(共21张PPT)
3.3
幂函数
第三章
学习目标
1.通过具体实例，结合函数
的图象，理解幂函数图象的变化规律.
2.了解幂函数的概念.
核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象
幂函数的概念
【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c=
，这里c是S的函数；
(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v=
km/s，这里
v是t的函数；
【以下各个函数有什么共同的特征？】
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
?
一般地，函数
叫做幂函数，其中
是自变量，
是常数.
?
?
?
?
?
【1】在函数①
②
③
④
⑤
⑥
中，是幂函数的是（
）
.
【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数.
选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项
选项④同理.
?
?
?
?
?
?
①⑤⑥
即时巩固
幂函数的特征
【1】
的系数为1
?
【2】
的底数为自变量
?
【3】
的指数为常数
?
只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如
等的函数不是幂函数.
?
?
?
判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为
(
为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.
?
?
【1】已知幂函数
的图像经过点
，求这个函数的表达式.
?
?
【解】由题意设函数的表达式为
?
把点
代入，得：
?
?
即
，所以
?
?
所以这个函数的表达式为
?
和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
即时巩固
幂函数的图像
【说明】对于幂函数，我们只研究
时图像的性质.
?
在同一坐标系中画出函数
?
的图像：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【总结】①只有
时图像才是直线；
?
②图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过
(1,1)
这个定点；
④第一象限内
由上到下递减.
?
幂函数的图像
【说明】对于幂函数，我们只研究
时图像的性质.
?
在同一坐标系中画出函数
?
的图像：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【总结】⑤
时，图像在定义域内上升；
⑥
时，图像在第一象限下降；
⑦只有
时，图像才与坐标轴
相交，且交点一定为原点；
⑧
时，图像是y=1这条直线.
?
?
?
?
幂函数的性质
?
?
?
?
?
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
增函数
增函数
增函数
?
?
?
?
?
?
?
?
【1】求幂函数
的定义域并讨论其奇偶性和单调性.
【解】因为
，
，又
为
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
?
?
?
?
?
由
为正奇数，得
?
?
，所以
为增函数.
?
因为
，所以
是正的奇次方根，所以
在定义域内为增函数.
?
?
?
即时巩固
幂函数的性质
和
两种情况下幂函数的图像变化及性质表：
?
?
在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关
图像过点(0，0)和点(1，1)
图像过点(1，1)
在(0，+∞)上是增函数
在(0，+∞)上是减函数
在第一象限，当0＜a＜1时，
图像上凸；当a＞1时，图像下凹
在第一象限，图像都下凹
与a的取值有关
【2】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.
【解】设
，则
在R上为增函数.
比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.
?
?
∵
-1.5＜-1.4，∴
(-1.5)3＜(-1.4)3
(-1.5)3
和
(-1.4)3
即时巩固
幂函数
奇偶性的判断方法
?
?
?
?
?
奇函数
偶函数
?
?
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
?
?
?
?
?
证明幂函数的增减性
【例题】证明幂函数
是增函数.
?
【证明】函数的定义域是[0，+∞).
?
?
?
?
因为
，
，所以
?
?
?
即幂函数
是增函数.
?
随堂小测
√
2.以下结论正确的是
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增
大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
√
A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
√
4.若a<0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是
A.5－a<5a<0.5a
B.5a<0.5a<5－a
C.0.5a<5－a<5a
D.5a<5－a<0.5a
√
所以5a<0.5a<5－a.
5.先分析函数
的性质，再画出其图象.
课堂小结
1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.
3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，
，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
谢
谢！第三章
函数的概念与性质
3.3
幂函数
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解幂函数的概念，会求幂丽数的解析式.
2.结合幂函数
，
，
，
，
的图象，掌握它们的性质.
1.直观想象一一能够作出
5个幂函数的图象.
2.数学抽象一一会
概括幂丽数的性质.
自主学习·必备知识
要点一
幂函数的概念
一般地，函数①
叫做幂函数，其中x是自变量，
是
.
要点二
五个幂函数的图象与性质
在同一坐标系中画出函数
，
，
，
，
和
的图象.
我们得到：
（1）函数
，
，
，
和
的图象都通过点（1，1）；
（2）函数
，
，
，
是②
，函数
是③
；
（3）在区间
上，函数
，
，
，
④
，函数
⑤
；
（4）在第一象限内，函数
的图象向上与⑥
无限接近，向右⑦
无限接近.
自主思考
1.函数
，
是幂函数吗？
.
2.已知
，则函数
，
是幂函数吗？
3.当
时，判断
，
，
的大小关系.
1.幂函数的特征
（1）
的系数是1；
（2）
的底数
是自变量；
（3）
的指数
为常数．
只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如
，
，
的函数都不是幂函数．2.幂函数的性质
（1）所有的幂函数在
上都有定义，并且图象都过点（1，1）.
（2）如果
，那么幂函数的图象过原点，并且在区间
上单调递增；如果
，那么幂函数的图象在区间
上单调递减.
（3）在
上，随着指数的逐渐增大，函数图象越来越靠近
轴．
互动探究·关键能力
探究点一
幂函数的概念
例
已知函数
，
为何值时，
是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？
解题感悟
将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区分它们之间的不同点：①正比例函数
；②反比例函数
；③二次函数
；④幂函数
.
迁移应用
1.有以下函数：①
；②
；③
；④
；⑤
.其中幂函数的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若
是幂函数，则
.
探究点二
幂函数的图象及应用
例
若四个幂函数
，
，
，
在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则
，
，
，
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
1.在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定.当
时，函数单调递增；当
时，函数单调递减.
2.曲线在第一象限的凹凸性：
时，曲线下凸
时，曲线上凸；
时，曲线下凸.
迁移应用
1.已知点
与点
分别在幂函数
，
的图象上，当
分别为何值时，有
；
；
？
探究点三
幂函数性质的应用
例
比较下列各题中两个值的大小：
（1）
与
；
（2）
与
；
（3）
，
，
.
解题感悟
利用幂函数的性质比较大小的方法
1.直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较两个数的大小；
2.转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性比较两个数的大小.
迁移应用
1.比较下列各组中两个值的大小：
（1）
与
；
（2）
与
；
（3）
，
，
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知幂函数
的图象经过点（4，2），则
(
)
A.2
B.
C.
D.
2.设
，
，则
与
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知
是幂函数，则
，
.
4.比较下列各组数的大小．
（1）
和
；
（2）
和
；
（3）
，
.
数学抽象——幂函数的综合应用
1.已知幂函数
，其中
，若：
①
是区间
上的增函数；
②对任意的
，都有
.
求同时满足①②的幂函数
的解析式，并求当
时，
的值域.
素养探究：解决幂函数的综合问题时应注意：（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象过定点、单调性、奇偶性等；（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.通过解题培养学生数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.已知幂函数
是偶函数，且在
上为增函数，试求实数
的值.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021天津东丽高一期末）下列幂函数在区间
内单调递减的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.直线
，
，
及幂函数
的图象将平面直角坐标系的第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数
的图象在第一象限中经过(
)
A.③⑦
B.③⑧
C.②⑥
D.①⑤
3.（多选）若函数
是幂函数，则
一定(
)
A.是偶函数
B.是奇函数
C.在
上单调递减
D.在
上单调递增
4.（多选）（2021浙江宁波高一期末）下列关于幂函数的图象和性质的描述中正确的有(
)
A.幂函数的图象都过点（1，1）
B.幂函数的图象都不经过第四象限
C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种
5.（多选）（2020浙江绍兴诸暨中学高一期中）下列说法中错误的有(
)
A.
的图象是一条直线
B.幂函数的图象不过第二象限
C.若函数
的定义域是
，则它的值域是
D.若幂函数的图象过点（4，2），则它的递增区间是
）
6.若
，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2020山西怀仁第一中学高一月考）已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递增.
（1）求
和
的值；
（2）求满足不等式
的
的取值范围.
素养提升练
8.（多选）（2020湖北黄冈黄州第一中学高一期中）已知幂函数
的图象与
轴和
轴都没有交点，且关于
轴对称，则
的值可以为(
)
A.-1
B.1
C.2
D.3
9.（多选）已知幂函数
的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有(
)
A.函数是偶函数
B.函数是增函数
C.当
时，
D.当
时，
10.幂函数
的图象过点
，且
，则实数
的值为
.
11.幂函数
的图象过点
，则
的减区间为
.
创新拓展练
12.已知幂函数
.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若该函数的图象经过点
，试确定
的值，并求出满足条件
的实数
的取值范围.
方法感悟
判断一个函数是不是幂函数需满足这三个条件：
的系数是1；
的底数
是自变量；
的指数
为常数.解函数不等式，需根据函数的单调性去掉函数符号，转化为普通不等式求解，同时注意函数定义域的限制.
2
/
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