辽宁省丹东市2020-2021学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 Word版含答案

丹东市2020～2021学年度（下）期末教学质量监测
高二数学

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．命题“false，false”的否定（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
3．已知等差数列false的公差为false，若false为递增数列，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知关于false的方程false的两个实数根的倒数和等于0，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．将false封不同信投入false个不同邮箱，每个邮箱最多投一封信的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知三个正实数false，false，false满足false，则false+的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．当false时，false，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知false，下列不等式中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．设函数false的导函数为false，则（ ）
A．false展开式的第false项和第false项的二项式系数相等
B．false展开式共有false项
C．false展开式中的各项系数和为false
D．false展开式中的false系数为false
11．设数列false的前false项和为false，下列命题正确的是（ ）
A．若false为等差数列，则false，false，false仍为等差数列
B．若false为等比数列，则false，false，false仍为等比数列
C．若false为等差数列，则false（false为正常数）为等比数列
D．若false为等比数列，则false为等差数列
12．甲口袋中有false个红球，false个白球和false个黑球，乙口袋中有false个红球，false个白球和false个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以false，false和false表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以false表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false
C．事件false与事件false相互独立 D．false，false，false是两两互斥的事件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况，从全地区高三年级男同学中随机抽取了false同学为样本，分别测量样本中每名同学的体重false（单位：false），已知false，false，则样本中体重不低于false的人数为______．
14．等比数列false中，false，false，则false______．
15．设false，false，随机变量false的分布列如表所示：
false
false
false
false
false
false
false
false
则false______；若false，则false______．（本题第一空2分，第二空3分．）
16．等差数列false中，false，false，若false为false的前false项和，则使false取最小值时的false值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。
17．设函数false，曲线false在false处的切线方程为false．
（1）求实数false，false的值；
（2）求false的极值．
18．设等差数列false的前false项和为false，已知false，false．
（1）求数列false的通项公式false；
（2）记false，数列false是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．
19．2020年10月29日，十九届五中全会发布公报，提出“稳妥实施渐进式延迟法定退休年龄”，标志着延迟退休将由此前的研究层面变成现实．某研究机构以false年为一个调研周期，统计某地区的第false个调研周期内新增的退休人数false（单位：万人），得到统计数据如下表：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
通过数据分析得到第false个周期内新增的退休人数false与false之间具有线性相关关系．
（1）求false关于false的线性回归方程，并预测在第false个调研周期内该地区新增退休人数
（２）该研究机构为了调研市民对延迟退休的态度，随机采访了false名市民，将他们的意见和性别进行了统计，得到如下false列联表：
支持
不支持
合计
男性
false
false
false
女性
false
false
false
合计
false
false
false
根据列联表判断，是否有false的把握认为支持延迟退休与性别有关？
附：回归方程false中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
false，false．
参考数据：false．
附：false，
falsefalse
false
false
false
false
false
false
false
false
false
20．记false为数列false的前false项和，false，false为常数，且false，false，证明：false是以false为公比的等比数列的充要条件为false．
21．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为false，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为false，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为false，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第false天选择米饭套餐的概率为false．
（1）证明：false为等比数列；
（ⅱ）证明：当false时，false．
22．已知以下三个不等式都成立：
①falsefalse；②falsefalse；③falsefalse．
（1）从这三个不等式中选择一个不等式进行证明：
注：如果选择多个不等式分别进行证明，按第一个证明计分．
（2）若函数false与false的图像有且只有一个公共点，求false的取值范围.
2020～2021学年度（下）期末教学质量监测
高二数学试题参考答案
一、选择题
1．false 2．false 3．false 4．false 5．false 6．false 7．false 8．false
二、选择题
9．false 10．false 11．false 12．false
三、填空题
13．false 14．false 15．false；false 16．false
6．解：false．或者false．
7．解：false，当且仅当false，等号成立．
false，当且仅当false时，等号成立．
因此false，当且仅当false时，等号成立．
于是false的最小值为false．
8．解法1：
不等式false可化为false．
当false时，false，可得false；
当false时，false，false；
当false时，false，可得false．
综上，false的取值范围为false．
解法2：
设false，则false，false
所以false．
因为false，
所以false，false．
若false，则false，false．
当false时，false，false单调递减，
当false时，false，false单调递增，
故false．
综上，false的取值范围为false．
12．解：false，false，false．
因为false，
所以false．
同理false，false．
因为false，false，false是两两互斥的事件，由全概率公式得
false
false
false
因为false，
所以选项false错误．
综上，选项false错误，选false项正确，选false项正确．
15．解：由题设false，可得false．从而false．
由false，可得false，于是false．
16．解：设false的公差为false，则
false
false
false．
false．
false．
由已知得false，解得false．
所以false，false．
设false，false，则false在false递减，在false递增．
因为false，比较false与false大小可知，当false时，false取得最小值false．
四、解答题
17．解：（1）false，
由题设可得false，false，
所以false
解得false，false．
（2）false定义域为false，false．
当false时，false，false单调递减，
当false时，false，false单调递增，
所以当false时，false取极小值false，没有极大值．
18．解：（1）设false的公差为false，由题设false，false．
解得false，false，所以false的通项公式false．
（2）由false知当false时，false，
当false时，false，故当false时，false．
因为false，false，false，false，false，
所以当false时，false是false的最大项．
19．解：（1）由题表中的数据可得false，false，false．
因为false，
所以false，false．
因此false关于false的线性回归方程为false．
所以预测下一个调研周期内该地区新增的退休人数约为false万人．
（2）由false列联表可得，false．
因为false，所以没有false的把握认为支持延迟退休与性别有关
20．证明：充分性
由false，可知false．
由false，可得false，而false，false，
故false是以false为公比的等比数列．
必要性
因为false．①
根据等比数列定义false，于是
false②
①－②可得false．
因为false，所以false．
【或者】必要性
根据等比数列通项公式，可得false．③
③两式同时乘以false可得false．④
③－④可得false．
因为false，所以false．
【注】必要性，使用false和false进行证明，给false分．
21．解：（1）设false“第false天选择米饭套餐”，false“第false天选择米饭套餐”，
则false“第false天不选择米饭套餐”．
根据题意false，false，false，false．
由全概率公式，得false．
（2）（i）设false“第false天选择米饭套餐”，则false，false，
根据题意false，false．
由全概率公式，得false．
因此false．
因为false，
所以false是以false为首项，false为公比的等比数列．
（ii）由（i）可得false．
当false为大于false的奇数时，false．
当false为正偶数时，false．
因此false当时，false．
22．解：方案一：证明不等式①．
设false，当false时，false，false单调递减．
所以false，故不等式①成立．
（2）设false，则函数false与false的图像有且只有一个公共点等价于false有且只有一个零点．
当false时，false在false单调递减，false，故false只有一个零点false．
false定义域为false，false．
当false时，若false，则false，false单调递减，
若false，则false，false单调递增，所以false．
若false，false，false有且只有一个零点false．
若false，则false．
当false时，false，因为false，
所以false在false存在一个零点false．
由不等式①可得false．
因此false，false，
false在false存在一个零点，故false有false个零点．
当false时，false，因为false，
所以false在false存在一个零点false．
由不等式①可得false．
所以false，
false在false存在一个零点，故false有false个零点．
综上，false的取值范围为false．
方案二：证明不等式②．
设false，当false时，false，false单调递减．
所以false，故不等式②成立．
（2）设false，则函数false与false的图像有且只有一个公共点等价于false有且只有一个零点．
当false时，false在false单调递减，false，故false只有一个零点false．
false定义域为false，false．
当false时，若false，则false，false单调递减，
若false，则false，false单调递增，所以false．
若false，false，false有且只有一个零点false．
若false，则false．
当false时，false，因为false，
所以false在false存在一个零点false．
由false可得false，false．
因此false，false，false在false存在一个零点，故false有false个零点．
当false时，false，因为false，所以false在false存在一个零点false．
此时false，当false时，由不等式②可得
false．
于是false，false在false存在一个零点，故false有false个零点．
综上，false的取值范围为false．
方案三：证明不等式③．
设false，当false时，false，false单调递减．
所以false，故不等式③成立．
（2）设false，则函数false与false的图像有且只有一个公共点等价于false有且只有一个零点．
当false时，false在false单调递减，false，故false只有一个零点false．
false定义域为false，false．
当false时，若false，则false，false单调递减，
若false，则false，false单调递增，所以false．
若false，false，false有且只有一个零点false．
若false，则false．
当false时，false，因为false，
所以false在false存在一个零点false．
由false可得false，false．
因此false，false，false在false存在一个零点，故false有false个零点．
当false时，false，因为false，
所以false在false存在一个零点false．
由不等式③可得false，false在false存在一个零点，故false有false个零点．
综上，false的取值范围为false．
【注】关于第二个问的解答：
（1）后半部分，不等式①②③的任何一个都可以直接使用．使用其他二级结论的，需要对结论进行证明，否则不能给满分．
（2）当false时以及当false时，运用“false时，false”和“false时，false”去说明，不讲明白为什么false的解答，不能给满分．
（3）求出false在false处的切线false后，再用图像说明当false与false时，函数false与false有两个个公共点的解答，给0分．