辽宁省五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

辽宁省五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．1 D．2
2．点false是角false的终边上一点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知false为一条直线，false、false为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若false，false，则false B．若false，false，则false
C．若false，false，则false D．若false，false，则false
4．在false中，已知false为false上一点，且满足false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．如图是一个近似扇形的鱼塘，其中false，false长为false．为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥false，其中false，false．已知false时，false，则廊桥false的长度大约为（ ）

A．false B．false C．false D．false
6．在false中，已知false，false是false边上一点，如图，false，false，false，则false（ ）

A．false B．false C．2 D．3
7．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径的比值为（ ）
A．false B．2 C．false D．4
8．已知函数false是定义域为false的奇函数，false，且当false时，false，则下列结论正确的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知向量false，false，则（ ）
A．false B．向量false在向量false上的投影数量为false
C．false与false的夹角余弦值为false D．若false，则false
10．已知函数false的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．false
B．函数false在false上单调递减
C．函数false的图象关于false中心对称
D．函数false的图象可由函数false的图象向左平移false个单位得到
11．在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false且false的面积为false，则角false不可能是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．在菱形false中，false，false，将菱形false沿对角线false折成大小为false的二面角false，若折成的四面体false内接于球false，则下列说法正确的是（ ）．
A．四面体false的体积的最大值是false
B．false的取值范围是false
C．四面体false的表面积的最大值是false
D．当false时，球false的体积为false
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设false是虚数单位，复数false为纯虚数，则实数false______．
14．正方形false的边长为2，false是线段false上的动点（含端点），则false的取值范围是______．
15．已知false的内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false，false，则false______．
16．柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体．由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种．如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体．古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）．现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体．设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为______，该截角四面体外接球的体积为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分．第17题10分，18~22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知复数false，false（false，false是虚数单位）．
（1）若false在复平面内对应的点落在第一象限，求实数false的取值范围；
（2）若虚数false是实系数一元二次方程false的根，求实数false的值．
18．已知非零向量false，false满足false，且false．
（1）求false与false的夹角；
（2）若false，求false．
19．在①false；②false；③false；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在false的内角false，false，false所对的边分别是false，false，false，已知______．
（1）求false的值；
（2）若false面积为false，周长为5，求false的值．
20．如图，在多面体false中，四边形false和false均为直角梯形，false，false，且false，false．

（1）求证：false平面false，
（2）求点false到平面false的距离．
21．在三棱柱false中，已知false，false，点false在底面false的射影是线段false的中点false．

（1）证明：在侧棱false上存在一点false，使得false平面false，并求出false的长；
（2）求二面角false的平面角的正切值．
22．已知false为坐标原点，对于函数false，称向量false为函数false的相伴特征向量，同时称函数false为向量false的相伴函数．
（1）设函数false，试求false的相伴特征向量false；
（2）记向量false的相伴函数为false，求当false且false时，false的值；
（3）已知false，false，false为false的相伴特征向量，false，请问在false的图象上是否存在一点false，使得false．若存在，求出false点坐标；若不存在，说明理由．
辽宁省五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷答案
一、单项选择题：1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D
二、多项选择题：9．BC 10．AD 11．ABD 12．ACD；
三、填空题：13．2 14．false 15．false 16．false false
四、解答题
17．（1）由题意得，false，
因为false在复平面内对应的点落在第一象限，
所以false，解得false．
（2）由false得false，即
false，
所以false，解得false，
（第二问利用韦达定理的方法也可以，相应给分）
18．false，false，
false，
false
false，false，
false，
false，false与false的夹角为false．
（2）false，false．
false，又由（1）知false，
false，false．
19．（1）选①时，false；利用正弦定理得：false，
整理得false，由于false，所以false．
选②时，false；利用余弦定理：false，
整理得false，
化简得：false，由于false，所以false．
选③时，false，整理得false，
所以false，
解得false或-1（舍去），由于false，所以false．
（2）由于false，解得false．
由于false，所以false，
利用余弦定理：false．
解得false
20．（1）取false中点false，连接false交false于点false，连接false．
false，且false，
∴四边形false是平行四边形，∴false，false为false中点，
又false，且false，
false，且false，
∴四边形false是平行四边形，false，
又false平面false，false平面false，
false平面false

（2）false平面false，
∴点false到平面false的距离等于点false到平面false的距离．
取false中点false，连接false，
false，false，
false，
false，false，又false．
false平面false，又false平面false
false，又false，false平面false．
false，false．
false，false，
false，false，false．
设点false到平面false的距离为false，
false即false，false．
即点false到平面false的距离为false．
（其它方法请酌情给分）
21．（1）证明：因为false平面false，false平面false，
所以false，又false，线段false的中点为false，所以false，
又false
所以false平面false，从而false，
因此当false时，此时false，即此时false平面false
对于false，
由已知条件并结合简单运算有如下信息：
false，false，false，
在false中利用等面积法易得false，
从而计算得false．
（2）由（1）可知四边形false为矩形，取false中点false，连接false．
过false作false平行线交false为false，则false平面false，
过false作false的垂线，交于false，
连接false，从而false为所求二面角的平面角．
在矩形false中，false．
因此，在false中，
false，false，false，
从而false．

（其它方法请酌情给分）
22．（1）false
false
false的相伴特征向量false．
（2）向量false的相伴函数为false．
false，
false，
false，false，false．
false．
（3）由false为false的相伴特征向量知：false．
所以false．
设false，false，false，
false，false
又false，false
false
false
false
false，false，
false
又false，
∴当且仅当false时，false和false同时等于false，这时（*）式成立．
∴在false图像上存在点false，使得false．