(共22张PPT)
3.4
函数的应用（一）
第三章
学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中会选择一次函数、二次函数、幂函数解决实际问题.
3.体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.
核心素养：数学抽象、数学建模、
数学运算
新知学习
分段函数之里程表读数
【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系
如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明
所求面积的实际含义；
·
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?
?
90
80
70
60
50
40
30
20
10
?
50
80
90
75
65
【解】阴影部分的面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
这个面积表示的含义是汽车在这5小时内
行驶的路程为360km.
分段函数之里程表读数
【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系
如图所示.
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?
90
80
70
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50
40
30
20
10
?
50
80
90
75
65
【解】由题意，根据图表有：
?
S=
(2)假设开车前里程表读数为2020km，试
求出里程表读数S与时间t的表达式.
滑行距离与汽车是否超速
【例】若用模型
描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(m)与刹车时的速度v
(km/h)之间的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后
滑行的距离为20m，在限速为100km/h的高速公路上，这辆车紧急刹车后
滑行的距离为50m，判断这辆车是否超速？
【解】由题意，把(60，20)代入表达式中，得
，解得
?
?
?
即表达式为
?
当
时，解得
?
?
因为
，所以这辆车没有超速.
?
矩形面积最大问题
【例】飞卢广告公司要为客户设计一幅周长为60m的矩形广告牌，如何设计
这个广告牌可以使它的面积最大？
【解】设广告牌的长为t米，则宽为(30-t)米，
面积S为
?
配方，
?
所以当长为15米，宽为30-t=15米的时候，
它的面积最大，最大面积为225平方米.
利润问题
【例】某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的
生产成本为2500元，售价为3500元.若该公司生产的产品全部都能卖出去.
（1）设总成本为W万元，平均分摊到每件产品上的单位成本为y万元，销售总
收入为S万元，总利润为P万元，分别求出它们与产量t的函数关系式.
【解】由题意得
?
?
?
?
【1】[2017山东卷]设
若
，求
【高考中的函数问题】
?
?
?
【解】若
，由
得
?
?
?
所以
，
?
?
若
，由
，得
，无解
?
?
?
综上，
?
即时巩固
【2】[2019江苏卷]函数
的定义域是
_____________.
【高考中的函数问题】
【解】要使得函数有意义，需要根号内非负，即
?
?
，即：
?
解得
，所以函数的定义域为[-1，7]
?
即时巩固
【3】[2013全国大纲卷]已知函数
的定义域为(-1，0)，则函数
的定义域为
_____________.
【高考中的函数问题】
【解】由题意有自变量的取值范围是
?
?
?
当自变量变成
时，范围仍然是
?
?
所以有
，解得
?
?
所以有函数的定义域为
?
即时巩固
【4】[江西卷]若函数
的定义域是[0，2]，求函数
的定义域.
【高考中的函数问题】
【解】由题意
的定义域是[0，2]，
则对于
来说有：
?
?
?
?
?
解得：
?
所以
的定义域为[0，1)
?
即时巩固
【5】[2019全国Ⅱ卷]设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，求
的表达式.
【高考中的函数问题】
【解】因为
是奇函数，且定义域为R，
?
?
?
?
?
?
所以当
时，有
，即此时有
?
?
?
所以此时的
?
即时巩固
【6】已知
，且
，求
的值.
【高考中的函数问题】
【解】因为
?
?
?
?
所以
?
即
?
所以
?
即时巩固
【7】[2020山西]已知定义在R上的偶函数
在(0，+∞)上单调递减，且
则满足不等式
的
的取值范围是多少？
【高考中的函数问题】
【解】由题意可知
在(-∞，0)上单调递增，且
?
?
?
?
?
?
所以当
时，
?
?
当
时，
?
?
所以
?
或
?
所以
的取值范围为
?
?
即时巩固
随堂小测
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是
A.分段函数
B.二次函数C.指数函数
D.对数函数
√
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是
√
3.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是
A.y＝2x－1
B.y＝x2－1
C.y＝2x－1
D.y＝1.5x2－2.5x＋2
√
4.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是
A.y＝ax＋b
B.y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b
D.y＝aln
x＋b
√
5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
－48x＋8
000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1
660万元.
课堂小结
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
谢
谢！第三章
函数的概念与性质
3.4
函数的应用（一）
课标解读
课标要求
素养要求
了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
数学建模——会建立函数模型解决实际问题.
自主检测·必备知识
1.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
（
，
为常数，
）
二次函数模型
（
，
，
为常数，
）
分段函数模型
2.解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
①审题；②建模；③求模；④还原.
用框图表示为
3.一次函数模型
的增长特点是直线上升，增长速度不变.二次函数模型
的最值容易求出，常常用于解决最优、最省等最值问题.
互动探究·关键能力
探究点一
一次函数模型
精讲精练
例
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两个污水处理方案，并准备实施.
解题感悟
（1）应用一次函数模型时，本着“问什么，设什么，列什么”的原则求解.
（2）一次函数求最值问题，常转化为求解不等式
（或
）的问题.解答时，注意系数
的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
迁移应用
1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.
（1）若设停放的自行车的辆次为
，总的保管费收入为
元，试写出
关于
的函数关系式；
（2）若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于
，但不大于
，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.
探究点二
二次函数模型
例
一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是
与
，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少，并求出此时残料的面积.
解题感悟
利用二次函数求最值的方法及注意点
（1）方法：根据实际问题建立函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
（2）注意判断取得的最值对应的自变量与实际意义是否相符.
迁移应用
1.为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入
、种黄瓜的年收入
与各自的资金投入
，
（单位：万元）满足
，
.设甲大棚的资金投入为
（单位：万元），每年两个大棚的总收入为
（单位：万元）.
（1）求
的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入
最大.
探究点三
分段函数模型
例：
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/时）是关于车流密度
（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当
时，车流速度
是关于车流密度
的一次函数.
（1）当
时，求函数
的解析式；
（2）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）
可以达到最大？并求出最大值.（精确到1辆/时）
解题感悟
应用分段函数解决实际问题时的注意点
（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
（2）分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集.
（3）分段函数的值域的求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
1.
（2021山东泰安高一期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元每生产
百件，需另投入成本
（单位：万元），当年产量不足30百件时，
；当年产量不小于30百件时，
；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．
（1）求年利润
（万元）关于年产量
（百件）的函数关系式；
（2）年产量为几百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
评价检测·素养提升
1.在一定范围内，某种产品的购买量
（单位：吨）与单价
（单位：元）之间满足一次函数关系.若购买1000吨，则每吨800元，若购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(
)
A.820元
B.840元
C.860元
D.880元
2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走（路程
加速度的平方×时间），那么(
)
A.人可在7秒内追上汽车
B.人可在10秒内追上汽车
C.人追不上汽车，其间距最少为5米
D.人追不上汽车，其间距最少为7米
3.某汽车在同一时间内的速度
与耗油量
之间有近似的函数关系：
，则车速为
时，汽车的耗油量最少.
4.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价
（元）与产品的日销售量
（件）之间的关系如表所示：
元
130
150
160
件
70
50
35
如果日销售量
是关于销售价
的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
课时评价作业
基础达标练
1.已知等腰三角形的周长为
，底边长
是腰长
的函数，则函数的定义域为(
)
A.(10,20)
B.(0,10)
C.(5,10)
D.
2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为今有人持金出五关，第1关收税金为持金的
，第2关收税金为剩余金的
，第3关收税金为剩余金的
，第4关收税金为剩余金的
，第5关收税金为剩余金的
，若5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金(
)
A.2斤
B.
斤
C.
斤
D.
斤
3.（2020四川泸县第二中学高一月考）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售的过程中发现，这种商品每天的销量
（件）与每件的售价
（元）满足一次函数
.若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为(
)
A.30元
B.42元
C.54元
D.越高越好
4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米
元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米
元收费.若某职工某月缴纳水费
元，则该职工这个月实际用水为(
)
A.13立方米
B.14立方米
C.18立方米
D.26立方米
5.（2021浙江杭州高一期末）某种产品每件定价80元，每天可售出30件，每件定价120元，每天可售出20件，若售出件数
是定价
（元）的一次函数，则这个函数解析式为
.
6.（2021福建福州高一期末）某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产
千件，需投入成本
万元，
.若该产品每千件定价
万元，为保证生产该产品不亏损，则
的最小值为
.
7.（2020福建莆田擢英中学高一期中）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元的部分
超过500元的部分
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为
元.
8.如图所示，在矩形
中，已知
，
，在
，
，
，
上分别截取
，
，
，
，且
，则
时，四边形
的面积最大，最大面积为
.
素养提升练
9.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米.若池四周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙（长度与污水处理池的宽相等）建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计.设污水处理池的长为
米，总造价为
（元），则
的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
10.某种电热水器的水箱容量是200升，加热到一定温度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，
分钟注水
升，当水箱内的水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗澡用水65升，则该热水器盛满水后一次至多可供洗澡的人数是(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
11.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店,经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租、水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入
（元）与店面经营天数
的关系是
则总利润最大时店面经营的天数是
.
12.某公园要建造一个直径为
的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心
处达到最高，最高的高度为
.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为
.
13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励经销商订购，决定当一次的订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，经销商一次的订购量不会超过600件.
（1）设一次订购
件，服装的实际出厂单价为
元，写出函数
的表达式；
（2）当经销商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？
创新拓展练
14.（2020北京交通大学附属中学高一期中）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价
（单位：元
）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本
（单位：元
）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式
，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式
；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的纯收益最大？
章末总结.体系构建
题型整合
题型1
求函数的定义域
例1
（1）函数
的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
方法归纳
求函数定义域的类型与方法
（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还要考虑使实际问题有意义.
（3）复合函数问题：
①若
的定义域为
，
的定义域应由
得到；
②若
的定义域为
，则
的定义域为
在
上的值域.
提醒：
中的
与
中的
地位相同.
1.函数
的定义域是(
)
A.
B.
）
C.[
D.
2.已知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
题型2
函数的性质及应用
例2
（2021天津西青高一期末）已知函数
.
（1）函数
是奇函数，当
时，
，求
在
上的解析式；
（2）若
，当
时，
的最大值为2，求
的值.
解题感悟
1.利用函数的奇偶性求函数解析式的解题步骤：
（1）设出所求区间的自变量
；
（2）运用已知条件将其转化为已知区间满足的
的取值范围；
（3）利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
2.求闭区间上二次函数的最值，当“轴动区间定”时，需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论
迁移应用
3.（2021浙江温州高一期末）已知函数
.
（1）判断函数
在
上的单调性，并用定义进行证明；
（2）求函数
在区间
上的值域.
题型3
函数的图象及应用
例3
在平面直角坐标系中，若直线
与函数
的图象只有一个交点，则
的值为
.
解题感悟
作函数图象的方法
（1）描点法—求定义域；化简；列表、描点、连线.
（2）变换法—熟知函数的图象的平移、对称：
①平移：
的图象
的图象；
的图象
的图象（其中
，
）；
②对称：
的图象关于
轴对称，则
；
的图象关于
轴对称，则
；
的图象关于原点对称，则
.
提醒：要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图.
迁移应用
4.已知
是
上的奇函数，且当
时，
.
（1）求
；
（2）求
的解析式；
（3）画出函数
的图象，并指出
的单调区间.
题型4
函数模型的建立
例4
2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产
百辆，需另投入成本
万元，且
由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润
（万元）关于年产量
（百辆）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
（2）2020年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
.
解题感悟
1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
（1）对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用
，
分别表示.
（2）建立函数模型，将变量
表示为
的函数，此时要注意函数的定义域.
（3）求解函数模型，并还原为实际问题的解.
2.建模的三个原则
（1）简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
（2）可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
（3）反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
迁移应用
5.某上市股票在30天内每股的交易价格
（元）与时间
（天）组成有序数对
，点
落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内的日交易量
（万股）与时间
（天）的部分数据如表所示.
天
4
10
16
22
万股
36
30
24
18
（1）根据图象，写出该种股票每股交易价格
（元）与时间
（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量
（万股）与时间
（天）的一次函数关系式；
（3）用
表示该股票日交易额（万元），写出
关于
的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少.
高考链接
1.（2020新高考Ⅰ，8，5分）若定义在
的奇函数
在
单调递减，且
，则满足
的
的取值范围是(
)
A.
）
B.
C.
）
D.
2.（2020天津，3，5分）函数
的图象大致为(
)
A.B.C.D.
3.（2017山东，9，5分）设
若
，则
(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
4.（2017浙江，5，4分）若函数
在区间
上的最大值是
，最小值是
，则
(
)
A.与
有关，且与
有关B.与
有关，但与
无关
C.与
无关，且与
无关D.与
无关，但与
有关
5.（2019江苏，4，5分）函数
的定义域是
.
6.（2018天津，14，5分）已知
，函数
.若对任意
，
恒成立，则
的取值范围是
.
2
/
211
