丹东市2020~2021学年度(下)期末教学质量监测
高二数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。
2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。
1.已知集合false,false,则false( )
A.false B.false C.false D.false
2.命题“false,false”的否定( )
A.false,false B.false,false
C.false,false D.false,false
3.已知等差数列false的公差为false,若false为递增数列,则( )
A.false B.false C.false D.false
4.false( )
A.false B.false C.false D.false
5.已知关于false的方程false的两个实数根的倒数和等于0,则( )
A.false B.false C.false D.false
6.将false封不同信投入false个不同邮箱,每个邮箱最多投一封信的概率为( )
A.false B.false C.false D.false
7.已知三个正实数false,false,false满足false,则false+的最小值为( )
A.false B.false C.false D.false
8.当false时,false,则false的取值范围为( )
A.false B.false C.false D.false
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知false,下列不等式中正确的是( )
A.false B.false C.false D.false
10.设函数false的导函数为false,则( )
A.false展开式的第false项和第false项的二项式系数相等
B.false展开式共有false项
C.false展开式中的各项系数和为false
D.false展开式中的false系数为false
11.设数列false的前false项和为false,下列命题正确的是( )
A.若false为等差数列,则false,false,false仍为等差数列
B.若false为等比数列,则false,false,false仍为等比数列
C.若false为等差数列,则false(false为正常数)为等比数列
D.若false为等比数列,则false为等差数列
12.甲口袋中有false个红球,false个白球和false个黑球,乙口袋中有false个红球,false个白球和false个黑球,先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋,分别以false,false和false表示由甲口袋取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙口袋中随机取出一球,以false表示由乙口袋取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )
A.false B.false
C.事件false与事件false相互独立 D.false,false,false是两两互斥的事件
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况,从全地区高三年级男同学中随机抽取了false同学为样本,分别测量样本中每名同学的体重false(单位:false),已知false,false,则样本中体重不低于false的人数为______.
14.等比数列false中,false,false,则false______.
15.设false,false,随机变量false的分布列如表所示:
false
false
false
false
false
false
false
false
则false______;若false,则false______.(本题第一空2分,第二空3分.)
16.等差数列false中,false,false,若false为false的前false项和,则使false取最小值时的false值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写岀文字说明,证明过程或演算步骤。
17.设函数false,曲线false在false处的切线方程为false.
(1)求实数false,false的值;
(2)求false的极值.
18.设等差数列false的前false项和为false,已知false,false.
(1)求数列false的通项公式false;
(2)记false,数列false是否存在最大项?若存在,求出这个最大项;如不存在,请说明理由.
19.2020年10月29日,十九届五中全会发布公报,提出“稳妥实施渐进式延迟法定退休年龄”,标志着延迟退休将由此前的研究层面变成现实.某研究机构以false年为一个调研周期,统计某地区的第false个调研周期内新增的退休人数false(单位:万人),得到统计数据如下表:
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
通过数据分析得到第false个周期内新增的退休人数false与false之间具有线性相关关系.
(1)求false关于false的线性回归方程,并预测在第false个调研周期内该地区新增退休人数
(2)该研究机构为了调研市民对延迟退休的态度,随机采访了false名市民,将他们的意见和性别进行了统计,得到如下false列联表:
支持
不支持
合计
男性
false
false
false
女性
false
false
false
合计
false
false
false
根据列联表判断,是否有false的把握认为支持延迟退休与性别有关?
附:回归方程false中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
false,false.
参考数据:false.
附:false,
falsefalse
false
false
false
false
false
false
false
false
false
20.记false为数列false的前false项和,false,false为常数,且false,false,证明:false是以false为公比的等比数列的充要条件为false.
21.为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校开学后,食堂从开学第一天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种,已知他第一天选择米饭套餐的概率为false,而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为false,前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为false,如此往复.
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学第false天选择米饭套餐的概率为false.
(1)证明:false为等比数列;
(ⅱ)证明:当false时,false.
22.已知以下三个不等式都成立:
①falsefalse;②falsefalse;③falsefalse.
(1)从这三个不等式中选择一个不等式进行证明:
注:如果选择多个不等式分别进行证明,按第一个证明计分.
(2)若函数false与false的图像有且只有一个公共点,求false的取值范围.
2020~2021学年度(下)期末教学质量监测
高二数学试题参考答案
一、选择题
1.false 2.false 3.false 4.false 5.false 6.false 7.false 8.false
二、选择题
9.false 10.false 11.false 12.false
三、填空题
13.false 14.false 15.false;false 16.false
6.解:false.或者false.
7.解:false,当且仅当false,等号成立.
false,当且仅当false时,等号成立.
因此false,当且仅当false时,等号成立.
于是false的最小值为false.
8.解法1:
不等式false可化为false.
当false时,false,可得false;
当false时,false,false;
当false时,false,可得false.
综上,false的取值范围为false.
解法2:
设false,则false,false
所以false.
因为false,
所以false,false.
若false,则false,false.
当false时,false,false单调递减,
当false时,false,false单调递增,
故false.
综上,false的取值范围为false.
12.解:false,false,false.
因为false,
所以false.
同理false,false.
因为false,false,false是两两互斥的事件,由全概率公式得
false
false
false
因为false,
所以选项false错误.
综上,选项false错误,选false项正确,选false项正确.
15.解:由题设false,可得false.从而false.
由false,可得false,于是false.
16.解:设false的公差为false,则
false
false
false.
false.
false.
由已知得false,解得false.
所以false,false.
设false,false,则false在false递减,在false递增.
因为false,比较false与false大小可知,当false时,false取得最小值false.
四、解答题
17.解:(1)false,
由题设可得false,false,
所以false
解得false,false.
(2)false定义域为false,false.
当false时,false,false单调递减,
当false时,false,false单调递增,
所以当false时,false取极小值false,没有极大值.
18.解:(1)设false的公差为false,由题设false,false.
解得false,false,所以false的通项公式false.
(2)由false知当false时,false,
当false时,false,故当false时,false.
因为false,false,false,false,false,
所以当false时,false是false的最大项.
19.解:(1)由题表中的数据可得false,false,false.
因为false,
所以false,false.
因此false关于false的线性回归方程为false.
所以预测下一个调研周期内该地区新增的退休人数约为false万人.
(2)由false列联表可得,false.
因为false,所以没有false的把握认为支持延迟退休与性别有关
20.证明:充分性
由false,可知false.
由false,可得false,而false,false,
故false是以false为公比的等比数列.
必要性
因为false.①
根据等比数列定义false,于是
false②
①-②可得false.
因为false,所以false.
【或者】必要性
根据等比数列通项公式,可得false.③
③两式同时乘以false可得false.④
③-④可得false.
因为false,所以false.
【注】必要性,使用false和false进行证明,给false分.
21.解:(1)设false“第false天选择米饭套餐”,false“第false天选择米饭套餐”,
则false“第false天不选择米饭套餐”.
根据题意false,false,false,false.
由全概率公式,得false.
(2)(i)设false“第false天选择米饭套餐”,则false,false,
根据题意false,false.
由全概率公式,得false.
因此false.
因为false,
所以false是以false为首项,false为公比的等比数列.
(ii)由(i)可得false.
当false为大于false的奇数时,false.
当false为正偶数时,false.
因此false当时,false.
22.解:方案一:证明不等式①.
设false,当false时,false,false单调递减.
所以false,故不等式①成立.
(2)设false,则函数false与false的图像有且只有一个公共点等价于false有且只有一个零点.
当false时,false在false单调递减,false,故false只有一个零点false.
false定义域为false,false.
当false时,若false,则false,false单调递减,
若false,则false,false单调递增,所以false.
若false,false,false有且只有一个零点false.
若false,则false.
当false时,false,因为false,
所以false在false存在一个零点false.
由不等式①可得false.
因此false,false,
false在false存在一个零点,故false有false个零点.
当false时,false,因为false,
所以false在false存在一个零点false.
由不等式①可得false.
所以false,
false在false存在一个零点,故false有false个零点.
综上,false的取值范围为false.
方案二:证明不等式②.
设false,当false时,false,false单调递减.
所以false,故不等式②成立.
(2)设false,则函数false与false的图像有且只有一个公共点等价于false有且只有一个零点.
当false时,false在false单调递减,false,故false只有一个零点false.
false定义域为false,false.
当false时,若false,则false,false单调递减,
若false,则false,false单调递增,所以false.
若false,false,false有且只有一个零点false.
若false,则false.
当false时,false,因为false,
所以false在false存在一个零点false.
由false可得false,false.
因此false,false,false在false存在一个零点,故false有false个零点.
当false时,false,因为false,所以false在false存在一个零点false.
此时false,当false时,由不等式②可得
false.
于是false,false在false存在一个零点,故false有false个零点.
综上,false的取值范围为false.
方案三:证明不等式③.
设false,当false时,false,false单调递减.
所以false,故不等式③成立.
(2)设false,则函数false与false的图像有且只有一个公共点等价于false有且只有一个零点.
当false时,false在false单调递减,false,故false只有一个零点false.
false定义域为false,false.
当false时,若false,则false,false单调递减,
若false,则false,false单调递增,所以false.
若false,false,false有且只有一个零点false.
若false,则false.
当false时,false,因为false,
所以false在false存在一个零点false.
由false可得false,false.
因此false,false,false在false存在一个零点,故false有false个零点.
当false时,false,因为false,
所以false在false存在一个零点false.
由不等式③可得false,false在false存在一个零点,故false有false个零点.
综上,false的取值范围为false.
【注】关于第二个问的解答:
(1)后半部分,不等式①②③的任何一个都可以直接使用.使用其他二级结论的,需要对结论进行证明,否则不能给满分.
(2)当false时以及当false时,运用“false时,false”和“false时,false”去说明,不讲明白为什么false的解答,不能给满分.
(3)求出false在false处的切线false后,再用图像说明当false与false时,函数false与false有两个个公共点的解答,给0分.