3.2 一定是直角三角形吗 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2 一定是直角三角形吗 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-23 18:35:32 | ||
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文档简介
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第三章
勾股定理
2
一定是直角三角形吗
知识能力全练
知识点一
一直角三角形的判别条件
1.若a，b，c为三角形的
长，则下列各组数据中，不能构成直角三角形的是（
）
A.a＝8，b＝15，c＝17
B.a＝3，b＝5，c＝4
C.a＝4，b＝8，c＝9
D.a＝9，b＝40，c＝41
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
）
3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（
）
A.∠A＋∠B＝90°
B.b2＝a2-c2
C.∠A:∠B:∠C＝3:4:5
D.a:b:c＝5:12:13
4.三角形的三边长为a，b，c，且满足（a＋b）2＝c2＋2ab，则这个三角形是（
）
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
5.已知一个三角形的三边长为5，12，13，则此三角形最长边上的高＝___________.
6.某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识.如图所示，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知:∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m.
（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积.
知识点二
勾股数
7.下列各组数是勾股数的是（
）
A.12、15、18
B.0.6、0.8、1.2
C.4、5、6
D.7、24、25
8.若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（
）
A.a＋1，b＋1，c＋1
B.a2，b2，c2
C.2a，2b，2c
D.a-1，b-1，c-1
9.若正整数a，n满足a2＋n2＝（n＋1）2，这样的三个整数a，n，n＋1（如:3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”.当n＜150时，共有_______组“完美勾股数”.
巩固提高全练
10.如果用a、b、c表示△ABC的三边长，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（
）
①b2＝c2-a2；
②a:b:c＝3:4:5；
③∠C＝∠A-∠B；
④∠A:∠B:∠C＝12:13:15
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm，40cm和50cm，则这个教具__________（填“合格”或
“不合格”）.
12.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2＝AE2＋AC2.
（1）求证:∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长.
13.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（
）
A.3，4，5
B.2，3，4
C.4，6，7
D.5，11，12
14.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
15.阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用:当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
16.法国著名世界文化遗产著名地标建筑巴黎圣母院遭遇大火，引起全球关注，各界人士纷纷自发捐款支持重建，每天巴黎圣母院重建筹备组统计人员分法国政府捐款、法国民间捐款及国外捐款三部分进行统计.截至2019年5月7日，统计人员发现，这三部分捐款总数超过280万法郎，并且这三部分捐款数分别加上2万法郎，1万法郎，1万法郎后，这三个数恰好是一组勾股数（如果正整数x、y、z满足方程x2＋y2＝z2，那么就称x、y、z是一组勾股数）.其中，国外捐款多于法国民间捐款，法国政府捐款数最少若法国政府捐款加上2万法郎后为一个质数（如果一个大于1的正整数除了1和它本身以外没有其他的因数，那么就称这个数为质数），且仍然少于法国民间捐款和国外捐款，则截至2019年5月7日，国外捐款的最小值为___________万法郎.
17.如图所示，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600
m，BC＝800
m，AB＝1000
m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长.
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.
6.解析
（1）∠D是直角理由如下:
如图，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，∴AC2＝AB2＋BC2＝242＋72＝625，∴AC＝25
m.
又∵CD＝15m，AD＝20m，152＋202＝252，DC2＋AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∴∠D是直角.
（2）S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AD·DC＝234（m2）.
7.D
8.C
9.
8
10.C
11.合格
12.解析
（1）证明:
∵D是BC的中点，DE⊥CB
，∴EB＝EC，
∵BE2＝AE2＋AC2，EC2＝EA2＋AC2，∴∠A＝90°.
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10。
∵
∠A＝90°，AC＝6，∴AB2＝BC2-AC2＝102-62＝64，∴AB＝8.
∵EB＝EC，∴△AEC的周长＝AE＋EC＋AC＝AE＋EB＋AC＝AB＋AC
＝8＋6＝14.
13.A
14.B
15.解析
当n＝1时，a＝（m2-1）①，b＝m②，c＝（m2＋1）③，
∵直角三角形有一边长为5
，
∴（i）当a＝5时，（m2-1）＝5，∴m2＝11（舍去）；
（ii）当b＝5时，m＝5，将m＝5代人①③，得a＝12，c＝13；
（ⅲ）当c＝5时，（m2＋1）＝5，∴m2＝9
.
∴m＝3，将m＝3代入①②，得a＝4，b＝3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.
16.144
17.解析
过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路AD公路.
∵AC2＋BC2＝6002＋8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形.
由三角形的面积公式知，AB·CD＝AC·BC.
∴×1000·CD＝×600×800，
∴CD＝480
m，即新建的路的长为480
m.
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勾股定理
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一定是直角三角形吗
知识能力全练
知识点一
一直角三角形的判别条件
1.若a，b，c为三角形的
长，则下列各组数据中，不能构成直角三角形的是（
）
A.a＝8，b＝15，c＝17
B.a＝3，b＝5，c＝4
C.a＝4，b＝8，c＝9
D.a＝9，b＝40，c＝41
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
）
3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（
）
A.∠A＋∠B＝90°
B.b2＝a2-c2
C.∠A:∠B:∠C＝3:4:5
D.a:b:c＝5:12:13
4.三角形的三边长为a，b，c，且满足（a＋b）2＝c2＋2ab，则这个三角形是（
）
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
5.已知一个三角形的三边长为5，12，13，则此三角形最长边上的高＝___________.
6.某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识.如图所示，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知:∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m.
（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积.
知识点二
勾股数
7.下列各组数是勾股数的是（
）
A.12、15、18
B.0.6、0.8、1.2
C.4、5、6
D.7、24、25
8.若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（
）
A.a＋1，b＋1，c＋1
B.a2，b2，c2
C.2a，2b，2c
D.a-1，b-1，c-1
9.若正整数a，n满足a2＋n2＝（n＋1）2，这样的三个整数a，n，n＋1（如:3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”.当n＜150时，共有_______组“完美勾股数”.
巩固提高全练
10.如果用a、b、c表示△ABC的三边长，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（
）
①b2＝c2-a2；
②a:b:c＝3:4:5；
③∠C＝∠A-∠B；
④∠A:∠B:∠C＝12:13:15
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm，40cm和50cm，则这个教具__________（填“合格”或
“不合格”）.
12.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2＝AE2＋AC2.
（1）求证:∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长.
13.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（
）
A.3，4，5
B.2，3，4
C.4，6，7
D.5，11，12
14.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
15.阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用:当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
16.法国著名世界文化遗产著名地标建筑巴黎圣母院遭遇大火，引起全球关注，各界人士纷纷自发捐款支持重建，每天巴黎圣母院重建筹备组统计人员分法国政府捐款、法国民间捐款及国外捐款三部分进行统计.截至2019年5月7日，统计人员发现，这三部分捐款总数超过280万法郎，并且这三部分捐款数分别加上2万法郎，1万法郎，1万法郎后，这三个数恰好是一组勾股数（如果正整数x、y、z满足方程x2＋y2＝z2，那么就称x、y、z是一组勾股数）.其中，国外捐款多于法国民间捐款，法国政府捐款数最少若法国政府捐款加上2万法郎后为一个质数（如果一个大于1的正整数除了1和它本身以外没有其他的因数，那么就称这个数为质数），且仍然少于法国民间捐款和国外捐款，则截至2019年5月7日，国外捐款的最小值为___________万法郎.
17.如图所示，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600
m，BC＝800
m，AB＝1000
m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长.
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.
6.解析
（1）∠D是直角理由如下:
如图，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，∴AC2＝AB2＋BC2＝242＋72＝625，∴AC＝25
m.
又∵CD＝15m，AD＝20m，152＋202＝252，DC2＋AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∴∠D是直角.
（2）S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AD·DC＝234（m2）.
7.D
8.C
9.
8
10.C
11.合格
12.解析
（1）证明:
∵D是BC的中点，DE⊥CB
，∴EB＝EC，
∵BE2＝AE2＋AC2，EC2＝EA2＋AC2，∴∠A＝90°.
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10。
∵
∠A＝90°，AC＝6，∴AB2＝BC2-AC2＝102-62＝64，∴AB＝8.
∵EB＝EC，∴△AEC的周长＝AE＋EC＋AC＝AE＋EB＋AC＝AB＋AC
＝8＋6＝14.
13.A
14.B
15.解析
当n＝1时，a＝（m2-1）①，b＝m②，c＝（m2＋1）③，
∵直角三角形有一边长为5
，
∴（i）当a＝5时，（m2-1）＝5，∴m2＝11（舍去）；
（ii）当b＝5时，m＝5，将m＝5代人①③，得a＝12，c＝13；
（ⅲ）当c＝5时，（m2＋1）＝5，∴m2＝9
.
∴m＝3，将m＝3代入①②，得a＝4，b＝3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.
16.144
17.解析
过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路AD公路.
∵AC2＋BC2＝6002＋8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形.
由三角形的面积公式知，AB·CD＝AC·BC.
∴×1000·CD＝×600×800，
∴CD＝480
m，即新建的路的长为480
m.
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