华师版八年级上册数学 13.1.1 命题【学案】

13.1．1
命题
1.
能说出命题、真命题、假命题、公理和定理的含义．
2.
会区分命题的条件(题设)和结论，奠定推理论证的基础．
3.
能用举反例的方法证明或判断简单的假命题；进一步学习证明，熟悉证明的步骤与书写格式．
教材知识详析
要点1　命题　
可以判断正确或错误的句子叫做命题，或者说，具有判断性的语句叫做命题．理解命题的定义要注意两点：①命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句；②命题具有明确的判断性，这个判断既可以是肯定的，也可以是否定的．命题的判断性是它最明显的特征，而且这个特征要明确、直截了当、毫不含糊．如“我很喜欢老师”（叙述句）、“这个道理你明白吗？（疑问句）”这两句话都没有判断性，所以都不是命题．要想使之成为命题，都需改为“是”或“不是”的形式：“我是很喜欢老师的学生”、“这个道理是很明白的”，这才是命题.
例1　下列语句中不是命题的是(　　)．
（1）两点之间，线段最短；（2）不许大声说话；（3）连结A、B两点；（4）花儿在春天开放；（5）不相交的两条直线叫做平行线；（6）无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
精析：抓住命题的两层含义：①必须是陈述句；②能作出肯定或否定的判断．故(1)(4)(5)是命题；(2)(3)(6)不是，答案为：C.
解答：C.
归纳整理：凡是疑问句或命令性语句都不是命题．
要点2　命题的结构
一个命题由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项．
一般地，命题都可以写成“如果(若)……，那么(则)……”的标准形式，其中“如果”后面引出的事项是题设，“那么”后面引出的事项是结论．
有些命题并没有写成“如果(若)……，那么(则)……”的形式，我们可以在保持命题意思不变的情况下，改写成“如果(若)……，那么(则)……”的标准形式，再找出它的题设和结论．
例2　请写出下列命题的题设和结论．
(1)如果两条直线相交，那么一定有一个交点；
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
(3)等腰三角形的两底角相等．
精析：按照命题的标准形式”如果……，那么……”分析题设、结论．
解答：(1)题设：两条直线相交，结论：它们一定有一个交点．
(2)这个命题可以直接加上”如果……，那么……”，成为标准形式”如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．”
题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：内错角相等．
(3)这个命题需要断开成两句话，然后扩充成标准形式为”如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”．
题设：一个三角形是等腰三角形，结论：这个三角形的两个底角相等．
关键提醒：在把(3)改写成标准形式时，不能机械地从命题中间断开，然后加入”如果……，那么……”，应在理解命题意思的基础上改写，改写注意到：①保持命题意思不变；②题设、结论的语句完整．
要点3　命题的真、假
如果一个命题叙述的事情是正确的，则称它为真命题，如果一个命题叙述的事情是假的，则称它为假命题．
顿有所悟：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题，只能是二者中的一个．
（2）真命题的条件和结论有着必然的逻辑关系，结论是条件的必然推理结果；而假命题的条件和结论没有必然的逻辑联系，即由条件无法推出结论．
（3）要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
例3　判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一个反例加以说明．
(1)直角都相等；
(2)相等的角都是直角；
(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b.
精析：结合已知的数学知识进行判断．
解答：(1)是真命题，(2)为假命题，若∠A＝∠B＝100°，但∠A、∠B不是直角；(3)也为假命题，若a＝5，b＝－5，此时|a|＝|b|＝5，但a≠b.
关键提醒：构造反例的要点：符合命题的题设，但不符合命题的结论．
要点4　公理、定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．本册教材把下列真命题作为公理：①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③过直线外一点有且只有一条直线与之平行；④同位角相等，两直线平行；⑤全等三角形的对应边、对应角分别相等.
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
命题、公理、定理之间的关系如下图：
命题
定理都是真命题，但真命题不一定都是定理，只有那些经过推理是正确的，且有很大实用价值的命题才叫定理.
在数学中与定理有关的名词还有定义、推论和公式等，推论是由定理派生的，公式是定理的符号化，它们都是真命题.
例4　下列真命题能作为公理的是（
）
A.等腰三角形的两个底角相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.全等三角形的对应边、对应角分别相等
精析：公理是人们在长期的实践中总结出来的，它不需要证明．C是在作图过程中通过度量得到的，
A、B、C都是利用其他的公理或定理证明出来的，因此C是公理．
解答：D.
归纳整理：理解公理需要明确两点：(1)公理是不需要推理证明的真命题；(2)公理可以作为判定其他命题真假的依据．理解定理也要明确两点：(1)定理都是真命题，但真命题不一定是定理；(2)定理可以作为推证其他命题真假的依据．
要点5　证明几何命题的一般步骤
1.
审题：理解命题的意思，分清题设、结论．
2.
画图：根据题意画出图形，并在图形上标明相应的字母．注意：图形力求准确，且具有一般性，切忌将图形特殊化．
3.
写出已知、求证：把命题中用文字叙述的题设、结论，结合图形“翻译”成用数学符号表述的“已知”、“求证”．
4.
探究证明思路：从已知条件出发，结合学过的定义、公理、定理、性质、判定、公式、法则等，探索由已知推出结论的思路．
5.
写出证明过程：把探索的推理思路规范地书写出来，要求每一步有理有据，逻辑严密，最后得出结论．注意，不能把结论当作已知条件使用．
例5　证明等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高．
精析：按照证明几何命题的一般步骤进行．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F，CG⊥AB，垂足为点G.
求证：DE＋DF＝CG.
证明：连结AD.
∵　S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，又　S△ABC＝·AB·GC，S△ABD＝·AB·DE，S△ACD＝·AC·DF，
∴　·AB·GC＝·AB·DE＋·AC·DF.
∵　AB＝AC，∴　DE＋DF＝GC.
拓展反思：本题运用面积法证明结论，“面积法”是几何解题中的一种重要方法．
拉分典例探究
综合应用题
例1（要点
推断类题型）如图1，把边长为4的正三角形各边四等分，连接各分点得到16个小正三角形．
（1）如图2，连接小正三角形的顶点得到的正六边形ABCDEF的周长=
.6
（2）请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题如果是真命题，请你把它改写成“如果…，那么…”的形式；如果是假命题，请在图1中画图说明．
精析：（1）正六边形的各边长都等于1，所以周长=6×1=6．（2）题中只判断了角，没有确定边，所以是假命题；
解答：（1）∵正六边形的各边长都等于1，∴周长=6×1=6．[]
（2）命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是假命题，题设为：一个六边形的六个内角相等，结论为：这个六边形是正六边形．反例如下图等．
探索?发现：正六边形的各边长相等，各内角相等．证明一个图形是正六边形，应从边和角两方面结合进行判断．
例2（要点
叙述类题型）追求真理是人类永恒的目标．?数学不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理．?为了证明数学真理，就需要证明，证明就是用人人皆同意的一些“公理”与规定名词的意义，把我们以前仅凭直观或实验探索发现过的结论成为公理的逻辑推论，这样就有很强的说服力．?请你在以下2个命题中任选一个加以逻辑证明，并在你选证的命题前面括号内打“√”．
①（
）如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．
②（
）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简称：内错角相等，两直线平行）.
精析：若选择①，首先画出图形，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据∠B=∠C证明△ABC为等腰三角形，从而得出结论．
解答：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.
证明：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形，∴AB=AC．
归纳?演绎：本题考查命题的证明，命题证明要画图，写出已知、求证，然后进行证明．
探究创新题
例3（要点
信息给予类题型）对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题________．
解析：这是一道探索性问题，题意是从五个论断中选取两个作为题设，剩下三个中取一个作为结论，组成真命题．基本思考方法是：先写出可能的命题，再判断真假．
解答：真命题有：
(1)a，b，c在同一平面内，如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
(2)a，b，c在同一平面内，如果a∥b，a∥c，那么b∥c；
(3)a，b，c在同一平面内，如果b∥c，a∥c，那么a∥b；
(4)a，b，c在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
(5)a，b，c在同一平面内，如果a⊥c，b∥c，那么a⊥b；
(6)a，b，c在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c.
归纳·演绎：本题考查了命题的叙述形式，利用了平行线、垂线的判定方法．
例4（要点
图表信息类题型）　郭老师在一次”探究性学习”中，设计如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22－1
32－1[]
42－1
52－1[]
…
b
4
6
8
10
…
c
22＋1
32＋1
42＋1
52＋1
…
(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含有自然数n(n＞1)的代数式表示：a、b、c.
(2)猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．
精析：(1)仔细观察表中数据不难得到a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；(2)由n＝2,3,4,5时，三角形都是直角三角形，于是猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理来判断．
解答：(1)a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；
(2)是直角三角形，证明如下：因为a2＋b2＝(n2－1)
2＋(2n)
2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)
2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2，即以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
技法·规律：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
例5.
（要点
推断类题型）甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？”
甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”
如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（　　）
A、甲
B、乙
C、丙
D、丁
精析：若甲说的是实话，则丙说的也是实话，所以甲说的是假话，则一定不是乙闯的祸；
若乙说的是真话，则丁说的也是真话，所以乙说的一定是假话，则不是丙闯的祸，所以丙说的话是真话，丁说的是假话．则一定是丁闯的祸．[来源:Z
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解答：本题可分三种情况进行讨论：①若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；[]
②若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；
③若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．故选D．
技法·规律：此类题可以用假设的方法，根据只有一人说的是实话进行逐步推理．