华东师大版九年级数学上册 22.2.4一元二次方程根的判别式 同步练习（word版含答案）

22.2.4一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
2．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（
）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
4．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（
）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1或2个
7．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（
）．
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有实数根
8．关于x的方程kx2－4x－2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（
）
A．
B．
C．k＞2且k≠0
D．且k≠0
9．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　）
A．1
B．
C．
D．0
11．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k．（
）
A．若﹣1＜a＜1，则
B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则
D．若，则0＜a＜1
12．定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______
14．一元二次方程的根的判别式______0（填“”，“”或“”）．
15．对于一元二次方程，若，则它的根的情况是__________．
16．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
17．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____．
三、解答题
18．已知关于的方程．
（）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；
（）如果该方程有一个根大于，求的取值范围．
19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根．
20．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
21．①设是三角形的三边，求证：方程无实数根．
②若是方程的根，求代数式的值．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
参考答案
1．B
解：
，
所以方程没有实数根．
故选：B．
2．B
解：A.因为，故不合题意；
B.因为，符合题意；
C.因为，故不合题意；
D.
，故不合题意；
故选：B．
3．C
解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4（-2b-4c）?c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，
∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t=，
∴2at+b=±，
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
4．C
解：、，，则原式一定不成立，则方程没有实数根，选项错误；
、，，，则，则方程无实数根，选项错误；
、当时，一定成立，即方程有实数根0，选项正确；
、，，则，因而一定不成立，没有实数根，选项错误．
故选：C．
5．D
解：根据题意由方程得：
整理得：
根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根．
故选D．
6．D
解：∵直线不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．
7．D
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴方程有实数根．
故选：D．
8．B
解：当时，方程变形为，
解得；
当时，，
解得且，
综上所述，k的取值范围是，
故选：B．
9．C
解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，
解得：n＞2，
∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，
∴该一次函数图象在第一、二、四象限，
故选：C．
10．D
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是0．
故选：D．
11．D
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2?4a（b＋1）＝0，即：4a(
a?b?1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a?b?1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x1＝x2＝?1，
∴k＝?1，
∵＝，
∴当?1＜a＜0时，a?1＜0，a（a?1）＞0，
此时＞0，即；
当0＜a＜1时，a?1＜0，a（a?1）＜0，
此时＜0，即；
故A、C错误；
当时，即＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当时，即＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
12．D
解：
∵“合理”方程有两个相等的实数根
∴
4m-2n+p=0
①
=n2-4mp=0
②
则有
p=2n-4m代入②得：
n2-4m
(2n-4m)
=0
16m2-8mn=-
n2
16m2-8mn+n2=-n2+n2
∴(4m-n)2=0
∴4m=n，代入①得
n-2n+p=0
∴n=p
∴
4m=n=p
故选：D
13．且
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得，，
又∵二次项系数，
∴，
故答案为：且．
14．
解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
故答案为：=．
15．方程有两个不相等的实数根．
解：△=b2-4ac，
∵ac＜0，
∴-ac＞0，
而b2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
16．8或9
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，
故答案为：8或9．
17．-1
解：由题意得m-1=2，16+4n=0，
解得m=3，n=-4，
∴=3-4=-1，
故答案为：-1．
18．（1）方程总有两个实数根，理由见解析；（2）
解：（）方程有两个实数根，理由：
关于的方程是一元二次方程
无论取何值，都有，
即
方程总有两个实数根；
（）
方程有一个根大于，
．
19．（1）；（2），．
解：（1），
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：．
（2）当k=0时，原方程为，
，
或，
解得：．
20．（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1
解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，
①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，
∴k≥﹣3且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，
∴k＝1，
综上，k≥﹣3时方程有实根；
（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12＋x22﹣4x1x2＝1，
∴（x1＋x2）2﹣6x1x2＝1，
∴（）2＋＝1，
∴，
∴，
∴，
解得：k＝9或k＝﹣1．
21．①见解析；②2000
解：①证明：∵a、b、c为三角形的三边长，
∴△=（b2+c2-a2）2-4b2c2=（b2+c2-a2+2bc）（b2+c2-a2-2bc）=[（b+c）2-a2][（b-c）2-a2]=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a），
∵三角形中两边之和大于第三边，
∴b+c-a＞0，b-c+a＞0，b-c-a＜0
又∵b+c+a＞0，
∴△＜0，
∴方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0的根的情况是无实数根．
②∵是方程的根，
∴，
∴，，
∴原式=
=
=
=
=2000
22．（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值，
方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，
∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1