(共26张PPT)
3.2
函数的基本性质
第三章
3.2.2
奇偶性
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念.
2.了解奇偶性的几何意义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
偶函数
画出函数
和函数
的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的
两个数时，函数值是相等的，即
?
?
对于
，有
?
?
对于
，有
?
?
常见的偶函数有
，
等等
偶函数
【思考】对于定义在R上的函数
，若
，那么这个函数
是偶函数吗？
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【答】不一定.因为
并不能保证所有的
，所
以不一定是偶函数.
?
?
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即
的图像关于y轴对称，那么就称
为偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
偶函数
【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
偶函数
偶函数
?
?
图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
定义中，
的常见变形有：
?
?
?
画出函数
和函数
的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
奇函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为
相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
?
对于
，有
对于
，有
?
?
?
?
?
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即
的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
奇函数
常见的偶函数有
，
,
等等
【思考】对于定义在R上的函数
，若
，那么这个
函数是奇函数吗？
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【答】不一定.因为
并不能保证所有的
，
所以不一定是奇函数.
?
?
?
?
奇函数
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是偶函数
奇函数
奇函数
?
?
图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中，
的常见变形有：
?
?
?
如果奇函数在
处有定义，则：
?
?
如何证明
这个结论？
函数奇偶性的判断
【例题】判断下列函数的奇偶性.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
?
?
?
?
?
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
?
所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
?
?
所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
?
?
所以此函数是偶函数.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
④
既是奇函数，又是偶函数.
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法：
【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下
去的必要.
【2】二看等式：满足第一点之后，判断
与
的关系：
函数
既是奇函数，又是偶函数
?
?
①
是偶函数；
?
②
是奇函数；
?
③
是非奇非偶函数；
?
?
?
奇(偶)函数的性质及应用
【探究】（1）如何判断函数
的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.
?
（2）已知函数
图像的一部分，如何画出剩余部分？
?
?
?
?
?
?
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数
在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
?
?
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调减函数.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设
，
的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑
和
的情况；
中需
，
.
偶
偶
偶
偶
奇
?
?
奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇
?
?
?
?
?
【1】已知
是偶函数，
是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称；
把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
√
2.函数f(x)＝x(－1A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
√
3.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于
A.x＋1
B.x－1
C.－x－1
D.－x＋1
√
4.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.aB.a>b
C.|a|<|b|
D.0≤ab≥0
√
5.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝___.
5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
6.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝___.
5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
7.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝___.
－2
8.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是___.
2
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)
＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
课堂小结
1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)
?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.
4.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.
5.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
6.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.
谢
谢！3.2
函数的基本性质
3.2.2
奇偶性
课标解读
课标要求
素养要求
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和奇函数、偶函数图象的特征，
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会利用函数的奇偶性求函数值或解
析式.
3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.
1.直观想象一
能借助具体函数理解奇（偶）函数的儿何特征.
2.逻辑推理一
能利用奇偶性求函数的解析式，
能通过奇偶性与单调性解决函数综合问题.
第1课时
奇偶性的概念
自主学习·必备知识
一般地，
设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且①
，那么函数
就叫做②
.
一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
-x∈1，且③
，那么函数
就叫做④
.
自主思考
函数
是偶函数吗？
名师点睛
1.理解函数的奇偶性的概念时应关注的三点
（1）函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个
，都有
（或
），才能说
是奇（偶）函数.
（2）函数
是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数.例如，函数
在区间
上是偶函数，但在区间
上无奇偶性可言.
（3）若
且
，则
既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即
，
是关于原点对称的实数集.若
且
，则
是非奇非偶函数.
2.奇偶性与单调性
（1）若函数
为奇函数，则
在关于原点对称的两个区间
和
上具有相同的单调性.
（2）若函数
为偶函数，则
在关于原点对称的两个区间
和
上具有相反的单调性.
互动探究·关键能力
探究点一
函数奇偶性的判断
例
判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
；
（3）
解题感悟
判断函数奇偶性的方法
（1）定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断
是否等于
，或判断
是否等于0，从而确定奇偶性.
（2）图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于
轴对称，则函数为偶函数.
迁移应用
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
探究点二
奇、偶函数的图象及其应用
精讲精练
例已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
.现已画出函数
在
轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补全函数
的图象；
（2）根据图象写出函数
的增区间；
（3）根据图象写出使
的
的取值集合.
解题感悟
1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
（1）确定函数的奇偶性；
（2）根据奇（偶）函数的图象关于原点（
轴）对称作出函数在
或
上的图象.
2.奇、偶函数图象的应用类型及处理策略
（1）应用类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.
（2）处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.
迁移应用
1.已知奇函数
的定义域为
，且在区间
上的图象如图所示，则使
的
的取值集合为
.
2.函数
在区间
上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补全函数
在定义域内的图象，并说明作图依据.
探究点三
利用函数的奇偶性求值
精讲精练
例
（1）已知函数
，若
，则
(
)
A.-7
B.7
C.-13
D.13
（2）已知定义域为
的奇函数
，则
的值为
.
解题感悟
利用奇偶性求参数的常见题型及解题策略
（1）定义域含参数：奇、偶函数
的定义域为
，，根据定义域关于原点对称，即
求参数.
（2）解析式含参数：根据
或
列式，比较系数即可求解.
迁移应用
1.已知
是奇函数，当
时，
，且
，则
的值为
.
2.若函数
为偶函数，则
的值是
.
3.已知函数
为奇函数，则
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(
)
A.B.
C.
D.
2.函数
是(
)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
3.已知
是奇函数，
是偶函数，且
，则
.
4.已知
，其中
为常数，若
，则
.
数学抽象——抽象函数奇偶性的判断
1.若函数
对于任意
都有
，则下列关于函数
奇偶性的说法一定正确的是(
)
A.
是偶函数但不是奇函数
B.
是奇函数但不是偶函数
C.
是非奇非偶函数
D.
可能是奇函数也可能是偶函数
素养探究：对于抽象函数奇偶性的判断或证明，通常根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，找准方向，恰当的赋值代换，合理变形，找到
与
的关系，从而判断或证明抽象函数的奇偶性，过程中体现了数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.已知
是定义在
上的不恒为零的函数，且对于任意的
，都满足
.
（1）求
的值；
（2）判断
的奇偶性，并证明你的结论.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2020海南儋州第一中学高一期中）下列函数为偶函数的有(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）已知函数
是定义在
上的奇函数，则下列函数中为奇函数的有(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）若函数
同时满足：①对于定义域上的任意
，恒有
；②对于定义域上任意
，当
时，恒有
，则称函数
为“
函数”.下列函数中为“
函数”的有(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020辽宁朝阳第一高级中学高一期中）德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于
的每一个值，
总有一个完全确定的值与之对应，那么
是
的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个
，有一个确定的
和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数
，即当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.下列关于狄利克雷函数
的性质表述正确的是(
)
A.
B.
的值域为
C.
为奇函数
D.
5.（2020四川乐山外国语学校高一期中）已知函数
，若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
6.设
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则
.
7.（2020湖北襄阳高一期中）已知函数
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
.
8.设
为定义在
上的奇函数．当
时，
（
为常数），则
.
9.已知
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，记
，试判断
在其定义域上的奇偶性，并用定义证明.
10.已知
，其中
为实数.
（1）当
时，证明：函数
在
上是增函数；
（2）根据
的不同取值，判断函数
的奇偶性，并说明理由.
素养提升练
11.已知
是定义在
上的偶函数，则函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
，若
，则
.
13.若关于
的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，则实数
的值为
.
14.设函数
的定义域为
，则
是
函数，
是
函数（填“奇”或“偶”）．
创新拓展练
15.设函数
对任意
都有
，且当
时，
.
（1）证明：
为奇函数；
（2）证明：
在
上是减函数；
（3）若
，求
在区间
上的最大值和最小值.
第2课时
奇偶性的应用
互动探究·关键能力
探究点一
利用函数的奇偶性求解析式
例
（1）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，求函数
的解析式；
（2）设
是偶函数，
是奇函数，且
，求函数
的解析式．
解题感悟
利用函数奇偶性求解析式的步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设
.
（2）利用已知区间的解析式代入.
（3）利用
的奇偶性写出
或
，从而解出
.
提醒：若函数
的定义域内含0且为奇函数，则必有
，但若为偶函数，则未必有
.
迁移应用
1.若函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，求
时，
的解析式.
2.已知
是定义在
上的奇函数，并且当
时，
，求
的解析式.
探究点二
利用函数的单调性和奇偶性比较大小
精讲精练
例
（1）若对于任意实数
总有
，且
在区间
上是增函数，则(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知偶函数
在区间
上的解析式为
，则下列大小关系正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法
（1）自变量在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
迁移应用
1.已知函数
在
上是偶函数，在
上是单调函数，且
，则下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.设偶函数
的定义域为
，当
时，
是增函数，则
的大小关系是
.
探究点三
利用函数的单调性和奇偶性解不等式
精讲精练
例
已知函数
是定义在
上的函数.
（1）用定义法证明函数
在
上是增函数；
（2）解不等式
.
解题感悟
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的方法
（1）利用图象解不等式；
（2）转化为简单不等式求解：
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为
或
的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“
”，转化为简单不等式（组）求解.
迁移应用
1.设
是定义在
上的奇函数.
（1）求
的值；
（2）若
在
上单调递增，且
，求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
1.函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则当
时，
的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知
是定义在
上的偶函数，且
在
上是增函数，则下列各式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知函数
是定义在
上的偶函数，在
上单调递减，则
与
的大小关系是
.
4.设偶函数
在
上是增函数，则使得
成立的
的取值范围是
.
5.设
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020辽宁朝阳第一高级中学高一期中）已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则当
时，
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）（2020山西太原高一期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则下列说法中正确的有(
)
A.当
时，
B.
C.当
时，
D.
3.（2020安徽滁州定远二中高一月考）已知偶函数
的定义域为
，当
时，
是增函数，则
，
，
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020安徽芜湖一中高一期中）已知函数
，则下列说法中正确的有(
)
A.
为偶函数
B.
在
上单调递增
C.不等式
的解集为
D.函数
的值域为
5.（2020浙江宁波高一期中）若定义在
上的奇函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
6.若函数
在
上是奇函数，则
的解析式为
.
7.已知函数
是奇函数，则实数
的值为
.若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
素养提升练
8.（多选）（2020江苏扬州大学附属中学高一期中）关于定义在
上的偶函数
，当
时，
，则下列说法正确的是(
)
A.当
时，
B.函数
在定义域
上为增函数
C.不等式
的解集为
D.不等式
恒成立
9.（2020江苏南通高一期中）已知定义在
上的函数
满足
，且在
上是增函数，不等式
对于
恒成立，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.（2020北京八一中学高一期中）已知
的定义域为
，其图象关于点(1,0)对称.当
时，
，则
的大小关系为
.
11.已知奇函数
在
上单调递增，
恒成立，则
的取值范围是
.
创新拓展练
12.已知函数
在区间
上的最小值为
.
（1）求函数
的解析式；
（2）定义在
上的函数
为偶函数，且当
时，
.若
，求实数
的取值范围.
方法感悟
解抽象函数不等式的一般步骤：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为
或
的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“
”，转化为简单的不等式求解．
加练课2
实系数二次方程实根分布问题中的参数问题
学习
目标
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的情况，了解函数的零点与方程根的联系.
2.根据一元二次方程的实根分布，确定参数的值或取值范围.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.方程
可能存在三个不相等的实数根.(
)
2.方程
的根就是函数
的零点.(
)
3.方程
有几个不相等的实数根，则函数
的图象就与
轴有几个交点.(
)
二、夯实基础，自我检测
4.关于
的方程
有两个异号的实根，则
的取值范围是
.
5.若方程
有两个负根，则实数
的取值范围是
.
6.若关于
的方程
有两个不等的正根，则实数
的取值范围是
.
互动探究·关键能力
探究点一
一元二次方程的根的基本分布—零分布
例：已知二次方程
有一正根和一负根，求实数
的取值范围.
解题感悟
一元二次方程根的零分布指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，即指这个二次方程的一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧.
设一元二次方程
的两个实根为
，
，且
.
【结论1】
（两个正根）
推论：
或
上述推论结合二次函数图象不难得到.
【结论2】
（两个负根）
推论：
或
由二次函数图象（图略）易知以上结论正确.
【结论3】
（一正根一负根）
.
迁移应用
1.已知关于
的方程
，探究
为何值时，
（1）方程有一正一负两根；
（2）方程的两根都大于1；
（3）方程的一根大于1，一根小于1.
探究点二
一元二次方程的根的非零分布—k分布
例已知关于
的二次方程
（1）若方程有两个根，其中一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内，求
的取值范围；
（2）若方程两根均在区间(0,1)内，求
的取值范围.
解题感悟
1.解决一元二次方程根的分布问题的一般思路：
（1）读题，确定一元二次方程根的范围；
（2）画图，注意开口方向与零点的位置；
（3）根据图象，写出解题的关键式：
①判别式（要特别注意有没有等号）；
②对称轴与区间端点的位置关系；
③区间端点的函数值的符号.
2.设一元二次方程
的两实根为
，且
，
为常数，则一元二次方程根的
分布（即
相对于
的位置）有以下结论：
【结论1】
（即一个根小于
，一个根大于
）
.
【结论2】
（即两根都大于
）
【结论3】
（即两根都大于
）
【结论4】有且仅有
（或
）（即在
内有且仅有一个根）
.
【结论5】
（即两根都在
内）
或
迁移应用
1.关于
的方程
，探究
为何值时，
（1）方程有两个都大于1的实数根；
（2）方程至少有一个正实数根.
评价检测·素养提升
1.若关于
的方程
的两根均为正实数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.关于
的一元二次方程
的一个根大于1，另一个根小于1，则实数
的取值范围是
.
3.若
是方程
的两个根，则实数
的大小关系是
.
4.若关于
的不等式
只有一个整数解2，则实数
的取值范围是
.
5.已知函数
.
（1）如果函数
的一个零点为0，求
的值；
（2）当函数
有两个不相等的零点时，求
的取值范围；
（3）当函数
有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.若方程
有两个相异的正实数解，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.关于
的不等式
的任意两个解的差不超过9，则实数
的最大值与最小值的和为(
)
A.2
B.1
C.0
D.-1
3.（多选）若关于x的一元二次方程
有实数根
，且
，则下列结论中正确的有(
)
A.当
时，
B.
C.当
时，
D.当
时，
4.关于
的方程
有两个负实数根
则整数
的值为(
)
A.2,5
B.2,4
C.1,2,3
D.0,1,2
5.已知一元二次方程
有两个实数根
，且
，则
的值为(
)
A.-3
B.-3或-4
C.-4或3
D.-4
6.已知关于
的方程
的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数
的取值范围是
.
7.已知函数
，若
是方程
的两根，则实数
的大小关系为
.
8.若
是一元二次方程
的两个实根，且满足
，则实数
的取值范围是
.
9.已知函数
的两个零点都在(-2，4）内，则实数
的取值范围为
.
10.已知方程
.
（1）若方程的两根
满足
，求实数
的取值范围；
（2）若两根都小于-1，求实数
的取值范围.
素养提升练
11.已知关于
的一元二次方程
有一个正根和一个负根，且正根不大于4，负根大于-1，则
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
12.如果关于
的方程
至少有一个正根，那么实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
13.若关于
的方程
的两根为
，且满足
，则实数
的取值范围是
.
14.要使方程
恰有一个不小于2的实根，那么
的取值范围是
.
15.求实数
的取值范围，使关于
的方程
：
（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
（2）有两个实根
，且满足
；
（3）至少有一个正根.
创新拓展练
16.已知二次函数
.
（1）若
的解集为
，求实数
的值；
（2）若
满足
，且关于
的方程
的两个实根分别在区间(-3,-2)和(0,1)内，求实数
的取值范围.
方法感悟一元二次方程根的分布问题可以用根与系数的关系和二次函数法来解决，根与系数的关系从代数角度出发，更为简洁易懂，但只能解决与零有关的根的分布问题，有一定的局限性；二次函数法从图象角度出发，情况更为多变，可以解决大部分的根的分布问题，适用范围更广泛，更为实用.解题时紧紧以函数图象为中心，将方程的根用图象直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响.
加练课3
恒成立与能成立问题
学习
目标
1.了解不等式中“恒成立与能成立”问题的三种常见类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型.掌握不等式恒成立与能成立问题的解题方法.
2.运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想和数学方法分析和解决问题.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.当
或
时，都能使不等式
成立.(
)
2.设
，若
在
上恒成立，则
和
同时成立.(
)
3.若
在区间
上单调递减，且
，则
恒成立.(
)
二、夯实基础，自我检测
4.若命题
：
为真命题，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
或
5.若关于
的不等式
无解，则实数
的取值范围是(
)
A.
或
B.
C.
或
D.
6.若关于
的不等式
在
内有解，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是
.
8.当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
.
互动探究·关键能力
探究点一
不等式能成立问题
例（2020浙江温州中学高一期中）已知函数
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.
解题感悟
解决不等式有解问题，可按以下规则进行转化：一般地，已知函数
，
（1）若
有解，
；
（2）若
有解，
.
迁移应用
1.已知函数
.
（1）当
时，求函数
的零点；
（2）解关于
的不等式
；
（3）当
时，函数
在
上有解，求实数
的取值范围.
探究点二
一次函数型与二次函数型
例1对任意的
，函数
的值恒大于零，求
的取值范围.
例2（2020江苏淮安阳光学校高一月考）设
，二次函数
.
（1）若该二次函数的两个零点都在区间
内，求
的取值范围；
（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
解题感悟
1.一次函数型：
在
上恒成立
在
上恒成立
2.二次函数型
（1）二次函数在
上的恒成立，问题：
对于二次函数
，
①若
在
上恒成立，则
②若
在
上恒成立，则
（2）二次函数在给定区间上的恒成立问题：
若
在某个区间上恒成立，则利用图象法或转化为求函数的最值问题或分离变量法求解.
迁移应用
1.（2020江苏南京高一期中）已知函数
，其中
为实数.
（1）当
时，判断命题
：
的真假，并说明理由；
（2）若
，求实数
的取值范围.
探究点三
变量分离型
例（2020山东烟台高一期中）已知函数
，不等式
的解集为
.
（1）求
和
的值；
（2）当
时，函数
的图象恒在
图象的上方，求实数
的取值范围.
解题感悟
函数恒成立问题的求解方法
在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上的具体函数，这样便于问题的解决.
一般将函数的恒成立问题转化为求函数的最大值或最小值问题：
①
恒成立
；
②
恒成立
.
迁移应用
1.已知二次函数
的值域为
，且不等式
的解集为(-1,3).
（1）求
的解析式；
（2）若对于任意的
恒成立，求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
1.不等式
对于一切实数
恒成立，则
的取值范围为(
)
A.(-8,0)
B.(0,8)
C.
D.
2.（2020湖北宜昌高一期中）如果
，使得
成立，那么实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
.
4.已知函数
，若对于任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是
.
5.若二次函数
满足
，且
.
（1）求
的解析式；
（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020山东烟台高一期中）若不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
2.当
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
3.关于
的不等式
对任意的
恒成立，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
4.若“
”为假命题，则实数
的最小值为
.
5.关于
的不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围是
.
6.关于
的不等式
在区间
上有实数解，则实数
的取值范围是
.
7.已知二次函数
满足
，且
.
（1）求函数
的解析式；
（2）是否存在实数
，使得二次函数
在
上的图象恒在直线
的上方？若存在，求
8.（2020北京八中高一期中）已知函数
.
（1）当
时，求
在区间
上的最大值和最小值；
（2）解关于
的不等式
.
（3）当
时，若存在
，使得
，求实数
的取值范围.
素养提升练
9.已知正数
满足
，若
对任意正数
恒成立，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.（2020安徽合肥一中高一月考）已知
，函数
，若
，使得
，则实数
的最大值为(
)
A.12
B.9
C.8
D.0
11.已知二次函数
，若在区间
内至少存在一个实数
，使得
，则实数
的取值范围是
.
12.函数
当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是
.
13.（2020河南郑州高一期中）已知函数
.
（1）当
时，解不等式
；
（2）若对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；
（3）若对任意
，任意
，都有不等式
成立，求实数
的取值范围.
创新拓展练
14.（2021山东烟台高一期末）已知函数
.
（1）若关于
的不等式
的解集是
，求
的值；
（2）若
与
的定义域都是
，使得
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若方程
在区间(1,2)上有两个不同的实根，求
的取值范围.
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