的对棱垂直，所以false，故A正确；当false时，正三棱锥false为正四面体，可放到边长为2的正方体内，所以正三棱锥false的外接球的半径为false，外接球的表面积为false，故B正确；当false时，取false的中点为M，连接false，则false即为所求角，令false，false，则false，所以false，故C不正确；将侧面沿false展开（如图），则false周长的最小值为3，故D正确．故选C．
12．【答案】B
【解析】由false，得false，由false，得false，由false，得false，令false，则false，所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减，且false，当false时，false，画出false的大致图象如图所示，分析可得false，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】28
【解析】由棱台的体积公式可得false，所以棱台false的体积为28．
14．【答案】6
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由图可知：当false经过点false时，z取得最大值，即false．
15．【答案】401
【解析】false，分析可知，展开式中false的项为false，所以false的系数为401．
16．【答案】8
【解析】如图，P为圆false上一动点，Q为圆false上一动点，O为坐标原点，取false，连接false，false，则false，所以易得false，所以false，又易知false，
所以false．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．【解析】（Ⅰ）X的分布列为:
X
88
92
100
116
134
P
false
false
false
false
false
（4分）
false（元）． （6分）
（Ⅱ）根据数据，可估算员工甲日平均卖出的产品件数为；false． （8分）
员工甲根据方案一的日平均奖励为false（元）， （10分）
因为false，所以建议员工甲选择方案一． （12分）
18．【解析】（Ⅰ）当false时，false （2分）
令false，则false，解得false或1，所以false，false．
所以false，从而可得false． （6分）
（Ⅱ）false． （12分）（本题为分组求和法求和：每一组求和正确，得3分）
19．【解析】（Ⅰ）由鳖臑的概念，可知false平面false，false平面false，false， （2分）
又∵四边形false是正方形，∴false，∵false，∴false平面false， （4分）
∵false平面false，∴平面false平面false． （6分）
（Ⅱ）∵false两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系false， （7分）
设false，则false，
∴false， （8分）
设平面false的法向量为false，则false，
即false，
令false，则平面false的一个法向量为false． （10分）
线段false与平面false所成角的正弦值等于false，∴falsefalse， （11分）
所以false或false，故false或false． （12分）
20．【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为false，由已知有false， （2分）
解得false
所以椭圆C的标准方程为false． （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，false，假设存在直线l满足题意，并设l的方程为false．由false，得false， （6分）
由false，得false． （8分）
由题意易知点F为false的重心，所以false，即false，解得false， （10分）
当false时，不满足false，所以不存在直线l，使得false． （12分）
21．【解析】（Ⅰ）false， （2分）
令false，得false，令false，得false或false，所以false在false和false上单调递减，在false上单调递增；故函数false的极小值为false，当false时，分析可得false，所以函数false的最小值为false． （4分）
（Ⅱ）令false，当false时，false只有一个零点false，由题意知false， （6分）
因为false，所以false，所以当false时，false，函数false为减函数；当false时，false，函数false为增函数．故当false时，false存在极小值false；
又因为false，
所以false在区间false内各有一个零点；
当false时，由false，得false．当false，即false时，随着x的变化， false与false的变化情况如下表：
x
false
1
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
false
极大值
false
极小值
false
所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减．又因为false，false，false，使得false， （10分）
所以函数false在区间false只有一个零点；当false，即false时，因为false（当且仅当false时等号成立），所以false在false上单调递增，此时，函数false至多一个零点；
当false，即false．时，随着x的变化，false与false的变化情况如下表：
x
false
false
false
1
false
false
+
0
-
0
+
false
false
极大值
false
极小值
false
所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减．又因为false，所以当false时，false，此时，函数false在区间false无零点，在区间false上至多一个零点；
又∵false，
∴当false时，false．
∵false，
∴当false时，false零点的个数与false的零点个数相同．
当false时，false只有一个零点；
综上可知，若false有两个不同的零点，false． （12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．
22．【解析】（Ⅰ）依题意，曲线false，故false， （1分）
即曲线C的极坐标方程为false； （3分）
由false消去参数t可得直线l的普通方程为false． （5分）
（Ⅱ）先将直线l的方程写成标准的参数方程为false代入false中， （7分）
化简可得false，设M，N所对应的参数分别为false，
则false， （8分）
故false． （10分）
23．【解析】（Ⅰ）方法一：当false时，false； （2分）
当false时，false； （3分）
当false时，false，所以false． （5分）
方法二：false，当且仅当false时，false，所以false． （5分）
（Ⅱ）由afalse，得false，即false，当且仅当false时取等号，所以false． （7分）
因为false， （8分）
且仅当false时取等号，所以false． （10分）