2012年高考数学考前15天专题突破系列——推理证明的解题技巧
文档属性
| 名称 | 2012年高考数学考前15天专题突破系列——推理证明的解题技巧 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 194.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | |||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-05-20 08:46:25 | ||
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文档简介
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——推理证明的解题技巧
本节主要考查的识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图．推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等．
（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大．
（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．
（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．
（4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．
（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．
【高考要求】 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.
题型一：合情推理
例1（1）若 ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则 ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积＝ ．
（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,
则第个三角形数为( ).
A. B.
C. D.
【特别提醒】（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.
题型二：演绎推理
例2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.
求证：（1）∥；
（2）.
题型三：直接证明
例3 已知求证：
证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立， 即
证法2：（分析法） 要证，只要证 即证
，即证 即
由 得，
所以原不等式成立
【特别提醒】综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.
（1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.
题型四：间接证明
例4：已知函数y=ax+(a＞1).
（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
（2）方法一 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, 则a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1,
∴0＜-＜1,得＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
方法二 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则＜-2,a＜1,
∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,则＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根.
【特别提醒】用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.
【专题训练】[]
1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （填序号）．
2. 已知函数.
（１）求函数的单调区间；
（2）试证明：对任意，不等式恒成立．
3.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个[]
侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
答案及其解析
令得
显然是上方程的解
令，，则
∴函数在上单调递增[]
∴是方程的唯一解
∵当时，当时
∵ ∴
即对，不等式恒成立．
3.【解析】（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S－2SScos.其∴PM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，
由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，[]
S=PM·BB1=PM·CC1，∴S=S+S－2S·S·cos.[]
图
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——推理证明的解题技巧
本节主要考查的识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图．推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等．
（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大．
（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．
（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．
（4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．
（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．
【高考要求】 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.
题型一：合情推理
例1（1）若 ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则 ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积＝ ．
（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,
则第个三角形数为( ).
A. B.
C. D.
【特别提醒】（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.
题型二：演绎推理
例2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.
求证：（1）∥；
（2）.
题型三：直接证明
例3 已知求证：
证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立， 即
证法2：（分析法） 要证，只要证 即证
，即证 即
由 得，
所以原不等式成立
【特别提醒】综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.
（1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.
题型四：间接证明
例4：已知函数y=ax+(a＞1).
（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
（2）方法一 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, 则a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1,
∴0＜-＜1,得＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
方法二 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则＜-2,a＜1,
∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,则＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根.
【特别提醒】用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.
【专题训练】[]
1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （填序号）．
2. 已知函数.
（１）求函数的单调区间；
（2）试证明：对任意，不等式恒成立．
3.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个[]
侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
答案及其解析
令得
显然是上方程的解
令，，则
∴函数在上单调递增[]
∴是方程的唯一解
∵当时，当时
∵ ∴
即对，不等式恒成立．
3.【解析】（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S－2SScos.其∴PM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，
由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，[]
S=PM·BB1=PM·CC1，∴S=S+S－2S·S·cos.[]
图
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