华东师大版九年级数学上册 22.2.3一元二次方程的解法——公式法同步练习（word解析版）

22.2.3一元二次方程的解法——公式法
一、单选题
1．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（　　）
A．3和4之间
B．2和3之间
C．1和2之间
D．0和1之间
2．若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（
）
A．m
B．﹣m
C．2m
D．﹣2m
3．解下列方程，最适合用公式法求解的是(
)
A．
B．
C．
D．
4．用公式法解方程时，，，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为（
）
A．5
B．－5
C．3
D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程的一个根（
）
A．线段AE的长
B．线段BF的长
C．线段BD的长
D．线段DF的长
7．用公式法解方程，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
8．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（
）
A．
B．
C．
D．
9．一元二次方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．无实数解
10．方程x2﹣x﹣3＝0的较小的根为x1，下面对x1的估值正确的是（　　）
A．﹣1＜x1＜0
B．2＜x1＜3
C．﹣3＜x1＜﹣2
D．﹣2＜x1＜﹣1
11．二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，是两条互相垂直的街道，且到,的距离都是7,现甲从地走向地，乙从地走向地，若两人同时出发且速度都是，则两人之间的距离为时，是甲出发后（
）
A．
B．
C．或
D．或
二、填空题
13．如果是方程的一个根，则该方程的另一个根为__________．
14．如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是_______________．
15．△ABC是等腰三角形，腰上的高为4cm，面积为10cm2，则该三角形的周长是_______
cm．
16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且为正三角形，则BE的长为_____．
17．点是直线上一点，过点作垂直于轴于点，作垂直于轴于点，、与坐标轴围成的矩形面积等于4，则点的坐标是______．
三、解答题
18．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
19．已知，是方程的两根且，求代数式的值．
20．设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的两根都是正整数，求m的值．
21．（1）解方程：；
（2）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边与相交于点．
求证：．
22．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，FH⊥AC于点E，交AD，AB于点F，H．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若AH＝CH，AB＝4，求AH的长．
参考答案
1．C
解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得
，
∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝，
∵1＜＜2，
∴2＜＜3，
即1＜a＜．
故选：C
2．D
解：∵的两个实数根中较小的一个根是，
∴，
解得：b＋＝﹣2m，
故选：D．
3．D
解：A、用因式分解法好，故本选项错误；
B、用直接开平方法好，故本选项错误；
C、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；
D、用公式法好，故本选项正确．
故选D．
4．D
解：∵
∴
∴，，．
故选：D
5．B
解：用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为?5，
故选：B．
6．B
解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a
在Rt△BCD中，由勾股定理得，，
∴BF=，
解方程得，
∴线段BF的长是方程的一个根．
故选：B．
7．A
解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
解方程得．
设是方程的较大的实数根，
，
，
，
则，只有B符合要求．
故选：B．
9．C
解：把x－2看作一个整体，a=2，b=7，c=6，
则根据一元二次方程的求根公式，得：，
∴或，
解得：，．
故选：C．
10．D
解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝，
由3＜＜4得﹣＜＜﹣1，
∴﹣2＜x1＜﹣1，
故选：D．
11．D
解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=．
故选D．
12．D
解：如图，设走了小时，根据题意可知：BF=AG=4x，则AF=7－4x，根据勾股定理，得，即.解得：，.
故选D.
13．-3
解：把x=1代入方程得：1+k+k-5=0，
解得：k=2，
即方程为x2+2x-3=0，
解得：x1=1，x2=-3，另一个根为-3．
故答案为：-3．
14．<
a<0
解：根据方程的求根公式可得：
x==，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得<
a<0．
故答案为：<
a<0．
15．或
解：
如图1，等腰△ABC的顶角是锐角，如图2，等腰△ABC的顶角是钝角，
BD为斜边上的高，AE为底边上的高线（也是中线），
腰长为AC=10×2÷4=5（cm），
设AE=x，则，
在Rt△ACE中，，
解得，（舍去），（舍去），
经检验是该方程的根，
∴或，
∴该三角形的周长是或，
故答案为：或．
16．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEF中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝，
即BE的长为＝，
故答案为：．
17．或或
解：∵点P在直线上
∴设P点坐标为(a，-a+4)
则PA=|-a+4|，PB=|a|
由题意：PA?PB=4
即|-a+4|×|a|=4
∴
∴
即，
解前一方程得：；解后一方程得：，
当时，，点P的坐标为(2，2)；
当时，，点P的坐标为；
当时，，点P的坐标为
所以点P的坐标为或或
故答案为：或或
18．（1），；（2），．
解：，，，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
或，
，．
19．-9
解：，是方程的两根，且，
∴△=b2-4ac=4+4=8
∴x=
则，，
原式，
当，时，
原式．
20．1、4、9、16、25、36、49
解：将方程整理得：x2﹣（2m+4）x+m2+4＝0，
∴x＝＝2+m±2，
∵x，m均是整数且1≤m≤50，
∴m为完全平方数即可，
∴m＝1、4、9、16、25、36、49．
21．（1），；（2）见解析
解：（1），
这里，，，
∴
∴，
∴，．
（2）证明：如图，连接AC，AC'，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB'C'D'，
∴AC=AC'，
又∵AB=AB，∠ABC=∠ABC'=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△ABC'（HL），
∴BC=BC'．
22．（1）见解析；（2）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠FAE=∠HAE=45°
∵FH⊥AC
∴∠AEF=∠AEH=90°
在△FEA和△HEA中
∴△FEA≌△HEA(ASA)
∴EF=EH
∴AC垂直平分线段FH
∴CF=CH
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=4，∠B=90°
设AH=x，则BH=AB-AH=4-x
∵AH＝CH
∴CH=3x
在Rt△CBH中，由勾股定理得：
即
化简得：
解得：，（舍去）
∴
即AH的长为