2012年高考数学考前15天专题突破系列——2012数学八大题型突破

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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——2012数学八大题型突破
题型一．函数
函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值一般为22——35分。一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。
其主要表现在：
1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。
2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。
3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。
4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。
5.涌现了一些函数新题型。
6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。
7.多项式求导（结合不等式求参数取值范围）和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题。
解题方向整理：
1、抽象函数问题中注意对称与周期的区分及应用。
2、图像判断与应用注意单调性、奇偶性、定义域、局部范围点的坐标符号，会熟练地画出指数函数、对数函数的图像。
3、强化函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及其特例法的娴熟运用。
4、理解函数中的不等式问题基本考察单调性。
5、恒成立问题是求最值，方法是采用函数单调性、基本不等式、导数法等进行。明确区间内的极值有且只有一个则必为最值.
6、导数的作用与价值（比大小、求范围、解证不等式、求极值最值、求零点、判根等）、导数的几何意义（曲线上某点的切线的斜率）必须记住且会用。
7、与切线相关的问题从三点出发：一是设切点，二是求导数，三是切点既在曲线上，又在切线上。
8、函数与导数的综合问题总结为“三步曲”：求导，解导数方程，列3行n列的表。然后结合问题展开讨论。同时注意二次求导的合理应用。
题型二．概率与统计
知识点：1、掌握几何概型、古典概型、等可能事件、独立事件同时发生、互斥事件有一个发生、二项分布、离散型随机变量及其分布列与期望等知识，并会熟练地解答问题。
2、统计图表的读图、用图，统计中抽样调查的三种方法及其应用。
3、了解线性回归方程、独立性检验、正态分布等常见问题问法及其解答方法。
试题特点：（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。
题型与方法：理论与实际相结合的概率问题最为常见。主要区分概率题型，合理归类。
1）等可能事件（给数字，考查排列组合）；
2）独立、互斥等事件（有概率值出现，且有明显语句如‘互不影响、独立’等提示）；
3）离散型概率，特别注意二项分布的认识。
题型三．数列
数列题命题有如下趋势：
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有。
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用。
4.解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和圆锥曲线知识相结合等。
需掌握的知识与方法：
1.会求数列通项（定义法、构造法、递推法、猜想归纳法等）、前n项和（先要求得通项，结合通项的特点求解：公式法、分组求和、错位相减法、倒序相加法、裂项法—通项必须为分式型）等。
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算。
3.分类讨论的思想在本章尤为突出。学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等。[来源:21世纪教育网]
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键。
6.解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法等。
7.数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。
题型四. 三角函数
分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面：
其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；
其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。
其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。在复习过程中突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。基于以上分析，预测在2012年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为一小题一大题。主要考查“三基”（基础知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，难度多为容易题和中档题。
知识与方法：
1、纯粹三角函数题及其三角与向量结合问题大都考查二倍角公式如、和差角公式的逆用（如熟记）等，必须非常熟练。
2、三角函数的图像问题牢记“五点法”，利用整体思想，只画出标准正、余弦函数图像解答问题。
3、三角形中的三角函数必须想到“正余弦定理”，三角形面积公式也是解题的重要工具。
4、实际问题（追逐问题、测量问题等）会转化成三角函数问题，寻求可解三角形求解，同时注意边角的制约关系。
主要结论：
1）等价关系:△ABC中，A>B>CsinA>sinB>sinC,其它函数名全转化为正弦名。
2）△ABC的判定： △ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
题型五．立体几何
近几年高考试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明和计算为主。
题型方法：
1、小题考查图形的性质，判断位置关系，主抓棱柱（长方体、正方体）、棱锥（正四面体）的位置与性质；三视图是必考题型，会还原。
2、解答题常见两到三问：判位置关系，求距离，求角度。熟练建立空间直角坐标系，化向量求解，理清立体几何问题转化为向量之后算什么，公式要熟悉，特别是空间角，保证运算正确。
主要结论：
1、正四面体中
2、棱柱外接球问题：球心在高的中点，到上底面（或下底面）距离为高的一半，求出
底面外接圆的半径，与球心构成一个直角三角形。
3、长方体的体对角线长为l,从同一顶点出发的三条棱长为a,b,c,则a2+b2+c2=l2.
题型六．平面向量
主要以小题型出现，有时也会在三角函数、圆锥曲线等问题中，只是一个基本条件，转化之后就没有价值。
知识点：
1、向量的模计算方法。21世纪教育网
2、平面向量的基本定理应用。
3、平面向量的运算：加减法（三角形法则、平行四边形法则）、坐标运算法则。
4、平面向量的数量积：求数量积，夹角，模长或范围，投影等。
常考题型与对策：
1、应用平面向量的基本定理将已知向量分解，方法运用三角形法则、平行四边形法则分解。
2、利用坐标运算解决与向量的垂直、平行等相关的问题，方法是从垂直平行判断的依据出发。
3、求夹角，方法是从数量积公式出发。
4、求模长，方法是将所求模长的向量平方，转化为数量积计算。至于范围问题可以转化为函数、考虑基本不等式、数形结合等。
5、求数量积，方法是从公式出发，利用三角形法则转化到已知模长和夹角的向量上计算。
题型七．直线与圆
近几年小题大题都有，涉及到直线与圆的位置关系判断，直线被圆截得弦长，夹角，围成三角形面积等。同时会出现综合性问题。21世纪教育网
知识点：
1、直线倾斜角、斜率计算。直线方程（注意效率分类）
2、圆的方程三种形式。21世纪教育网
3、直线与圆、圆与圆位置关系的判断与应用。
题型方法：
1、直线倾斜角、斜率计算。求直线方程（注意斜率分类讨论）。
2、求圆的方程。待定系数法（找到圆心与半径）。
3、位置关系判断：直线与圆一般不联立方程，找到半径，求出弦心距，弦长一半构成直角三角形求解。[21世纪教育网]
有用结论：
1、两圆相交弦所在的直线方程：联立两圆方程相减削去二次项，得到的二元一次方程为相交线所在的直线方程。
2、圆的参数方程主要解决与圆相关的最值问题。
题型八．圆锥曲线
知识点：
1、椭圆、抛物线、双曲线定义式、标准方程。
2、性质。特别是共性与差异。
3、直线与圆锥曲线的位置关系。
题型与方法：
1、小题多考查相关性质，如求离心率问题（找到a与c之间的关系，一般不引入坐标，紧抓定义式、图形特征、相关条件等，运用初中平面几何知识就可以解决问题）；求方程（一是待定系数法，二是求相关量法）；求a,b,c,p等值（理解这些字母的几何意义，从图形出发寻找关系式）。
2、所涉及椭圆、双曲线上的点到焦点距离作条件，联想焦点三角形（运用定义式、正余弦定理、三角形面积等求解）。对抛物线必须注意定义的合理运用，同时注重运用焦半径公式的应用。
3、解答题中涉及直线与圆锥曲线的交点条件一定要联立方程，判根的判别式和韦达定理。此类问题运算量大，必须细心。
4、轨迹问题一般从三方面入手：一是定义法；二是点代入法（或轨迹转移法或叫相关点法），三是参数法。前二者出现的频率最高，应灵活掌握。
5、定点定值、最值问题：
1）直线过定点问题：定点往往在坐标轴上，将直线化为点斜式，给自变量x一个常数，得到一个与其余变量无关的y的常数即可。
2）定值问题可以试着找到特殊（平行、垂直、特殊点、特殊图形等）情况先进行验证，得到定值，再从通性角度验证。
3）最值大多从函数单调性、导数；基本不等式；数形结合思想等角度出发，关键是构造所需的变量代数式。
6、存在性问题：一般假设存在，先特例验证，再论证，可化为范围问题、定值最值问题求解。
有用结论：
1、椭圆、双曲线通径长为；抛物线通径长为2p。
2、求双曲线渐近线方程：将常数1用0代替，剩余代数式移向等式两边开方取正负即可。
3、椭圆上点与两焦点连线夹角最大时该点在短轴端点。
4、双曲线焦点到渐近线距离为虚半轴长度b。
5、F椭圆焦点，P椭圆上任一点，则|FP|max=a+c, |FP|min=a-c,等号成立时P在长轴端点。F抛物线焦点，P是抛物线上任一点，则|FP|min=p/2，等号成立时P在原点.
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