第三章　§3　第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含答案）

1181100011061700第三章指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念　3.2　指数函数的图象和性质
第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是(　　)
A.-89,8 B.-89,8
C.19,9 D.19,9
2.(2019吉林长春高一质检)已知函数f(x)=(1-3a)x+10a,x≤7,ax-7,x>7是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.13,12 B.13,611
C.12,23 D.12,611
3.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是(　　)
A.2 B.12 C.3 D.13
4.方程4x+2x+1-3=0的解是　　　　　.?
5.若函数y=ax-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是　　　　　.?
6.函数y=13x-2的定义域是　　　　　,值域是　　　　　.?
7.(2019北京八十中高一段考)已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f12=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　　.?
8.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点2,12,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.





能力提升练
1.(2019湖北孝感汉川二中高一月考)设函数f(x)=12x-7,x<0,x,x≥0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
2.(多选题)关于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
3.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a,则a=　　　　　.?
4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　.?
5.解下列关于x的不等式:
(1)123x-1≤2;
(2)ax2-3x+10,且a≠1).













6.(2019河南省实验中学高一段考)已知函数f(x)=1-2x1+2x.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)当x∈(1,+∞)时,求函数f(x)的值域.







7.已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R),
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.







素养培优练
(2019辽宁大连一中高一期末)已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)为R上的增函数;
(3)若对任意的x∈R,不等式f(mx2+1)+f(1-mx)>0恒成立,求实数m的取值范围.







1181100011061700第三章指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念　3.2　指数函数的图象和性质
第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是(　　)
A.-89,8 B.-89,8
C.19,9 D.19,9
解析∵-2≤x<2,∴-2<-x≤2,
∴3-2<3-x≤32,
∴-89<3-x-1≤8,即y∈-89,8.
答案A
2.(2019吉林长春高一质检)已知函数f(x)=(1-3a)x+10a,x≤7,ax-7,x>7是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.13,12 B.13,611
C.12,23 D.12,611
解析∵f(x)是R上的减函数,
∴1-3a<0,0 答案B
3.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是(　　)
A.2 B.12 C.3 D.13
解析当a>1时,指数函数y=ax为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=1a.
所以a+1a=52,解得a=2,或a=12(舍去);
当0 综上所述:a=2或者a=12.
答案AB
4.方程4x+2x+1-3=0的解是　　　　　.?
解析原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.
答案x=0
5.若函数y=ax-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是　　　　　.?
解析由ax-1≥0,知ax≥1.又x≤0,所以0 答案(0,1)
6.函数y=13x-2的定义域是　　　　　,值域是　　　　　.?
解析由x-2≥0得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}.
当x≥2时,x-2≥0.又0<13<1,所以y=13x-2的值域为{y|0 答案{x|x≥2}　{y|0 7.(2019北京八十中高一段考)已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f12=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　　.?
解析∵f(x)是偶函数,且f12=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
由f(2x)>2得2x>12,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).
答案(-1,+∞)
8.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点2,12,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点2,12,所以a2-1=a=12.
(2)由(1)得f(x)=12x-1(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].
能力提升练
1.(2019湖北孝感汉川二中高一月考)设函数f(x)=12x-7,x<0,x,x≥0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
解析当a<0时,f(a)<1,即12a-7<1?12a<8?2-a<23?-a<3?a>-3,∴-3 综上,-3 答案A
2.(多选题)关于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;
f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;
f(x)=12x-2x在R上是减函数,C错;
由于x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又它是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.
答案ABD
3.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a,则a=　　　　　.?
解析当a>1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,有f(2)=a2=3a,解得a=3(舍去a=0);
当0 所以此时不存在满足条件的实数a.
综上可知,a=3.
答案3
4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　.?
解析设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
于是f(x-2)>0可化为x-2≥0,2x-2-4>0或x-2<0,2-x+2-4>0,解得x>4或x<0.
答案2-x-4　{x|x<0或x>4}
5.解下列关于x的不等式:
(1)123x-1≤2;
(2)ax2-3x+10,且a≠1).
解(1)不等式123x-1≤2,即为21-3x≤2,故1-3x≤1,解得x≥0,
∴不等式的解集为{x|x≥0}.
(2)当a>1时,有x2-3x+1x+6,解得x<-1或x>5.
所以,当a>1时,不等式的解集为{x|-1 当05}.
6.(2019河南省实验中学高一段考)已知函数f(x)=1-2x1+2x.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)当x∈(1,+∞)时,求函数f(x)的值域.
解(1)函数f(x)是奇函数,证明如下:
∵对任意x∈R,2x+1>1恒成立,且f(-x)=1-2-x1+2-x=2x-2-x·2x2x+2-x·2x=2x-12x+1=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)令2x=t,则f(x)可化为g(t)=1-tt+1=-1+2t+1,
∵x∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3.
∴0<2t+1<23,∴-1 ∴f(x)的值域是-1,-13.
7.已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R),
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
(1)证明f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1 则f(x1)-f(x2)=a-12x1+1-a+12x2+1=2x1-2x2(1+2x1)(1+2x2).
∵x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) (2)解∵f(x)为奇函数,且x∈R,
∴f(0)=0,即a-120+1=0,解得a=12.
(3)解由(2)知,f(x)=12?12x+1,由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).∵f(1)=12?13=16,∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为16.
素养培优练
(2019辽宁大连一中高一期末)已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)为R上的增函数;
(3)若对任意的x∈R,不等式f(mx2+1)+f(1-mx)>0恒成立,求实数m的取值范围.
(1)解∵f(x)是奇函数,定义域为R,
∴f(1)+f(-1)=0,可得1a+4+-12a+1=0,
解得a=2.经检验,a=2符合题意.
(2)证明f(x)=2x-12+2x+1,令t=2x,则f(x)可化为g(t)=t-12+2t=12·t-1t+1=121-2t+1=12?1t+1.
设x1∈R,x2∈R,且x1 ∵t=2x在R上是增函数,
∴0<2x1<2x2,即0 g(t1)-g(t2)=12?1t1+1?12-1t2+1=1t2+1?1t1+1=t1-t2(t1+1)(t2+1).
∵00,t2+1>0,
∴g(t1) (3)解∵f(x)是奇函数,∴不等式f(mx2+1)+f(1-mx)>0等价于f(mx2+1)>f(mx-1).
∵f(x)在R上是增函数,
∴mx2+1>mx-1对任意x∈R恒成立,
即mx2-mx+2>0对任意x∈R恒成立,
当m=0时,不等式即为2>0,恒成立,符合题意;
当m≠0时,有m>0,Δ=m2-8m<0,即0 综上所述,可得实数m的取值范围为[0,8).