第六章　§4　4.1　样本的数字特征　4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含答案）

1049020011887200第六章统计
§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征　4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020广西高三月考)某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是(　　)
A.方差 B.中位数
C.众数 D.平均数
2.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是(　　)
A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216
3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为(　　)
鞋的尺码/cm
23.5
24
24.5
25
26
销售量/双
1
2
2
5
3

A.25 cm,25 cm B.24.5 cm,25 cm
C.26 cm,25 cm D.25 cm,24.5 cm
4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是(　　)
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4
C.81.2,84.4 D.78.8,75.6
5.(多选题)(2020山东高一期末)某校举行篮球比赛,两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表
场次
1
2
3
4
5
6
小明得分
30
15
23
33
17
8
小张得分
22
20
31
10
34
9

则下列说法正确的是(　　)
A.小明得分的极差小于小张得分的极差
B.小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C.小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D.小明的成绩比小张的稳定
6.(2019四川绵阳南山中学高三月考)某样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是　　　,　　　.?

7.(2020山东济南高一期末)数据18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为　　　　.?
8.若一组数据x1,x2,…,xn的方差为9,则数据3x1,3x2,…,3xn的方差为　　　　　,标准差为　　　　　.?
9.某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示.

团体成绩
众数
极差
平均数
方差
高一年级

22

39.6
高二年级


85.7
27.8

(1)请把上边的表格填写完整.
(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些?





10.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少?






能力提升练
1.期中考试后,班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均数为N,那么MN等于(　　)
A.4041 B.1 C.4140 D.2
2.某人5次上班途中所花的时间(单位:分)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某鞋店试销一种新女鞋,销售情况如下表:
型号
34
35
36
37
38
39
40
41
数量/双
2
5
9
16
9
5
3
2

如果你是鞋店经理,最关心的是哪种型号的鞋销量最大,那么下列统计量对你来说最重要的是(　　)
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
4.(2020安徽六安一中高二期末)手机运动计步已经成为一种新时尚,某单位统计职工十天行走步数(单位:百步)得到如下频率分布直方图:

由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125(百步),则a=　　　　;b=　　　　.?
5.高三(1)班4名体育生的测试成绩分别为82,81,79,78,高三(2)班6名体育生的测试成绩分别为70,76,77,74,78,75,则这10名体育生的平均分与方差分别为　　　　、　　　　.?
6.(2019安徽安庆一中高二月考)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数且满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本,发现所有数据均在区间[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图如图所示,但不小心污损了部分图形.观察图形,回答下列问题:

(1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图;
(2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表)





素养培优练
　某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图.

(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.








1049020011887200第六章统计
§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征　4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020广西高三月考)某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是(　　)
A.方差 B.中位数
C.众数 D.平均数
解析由题可知,中位数和众数、平均数都有变化,本次和上次的月考成绩相比,成绩和平均数都增加了50,所以(xn-x)2不变,据方差公式s2=18(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x8-x)2可知方差不变.
答案A
2.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是(　　)
A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216
解析∵x=15×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,
∴s2=15×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.
答案B
3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为(　　)
鞋的尺码/cm
23.5
24
24.5
25
26
销售量/双
1
2
2
5
3

A.25 cm,25 cm B.24.5 cm,25 cm
C.26 cm,25 cm D.25 cm,24.5 cm
解析易知众数为25 cm.因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5 cm到24.5 cm的共有5个数据,且尺码为25 cm的有5个数据,因此第7个数据一定是25 cm,即中位数为25 cm.
答案A
4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是(　　)
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4
C.81.2,84.4 D.78.8,75.6
解析原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.
答案A
5.(多选题)(2020山东高一期末)某校举行篮球比赛,两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表
场次
1
2
3
4
5
6
小明得分
30
15
23
33
17
8
小张得分
22
20
31
10
34
9

则下列说法正确的是(　　)
A.小明得分的极差小于小张得分的极差
B.小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C.小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D.小明的成绩比小张的稳定
解析A选项,小明得分的极差为33-8=25,小张得分的极差为34-9=25,故A错误.B选项,小明得分的中位数为17+232=20,小张得分的中位数为20+222=21,故B正确.C选项,小明得分的平均数为30+15+23+33+17+86=21,小张得分的平均数为22+20+31+10+34+96=21,故C错误.D选项,计算可得小明和小张平均分相等,但小明分数相对集中,更稳定,故D正确.
答案BD
6.(2019四川绵阳南山中学高三月考)某样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是　　　,　　　.?

解析第1组的频率为0.04×5=0.2,第2组的频率为0.1×5=0.5,则第3组的频率为1-0.2-0.5=0.3,估计总体平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13.由题意知,中位数在第2组内,设为10+x,则有0.1x+0.2=0.5,解得x=3,从而中位数是13.故答案为13,13.
答案13　13
7.(2020山东济南高一期末)数据18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为　　　　.?
解析该组数据一共有8个,8×75%=6,故该数据的75%分位数第6,7个数的平均数,即32+342=33.
答案33
8.若一组数据x1,x2,…,xn的方差为9,则数据3x1,3x2,…,3xn的方差为　　　　　,标准差为　　　　　.?
解析数据3x1,3x2,…,3xn的方差为32×9=81,标准差为81=9.
答案81　9
9.某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示.

团体成绩
众数
极差
平均数
方差
高一年级

22

39.6
高二年级


85.7
27.8

(1)请把上边的表格填写完整.
(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些?
解(1)高一年级的成绩为80,87,89,80,88,99,80,77,91,86;
高二年级的成绩为85,97,85,87,85,88,77,87,78,88.
由此可知高一年级成绩的众数是80,平均数x=85+110(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7;
高二年级成绩的众数是85,极差是20.
(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.
10.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少?
解设没统计错的数据为x1,x2,…,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,…,x48,t49=115,t50=65,则150(x1+x2+…+x48+95+85)=90,
所以150(x1+x2+…+x48)=90-185,所以x=150(x1+x2+…+x48+t49+t50)=150(x1+x2+…+x48)+150×(115+65)=90-185+185=90.
由s12=150[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2],
s22=150[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2],得s22?s12=150×(252+252-52-52)=150×1 200=24,
所以s22=s12+24=52+24=49,
所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.
能力提升练
1.期中考试后,班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均数为N,那么MN等于(　　)
A.4041 B.1 C.4140 D.2
解析平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的.设40位同学的成绩为xi(i=1,2,…,40),则M=x1+x2+…+x4040,N=x1+x2+…+x40+M41=M,故MN=1.
答案B
2.某人5次上班途中所花的时间(单位:分)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析依题意,得15(x+y+10+11+9)=10,即x+y=20.①
又15[(x-10)2+(y-10)2+0+(11-10)2+(9-10)2]=2,所以(x-10)2+(y-10)2=8.②
由①②解得x=12,y=8或x=8,y=12,所以|x-y|=4.
答案D
3.某鞋店试销一种新女鞋,销售情况如下表:
型号
34
35
36
37
38
39
40
41
数量/双
2
5
9
16
9
5
3
2

如果你是鞋店经理,最关心的是哪种型号的鞋销量最大,那么下列统计量对你来说最重要的是(　　)
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
答案B
4.(2020安徽六安一中高二期末)手机运动计步已经成为一种新时尚,某单位统计职工十天行走步数(单位:百步)得到如下频率分布直方图:

由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125(百步),则a=　　　　;b=　　　　.?
解析P1=0.002×20=0.04;P2=0.006×20=0.12;P3=0.008×20=0.16;P1+P2+P3=0.32,
中位数为125,则125-11020×P4=0.5-0.32,故P4=0.24,则a=P420=0.012.
P5=1-(0.002+0.006+0.008+0.012+0.008+0.002+0.002)×20=0.2,b=P520=0.010.
故答案为0.012;0.010.
答案0.012　0.010
5.高三(1)班4名体育生的测试成绩分别为82,81,79,78,高三(2)班6名体育生的测试成绩分别为70,76,77,74,78,75,则这10名体育生的平均分与方差分别为　　　　、　　　　.?
解析由题意知x1=82+81+79+784=80,
x2=16×(70+76+77+74+78+75)=75,
∴这10名体育生的平均成绩为x=410×80+610×75=77.
∵s12=14[(82-80)2+(81-80)2+(79-80)2+(78-80)2]=52,
s22=16[(70-75)2+(76-75)2+(77-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(75-75)2]=203,
∴这10名体育生的方差为s2=1452+(80-77)2+16×203+(75-77)2=38572.
答案77　38572
6.(2019安徽安庆一中高二月考)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数且满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本,发现所有数据均在区间[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图如图所示,但不小心污损了部分图形.观察图形,回答下列问题:

(1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图;
(2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表)
解(1)因为各组的频率之和等于1,所以分数在[60,70)内的频率为:f=1-10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,
所以第三组[60,70)的频数为120×0.15=18(人).完整的频率分布直方图如图.

(2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点,从图中可看出众数的估计值为75分.
由题得左边第一个矩形的面积为0.05,第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3,所以中位数在第四个矩形里面,设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5,
所以x=75.所以中位数为75.
又根据频率分布直方图,样本的平均数的估计值为:45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10×0.015)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.01)=73.5(分).
所以样本的众数为75分,中位数为75分,平均数为73.5分.
素养培优练
　某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图.

(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
解(1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意,w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,17]
(17,22]
(22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05

根据题意,该市居民该月的人均水费估计为4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).