2012年高考数学考前15天专题突破系列(打包下载）

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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——填空题解题方法突破
【方法一】直接求解法：
直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公示等，经过变形、推理、计算、判断得到结论. 这种方法是解填空题的最基本、最常用的方法. 使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地，有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .
【解析】双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出焦点坐标为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为.
例2某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管
理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为
（单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分
别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果为 .
【解析】第一（）步：
第二（）步：
第三（）步：
第四（）步：，
第五（）步：，输出
【方法二】 特殊化法：
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值（特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论. 这样可以大大地简化推理、论证的过程. 此种方法也称为“完美法”，其根本特点是取一个比较“完美”的特例，把一般问题特殊化，已达到快速解答. 为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.
例3已知定义在上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程（）在区间上有四个不同的根，，则 ．
例4在△中，角所对的边分别为，如果成等差数列，
则___________.
【解析】取特殊值，则，.
或取，则，代入也可得.也可利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解。
【方法三】 数形结合法：
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.
例5： 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .
【解析】如图所示，
,
作轴于点D1,则由，得
,所以,即,由椭圆的第二定义又由,得,整理得.两边都除以,得.
例6定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作⊥轴于点，直线与的图像交于点,则线段的长为_____.
【解析】线段的长即为的值，且其中的满足，解得，即线段的长为.
【特别提醒】考虑通过求出点，的纵坐标来求线段长度，没有想到线段长度的意义，忽略数形结合，导致思路受阻.
【方法法四】 特征分析法：
例7已知函数满足：
，，则
____________．
【特别提醒】忽略自变量是一个数值较大的正整数，没有考虑函数值的周期性规律或数列与函数的联系，一味考虑直接求而导致思路受阻.
例8五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，
当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
【方法五】构造法：
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些熟悉的数学模型，并借助于它认识和解决问题的一种方法.
例9如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 .
【解析】此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，
已知条件少，没有具体的线段长度，应根据三条棱两两垂直
的特点，以，，为棱，补成一个长方体.
通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长
，，分别为1，2，3得.
.
例10已知实数满足，则=____________.
【解析】此题考查数学知识的运用能力，两个未知数一个方程，且方程次数较高，不能直接求出，的值，应考虑将整体求出，注意方程的结构特点。构造函数，则已知变为，即，根据函数是奇函数且单调递增可得，于是，即.
【题型六】多选型
给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论. 这类题不论多选还是少选都是不能得分的，相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理，而是要求从结论出发逆向探究条件，且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此，要求同学们有扎实的基本功，能够准确的阅读数学材料，读懂题意，根据新的情景，探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明，而判断命题是假命题，举反例是最有效的方法.
例11一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
例12.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.
①； ②； ③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关.
【解析】此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应根据题意及概念逐个判断.易见是两两互斥的事件，事件的发生受到事件的影响，所以这两事件不是相互独立的.而
.
所以答案②④.
【特别提醒】容易忽略事件的发生受到事件的影响，在求事件发生的概率时没有分情况考虑而导致求解错误.
【题型七】探索型
从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的条件.常见有：规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命题，解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具备的条件，进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论.
例13.观察下列等式：
①;
②;
③;
④
⑤[来源:21世纪教育网]
可以推测， .
【解析】因为所以；观察可得，，所以.
例14.观察下列等式：
，根据上述规律，第五个等式为.
【解析】（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4…，右边的底数依次分别为3,6,10…（注意：这里），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.
又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为
.
（方法二）∵易知第五个等式的左边为，且化简后等于，而，故易知第五个等式为[来源:21世纪教育网]
【题型吧】新定义型
定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题.这样必须紧扣新信息的意义，将所给信息转化成高中所学习的数学模型，然后再用学过的数学模型求解，最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系，要求同学有较强的分析转化能力，不过此类题的求解较为简单.
例15.对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：21世纪教育网
[21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.
【解析】在各个图形中任选两点构成线段，看此线段是否包含于此图形，可以在边界上，故选②③.
【特别提醒】忽略④是由两个圆构成一个整体图形，从两个圆上各取一点构成的线段不包含于此图形，易误选④.
例16.若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ．
【题型九】组合型
给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.解这类题，就要求学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序.
例17.是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出下列四个论断：
（1）,（2）,（3）（4），若以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________________________.
解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：
（1）,,；（2）,,.
所以可以填,, (或,,).
【专题训练】
1．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝
________.
解析：由已知得a＝a1a9，∴(a1＋2d) 2＝a1(a1＋8d)，
∴a1＝d，
∴＝＝.
答案：
2．cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________．
解析：本题的隐含条件是式子的值为定值，即与2α无关，故可令α＝0°，计算得上
式值为0.
答案：0
3．如果不等式>(a－1)x的解集为A，且A {x|0是________．
4．设f(x)＝若方程f(x)＝x有且仅有两个实数解，则实数a
的取值范围是________．
解析：先给a一个特殊值，令a＝0，可画出x≤0时的图象．当02－(x－1)，可以画出(0,1]内的图象，实际是将(－1,0]内的图象右移一个单位后得到
的．以此类推可画出，当x>0时的图象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意
义使图象作平移变换，由此确定－a的取值范围，最后求出a的取值范围．
答案：(－∞，2)
5．直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是
________．
21世纪教育网
解析：因为y＝kx＋3k－2，即y＝k(x＋3)－2，故直线过定点P(－3，－2)，而定直
线y＝－x＋1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0)，B(0,1)．如图所示，求得答案：6．直线l过抛物线y2＝a(x＋1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线
段长为4，则a＝________.21世纪教育网
解析：∵抛物线y2＝a(x＋1)与抛物线y2＝ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，
故可用标准方程y2＝ax替换一般方程y2＝a(x＋1)求解，而a值不变．由通径长公式
得a＝4.
答案：4
7．不等式>x的解集为________．
解析：令y1＝，y2＝x，则不等式>x的解就是使y1＝的图象在y2
＝x的上方的那段对应的横坐标．如图所示：
不等式的解集为{x|xA≤x而xB可由＝x解得xB＝2，xA＝－2，
故不等式的解集为{x|－2≤x<2}．
答案：{x|－2≤x<2}[来源:21世纪教育网]
8．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P
横坐标的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则当∠F1PF2＝90°时，点P的轨迹方程为x2＋y2＝5，由此可得
点P的横坐标x＝±，又当点P在x轴上时，∠F1PF2＝0；点P在y轴上时，∠
F1PF2 为钝角，由此可得点P横坐标取值范围是－答案：－9．已知m，n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；
④若n α，m α且n∥β，m∥β，则α∥β；
⑤若m，n为异面直线，n α，n∥β，m β，m∥α，则α∥β.则其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
解析：依题意可构造正方体AC1，如图，在正方体中逐个判断各命题易得正确命
题的是②⑤.
答案：②⑤
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——推理证明的解题技巧
本节主要考查的识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图．推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等．
（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大．
（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．
（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．
（4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．
（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．
【高考要求】 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.
题型一：合情推理
例1（1）若 ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则 ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积＝ ．
（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,
则第个三角形数为( ).
A. B.
C. D.
【特别提醒】（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.
题型二：演绎推理
例2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.
求证：（1）∥；
（2）.
题型三：直接证明
例3 已知求证：
证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立， 即
证法2：（分析法） 要证，只要证 即证
，即证 即
由 得，
所以原不等式成立
【特别提醒】综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.
（1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.
题型四：间接证明
例4：已知函数y=ax+(a＞1).
（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
（2）方法一 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, 则a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1,
∴0＜-＜1,得＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
方法二 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则＜-2,a＜1,
∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,则＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,与f (x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根.
【特别提醒】用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.
【专题训练】[来源:21世纪教育网]
1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （填序号）．
2. 已知函数.
（１）求函数的单调区间；
（2）试证明：对任意，不等式恒成立．
3.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个21世纪教育网
侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
答案及其解析
令得
显然是上方程的解
令，，则
∴函数在上单调递增 [21世纪教育网]
∴是方程的唯一解
∵当时，当时
∵　　∴
即对，不等式恒成立．
3.【解析】（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S－2SScos.其∴PM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，
由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，[来源:21世纪教育网]
S=PM·BB1=PM·CC1，∴S=S+S－2S·S·cos.21世纪教育网
图
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——选择题解题方法突破
【方法一】直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对号入座”，作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1 双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）
A. B. C. D.
【特别提醒】（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为；（2）混淆椭圆和双曲线标准方程中的关系，在双曲线标准方程中.
此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根据的关系求出，继而求出右焦点的坐标.
例 2阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】解：由程序框图可知，该框图的功能是输出使和
时的的值加1，因为，，所以当时，计算到故输出的是4，答案选C.
【特别提醒】没有注意到的位置，错解.实际上 使得后加1再
输出，所以输出的是4.
【变式训练】 根据所示的程序框图（其中表示不大于的最大整数），输出（ ）.
A. B. C.2 D.
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例3.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）21世纪教育网
A. B. C. D.
,.
所以 记与平面所成角为,
则,所以,故答案选D.
【特别提醒】直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高直接法解选择题的能力.准确把握题目的特点，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错. 此题考查立体几何线面角的求解.通过平行直线与同一平面所成角相等的性质及转化后，只需求点到面的距离.
【方法二】 特例法：
用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例4：在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A(－4，0) 和C(4，0)，且顶点B在椭圆上，则（ ）
A. B. C.1 D.
例5已知函数= 若均不相等，且，则的取值范围是 （ ）
A.（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24)
【解析】解：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，故答案选C．
另解：不妨设，则由，再根据图像易得.实际上中较小的两个数互为倒数.
【特别提醒】此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得出答案.
例6.…中的最大数为，最小数为.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为
，则“”是“为等边三角形”的（ ）
A. 充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要的条件
【特别提醒】当正确的选择对象在题设条件都成立的情况下，用特殊值（取的越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.
【方法三】 排除法：
充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项），通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的.
例7.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】解：C、D中函数周期为2，所以错误.当时，，函数为减函数,而函数为增函数，所以答案选A.
例8.函数的图像大致是（ ）
【解析】解：因为当2或4时，，所以排除B、C；当-2时，
，故排除D，所以答案选A.
例9 设函数 ， 若, 则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：取验证满足题意，排除A、D. 取验证不满足题意, 排除B.所以答案选C.
【特别提醒】排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题, 尤其是选项为范围的选择题的常用方法.
【方法四】 验证法：
将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案.
例10 将函数的图像向左平移个单位.若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】解：逐项代入验证即可得答案选B.
实际上，函数的图像向左平移个单位所得函数为
，此函数图像与原函数图像重合，即，于是为4的倍数.
【特别提醒】的图像向左平移个单位所得函数解析式，应将原解析式中的变为，图像左右平移或轴的伸缩变换均只对产生影响，其中平移符合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.
例11设数列中， ， 则通项是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：把代入递推公式得：，再把各项逐一代入验证可知，答案选D.
例12 下列双曲线中离心率为的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：依据双曲线的离心率，逐一验证可知选B.
【方法五】 图解法：
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断. 习惯上也叫数形结合法.
例13设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】解：将的零点转化为函数的交点，数形结合，答案选A.
【特别提醒】此题考查函数零点问题，可转化为两个熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数在与选项有关的关键点（如分界点）的函数值大小关系.
例14.若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）[21世纪教育网
A. B.
C. D.
【解析】此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形结合的思想进行求解.
曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线。作图分析：
，，又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知
【特别提醒】（1）忽略曲线方程：表示的是两条直线（2）求直线与曲线相切时的值时不结合图像取值导致错误.
例15. 直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】解：数形结合，设直线AD与BD的倾斜角分别为，则 ，【方法六】 分析法：
特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法.
例17.已知，则等于( )
A. B. C. D. 5
【解析】由于受条件的制约，为一确定的值，进而推知也为一确定的值，又，因而，故，所以答案选D.
【特别提醒】此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为1求的值，再根据半角公式求，运算较复杂，试根据答案数值特征分析.
例18.当时，恒成立，则的一个可能值是（ ）
A. 5 B. C. D.-5[来源:21世纪教育网]
【方法七】估值法：
对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项.
例19.若，是第三象限的角， 则=（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据单位圆估算, 所以答案选A.
【特别提醒】此题考查同角三角函数关系及两角和公式，可根据角的范围先求出的正弦值，再根据两角和公式求.
例20. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面面积是（ ）
A. B. C. D.
【解析】球的半径不小于△的外接圆半径，
，所以答案选D.
【特别提醒】此题考查球的性质及球面面积公式，可先求截面圆半径，结合球心到截面的距离，利用勾股定理求出球半径，再求球面面积.
【方法八】逆推法：
假设选项正确，以部分条件作为已知条件进行推理，看是否能推出与已知条件矛盾的结论，从而找出正确答案.
例21.用表示两数中的最小值. 若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【特别提醒】此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于的值未知，图像不容易确定，所以从选项假设出发.
例22.在中，所对的边分别为，若，则是（ ）
A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
【解析】等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项B正确.此时,
，，不满足题目条件，所以A， B，C均不满足题意，故答案选C.
例23.平行四边形的周长等于，的内切圆半径等于，已知，则它的边长是（ ）.
A. B.
C. D.
【特别提醒】逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题，逆向思维，常结合逻辑法，排除法进行运用，是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理，且由条件得出的答案唯一.
【专题训练】
1．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方
程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 (　　)
　 A．0 B．1 C．3 D． 5
解析：特例法，利用正弦函数图象验证．
答案：D
2．函数y＝sin＋sin 2x的最小正周期是 (　　)
A. B．π C．2π D．4π
解析：(代入法)f＝sin＋
sin＝－f(x)，而f(x＋π)
＝sin＋sin[2(x＋π)]＝f(x)．所以应选B；
另解：(直接法)y＝cos 2x－sin 2x＋sin 2x
＝sin，T＝π，选B.
答案：B
3．若动点P、Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距
离OH必等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选一个特殊位置(如图)，令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16，b2
＝9得，OP＝4，OQ＝3，则OH＝.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也
成立”可知，答案C正确．
答案：C
4．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)，A，B是椭圆上的两点且OA，OB互相垂直，则
＋的值为 (　　)
A. B.21世纪教育网
C. D．不能确定
解析：取点A，B分别为长轴与短轴的两个端点，则|OA|＝a，|OB|＝b，所以＋
＝＋＝.
答案：A
5．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则 (　　)
A．aC．b6．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，若S＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n，则S的值为21世纪教育网
(　　)
A．2n B．2n＋1
C. D.
解析：方法一：令x＝1，得到3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n.令x＝－1，得到1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n.∴2S＝3n＋1.
方法二：(特值法)
令n＝1,1＋x＋x2＝a0＋a1x＋a2x2，a0＋a2＝2.排除B、C.令n＝2,1＋2x＋3x2＋2x3＋
x4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，a0＋a2＋a4＝5，排除A.
答案：D
7．已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当
x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有 (　　)
A．f(x)<－1 B．－1C．f(x)>1 D．0解析：取特殊函数．设f(x)＝2x，显然满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)(即2x＋y＝2x·2y)，且满足
x>0时，f(x)>1，根据指数函数的性质，当x<0时，0<2x<1，即0答案：D21世纪教育网
8．设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合P＝{(x，y)|y＝x2＋2bx＋1}，Q＝{(x，y)|y＝2a(x
＋b)}，S＝{(a，b)|P∩Q＝ }，则S的面积是 (　　)
A．1 B．π C．4 D．2π
9．函数y＝的图象大致是 (　　)
解析：y＝为奇函数，故排除B.
又当x＝1时，y＝0，故排除C.
又当x＝10时，y＝
当x＝100时，y＝<，故排除A.
答案：D
10. 与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是 (　　)
A.
B.或
C.
D.或
解析：方法一：(直接法)
设所求向量e＝(cos θ，sin θ)，则由于该向量与a，b的夹角都相等，故＝
a·e＝b·e cos θ＋sin θ＝cos θ－sin θ 3cos θ＝－4sin θ，
所以，或可知B选项成立，故选B.
方法二：(数形结合法)
画出a、b的草图．21世纪教育网
然后画出，显然它与a、b的夹角不相等，逐一排除，可选B.
方法三 (定性判断、验证法)若存在一向量c与a、b的夹角相等，则－c与a、b的
夹角也一定相等，故应有2个向量，排除A、C，
∵|a|＝|b|，∴若c与a、b的夹角相等，由向量的夹角公式可得a·c＝b·c，显然·≠·，排除D.
答案：B
11．若等比数列的各项均为正数，前n项的和为S，前n项的积为P，前n项倒数的和
为M，则有 (　　)
A．P＝ B． P>
C．P2＝n D．P2>n
qn(n－1)，而P2＝aqn(n－1)，故有P2＝n.
综上有P2＝n.
方法二：特例检验法
取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S＝n，P＝1，M＝n，21世纪教育网
显然P>和P2>n不成立，故选项B和D排除，这时选项A和C都符合要求．
再取等比数列：2,2,2，…，则S＝2n，P＝2n，M＝，
这时有P2＝n，而P≠，所以A选项不正确，故选C.
答案：C
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——2012新型试题题型突破
题型一　定义新概念
【例1】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、， 、（除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集，则数集必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是　 （把你认为正确的命题的序号填填上）
【特别提醒】本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.
题型二　定义新图表
根据以上排列规律，数阵中第（）行的从左向右的第3个数是
【特别提醒】由数阵找到（）行的最后一个数.数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.
题型三　定义新数列
【例3】若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[来源:21世纪教育网]
【解析】由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即公比不一定为， 则命题乙不成立，故选B.[21世纪教育网]
题型四 构建指数函数模式的问题
【例4】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用表示某一时刻每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式： （），其中是湖水污染的初始质量分数.
（Ⅰ）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（Ⅱ）求证：当时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（Ⅲ）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(Ⅲ)污染停止即，，设经过天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，即
∴，∴，
故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
题型五 构建二次函数模式的问题
【例5】一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．人可在7米内追上汽车 B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车,其间距离最近为5米 D．人追不上汽车,其间距离最近为7米
【例6】某工厂拟建一座平面图（如图9-3所示）为矩形且面积为的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
(Ⅰ)写出总造价（元）与污水处理池长 ()的函数关系式；
(Ⅱ)若由于地形限制，长、宽都不能超过，求的定义域；
图9-2-1
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
【解析】(Ⅰ)因污水处理水池的长为，则宽为，
总造价为：
(Ⅱ)由题设条件，解得，即函数定义域为
(Ⅲ)先研究函数在上的单调性，
故函数在上是减函数，∴当时，取得最小值，
此时
综上，当污水处理池的长为，宽为时，总造价最低，最低为45000元
【特别提醒】 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数，是形如的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习. 我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值；当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值. 若a，b异号：
（1）a＞0，b＜0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）, 21世纪教育网
（2）a＜0，b＞0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）.
通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性.
本题考查的是学生对于对勾函数单调性的理解，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在上取得极小值，这一函数性质在不等式和导数中均有重要应用.学生可思考若不限制函数的定义域，此题的最优造价方案又将如何.
题型七 知识类比问题
【例7】设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列.
【特别提醒】根据类比猜想得出，，成等比数列.本题考查由等差数列到等比数列的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习.
题型八 结论探索型问题
例8 如图9－3－1，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中．
(Ⅰ)当A1CB1D1时，试确定底面四边形ABCD的形状；
(Ⅱ)如果底面ABCD是正方形，E是C1D1的中点，是否存在实数，当时，DECA1．若存在，求出实数的范围；若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)根据条件与结论分析，如果A1CB1D1，则BD一定垂直平面AA1C，只要满足条件ACBD，就能推出结论，因此对四边形ABCD的形状可以是正方形、菱形、筝形．
因此，而，，
可得，故不存在实数使得DECA1
【专题训练】
1．若，，且A＝B，.
（Ⅰ）求零点个数；（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）若时，，求m的值.
1．解：（Ⅰ）∵A＝B，
∴，∴，∴
2．某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率与日产量 （）件间的关系为 每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次
品亏损1100元．
（Ⅰ）将日利润（元）表示为日产量(件)的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时,日利润最大？
（）
2．解 ：（Ⅰ）
（Ⅱ）当时,. 21世纪教育网
当时, 取得最大值33000(元).
当时，. 令，得.
当时，；当时，.
在区间上单调递增,在区间上单调递减.
故当时,取得最大值是 (元).
, 当时,取得最大值(元).
答: 该厂的日产量为25件时, 日利润最大.
3．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图5,图6）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图5、图6中,并作简要说明；
（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
3．解：（Ⅰ）如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥．
如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角．余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．
（Ⅱ）依上面剪拼的方法,有V柱＞V锥．
推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形,其面积为．现在计算它们的高：
,．
∴ ,
所以,V柱＞V锥．
4．已知为函数的一个极值点．
（1）求及函数的单调区间；
（2）若对于任意恒成立，求取值范围．[来源:21世纪教育网]
5．如图7,标系中，已知椭圆的离心率e＝，左
右两个焦分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=2．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的一个顶点为，是否存在直线：，使点B关于直线的对称点落在椭圆上，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
，则由轴对称的性质可得：，解得：
∵点在椭圆上，∴ ，
整理得解得或 ∴直线的方程为或
经检验和都符合题设
∴满足条件的直线存在，其方程为或．
6．在数列中，前n项和．
（Ⅰ）求证｛an｝是等差数列；
（Ⅱ）求证：点都落在同一条直线上；
（Ⅲ）若，且P1、P2、P3三点都在以为圆心，为半径的圆外，求的取值范围．
图5 图6
图1 图2
图7
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——探索性问题
近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。
探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。
【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。
【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx＋y＝4的特点，对参数k分k>1、k＝1、0【解】由方程kx＋y＝4，分k>1、k＝1、0① 当k>1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a＝2，b＝;
② 当k＝1时，表示圆，圆心在原点，r＝2；
③ 当0④ 当k＝0时，表示两条平行直线 y＝±2；
⑤ 当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y轴上。
[来源:21世纪教育网]
所有五种情况的简图依次如下所示：
【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。
【例2】给定双曲线x－＝1， ① 过点A(2,0)的直线L与所给双曲线交于P及P，求线段PP的中点P的轨迹方程； ② 过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q、Q，且点B是线段Q、Q的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
【分析】两问都可以设直线L的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。
21世纪教育网
∴ x＋x＝＝2×2 ∴k＝2
代入消y后的方程计算得到：△<0， ∴满足题中条件的直线m不存在。
【注】本题综合性比较强，将解析几何知识进行了横向综合。对于直线与曲线的交点问题和有关交点弦长及其中点的问题，一般可以利用韦达定理和根的判别式求解。本题属于存在型问题，其一般解法是：假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。在解题思路中，分析法与反证法起了关键作用。这类问题一般是先列出条件组，通过等价转化解组。
【例3】设{a}是正数组成的数列，其前n项的和为S，并且对于所有的自然数n，a与2的等差中项等于S与2的等比中项。 ① 写出数列{a}的前3项； ② 求数列{a}的通项公式（写出推证过程）； ③ 令b＝（＋） (n∈N)，求(b＋b＋…＋b－n)。
【分析】由题意容易得到＝，由此而求得a、a、a，通过观察猜想a，再用数学归纳法证明。求出a后，代入不难求出b，再按照要求求极限。
当n＝k＋1时，由题意有＝＝[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
∴ ()＝2(a＋2k) 即a－4a＋4－16k＝0
由a>0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2，
所以n＝k＋1时，结论也成立。
综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。
③ 设c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2）
＝[（－1）＋(－1)]＝－
b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝（1－）+（－）＋…＋(－)＝1－
∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1
【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特殊的情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第③问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，设立新的数列c具有一定的技巧性。
此外，本题第②问数列通项公式的求解，属于给出数列中S与a的函数关系式求a，对此类问题我们还可以直接求解，解答思路是由a＝S－S的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：
由题意有＝，整理得到S＝(a＋2)，所以S＝(a＋2)，
∴ a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)]
整理得到(a＋a)( a－a－4)＝0
由题意a>0可以得到：a－a－4＝0,即a－a＝4
∴数列{a}为等差数列，其中a＝2，公差d＝4，即通项公式为a＝4n－2。
【例4】已知x>0，x≠1，且x＝ (n∈N)，比较x与x的大小。
【分析】比较x与x的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。
【解】x－x＝－x＝
由x>0及数列{x}的定义可知，x>0，所以x－x与1－x的符号相同。
假定x<1，当n＝1时，1－x>0；假设n＝k时1－x>0，那么当n＝k＋1时，
[来源:21世纪教育网]
所以，对一切自然数n都有x【注】本题对1－x的符号的探讨，由于其与自然数n有关，考虑使用数学归纳法解决。一般地，探索性问题与自然数n有关时，我们可以用归纳→猜想→证明的方法解出。
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——应用问题
应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。 [21世纪教育网
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
【分析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。
【解】1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P 。21世纪教育网
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）。
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）。
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
21世纪教育网
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【注】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1,算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上。
例2．已知某市2010年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2011年底该市人均住房面积（精确到0.01）？
【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2011年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。
【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2011年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2011年底该市人均住房面积为4.92m。
【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此种题型属于应用问题中的数列模型。
例3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。
当当≥c时，则v＝c时，y取最小值。
综上所述，为使全程成本y最小，当【注】对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整。此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型。
A
M C D B
例4．如图，假设河的一条岸边为直线MN，AC⊥MN于C，点B、D在MN上，现将货物从A地经陆地AD于水陆BD运往B地，已知AC＝10km，BD＝30km，又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D点应选在距C点多远处？
【分析】设∠ADC＝α后，将AD、BC用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运费最小值等。
当t＝时，2－cosα＝sinα即sinα＋cosα＝1,
∴ sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。
∴ CD＝10ctgα＝km
综上所述，D点应选在距C点km时运费最少。
【注】作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海航空等应用题都可以转化为三角函数来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解答，此种题型属于应用问题中的三角模型。
在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型。此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型。
【专题训练】
Ⅰ、再性性题组：
1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成______。 [来源:21世纪教育网]
A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为_______时，场地面积最大，最大面积是_________。
3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是_______。
A. ()π B. ()π C. ()π D. 2()π
4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_______。(精确到0.1m)
5.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有_______种承包方式。
【简解】1小题：答案B；[来源:21世纪教育网]
2小题：设长x，面积S＝x×≤()，答案：长为，最大面积；
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——立体几何解题方法技巧
一、内容提要：
立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：
[来源:21世纪教育网]21世纪教育网立体几何 提 要 主 要 内 容 重 点 内 容[来源:21世纪教育网]
位置关系 两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、两个平面相互垂直 两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂直、两个平面相互垂直
距 离 两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离 两条异面直线的距离、点到平面的距离
角 度 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角
二、主要解题方法：
（一）位置关系
1、两条异面直线相互垂直
证明方法：证明两条异面直线所成角为90 ；证明两条异面直线的方向量相互垂直
2、直线和平面相互平行
证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
3、直线和平面垂直
证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
4、平面和平面相互垂直
证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90 ；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。
（二）求距离
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
1、两条异面直线的距离
求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB的长度，可以利用
来帮助解决，但是前提条件是我们要知道的模和每两个向量所成的角。利用公式（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）
2、点到平面的距离
求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）
（三）求角
1、两条异面直线所成的角
求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
2、直线和平面所成的角
求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或
3、平面与平面所成的角
求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα，注意到我们要求的角为α或π－α）；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。
我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！
三、注意的问题：
1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。
2、我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。
3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cosα＝x，则这两条异面直线所成的角为α＝arccos|x|
4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，若求出的角为锐角，就用，若求出的钝角，就用。
5、求平面与平面所成角的时，若用第、种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。
【专题训练】
1、已知三棱锥P—ABC中PB⊥底面ABC，，
PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.
（1）求证：平面PAC⊥PBC；
（2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.
2、如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.
（1）求证：AM⊥PD；
（2）求二面角P—AM—N的大小；
（3）求直线CD与平面AMN所成角的大小.
3、如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值.
（3）求二面角B—AC—G的大小.
4、如图，在正方体中，是棱的中点，为平面
内一点，。
（1）证明平面；
（2）求与平面所成的角；
（3）若正方体的棱长为，求三棱锥的体积。
在，在
即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为
若利用面积射影法，指出△HDB是△EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积
…………7分 计算出
即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为
2、（1）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD
∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD.
（2）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.
在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=
由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴.
即二面角P—AM—N的大小为.
3、（1）证明：正方形ABCD ∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，
∴CB⊥面ABEF ∵AG，GB面ABEF， ∴CB⊥AG，CB⊥BG
又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=，AB=2a， AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面CBG 而AG面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC
（2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC， ∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角
∴在Rt△CBG中 又BG=，
∴
（3）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC 作BO⊥AC，垂足为O，连结HO，则HO⊥AC，
∴为二面角B—AC—G的平面角 在
在Rt△BOH中，
即二面角B—AC—G的大小为
A
C
B
D
H
z
E
A1
D1
B1
C1
y
x
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2012年高考数学考前15天专题突破系列
——2012数学八大题型突破
题型一．函数
函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值一般为22——35分。一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。
其主要表现在：
1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。
2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。
3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。
4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。
5.涌现了一些函数新题型。
6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。
7.多项式求导（结合不等式求参数取值范围）和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题。
解题方向整理：
1、抽象函数问题中注意对称与周期的区分及应用。
2、图像判断与应用注意单调性、奇偶性、定义域、局部范围点的坐标符号，会熟练地画出指数函数、对数函数的图像。
3、强化函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及其特例法的娴熟运用。
4、理解函数中的不等式问题基本考察单调性。
5、恒成立问题是求最值，方法是采用函数单调性、基本不等式、导数法等进行。明确区间内的极值有且只有一个则必为最值.
6、导数的作用与价值（比大小、求范围、解证不等式、求极值最值、求零点、判根等）、导数的几何意义（曲线上某点的切线的斜率）必须记住且会用。
7、与切线相关的问题从三点出发：一是设切点，二是求导数，三是切点既在曲线上，又在切线上。
8、函数与导数的综合问题总结为“三步曲”：求导，解导数方程，列3行n列的表。然后结合问题展开讨论。同时注意二次求导的合理应用。
题型二．概率与统计
知识点：1、掌握几何概型、古典概型、等可能事件、独立事件同时发生、互斥事件有一个发生、二项分布、离散型随机变量及其分布列与期望等知识，并会熟练地解答问题。
2、统计图表的读图、用图，统计中抽样调查的三种方法及其应用。
3、了解线性回归方程、独立性检验、正态分布等常见问题问法及其解答方法。
试题特点：（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。
题型与方法：理论与实际相结合的概率问题最为常见。主要区分概率题型，合理归类。
1）等可能事件（给数字，考查排列组合）；
2）独立、互斥等事件（有概率值出现，且有明显语句如‘互不影响、独立’等提示）；
3）离散型概率，特别注意二项分布的认识。
题型三．数列
数列题命题有如下趋势：
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有。
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用。
4.解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和圆锥曲线知识相结合等。
需掌握的知识与方法：
1.会求数列通项（定义法、构造法、递推法、猜想归纳法等）、前n项和（先要求得通项，结合通项的特点求解：公式法、分组求和、错位相减法、倒序相加法、裂项法—通项必须为分式型）等。
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算。
3.分类讨论的思想在本章尤为突出。学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等。[来源:21世纪教育网]
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键。
6.解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法等。
7.数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。
题型四. 三角函数
分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面：
其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；
其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。
其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。在复习过程中突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。基于以上分析，预测在2012年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为一小题一大题。主要考查“三基”（基础知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，难度多为容易题和中档题。
知识与方法：
1、纯粹三角函数题及其三角与向量结合问题大都考查二倍角公式如、和差角公式的逆用（如熟记）等，必须非常熟练。
2、三角函数的图像问题牢记“五点法”，利用整体思想，只画出标准正、余弦函数图像解答问题。
3、三角形中的三角函数必须想到“正余弦定理”，三角形面积公式也是解题的重要工具。
4、实际问题（追逐问题、测量问题等）会转化成三角函数问题，寻求可解三角形求解，同时注意边角的制约关系。
主要结论：
1）等价关系:△ABC中，A>B>CsinA>sinB>sinC,其它函数名全转化为正弦名。
2）△ABC的判定： △ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
题型五．立体几何
近几年高考试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明和计算为主。
题型方法：
1、小题考查图形的性质，判断位置关系，主抓棱柱（长方体、正方体）、棱锥（正四面体）的位置与性质；三视图是必考题型，会还原。
2、解答题常见两到三问：判位置关系，求距离，求角度。熟练建立空间直角坐标系，化向量求解，理清立体几何问题转化为向量之后算什么，公式要熟悉，特别是空间角，保证运算正确。
主要结论：
1、正四面体中
2、棱柱外接球问题：球心在高的中点，到上底面（或下底面）距离为高的一半，求出
底面外接圆的半径，与球心构成一个直角三角形。
3、长方体的体对角线长为l,从同一顶点出发的三条棱长为a,b,c,则a2+b2+c2=l2.
题型六．平面向量
主要以小题型出现，有时也会在三角函数、圆锥曲线等问题中，只是一个基本条件，转化之后就没有价值。
知识点：
1、向量的模计算方法。21世纪教育网
2、平面向量的基本定理应用。
3、平面向量的运算：加减法（三角形法则、平行四边形法则）、坐标运算法则。
4、平面向量的数量积：求数量积，夹角，模长或范围，投影等。
常考题型与对策：
1、应用平面向量的基本定理将已知向量分解，方法运用三角形法则、平行四边形法则分解。
2、利用坐标运算解决与向量的垂直、平行等相关的问题，方法是从垂直平行判断的依据出发。
3、求夹角，方法是从数量积公式出发。
4、求模长，方法是将所求模长的向量平方，转化为数量积计算。至于范围问题可以转化为函数、考虑基本不等式、数形结合等。
5、求数量积，方法是从公式出发，利用三角形法则转化到已知模长和夹角的向量上计算。
题型七．直线与圆
近几年小题大题都有，涉及到直线与圆的位置关系判断，直线被圆截得弦长，夹角，围成三角形面积等。同时会出现综合性问题。21世纪教育网
知识点：
1、直线倾斜角、斜率计算。直线方程（注意效率分类）
2、圆的方程三种形式。21世纪教育网
3、直线与圆、圆与圆位置关系的判断与应用。
题型方法：
1、直线倾斜角、斜率计算。求直线方程（注意斜率分类讨论）。
2、求圆的方程。待定系数法（找到圆心与半径）。
3、位置关系判断：直线与圆一般不联立方程，找到半径，求出弦心距，弦长一半构成直角三角形求解。[21世纪教育网]
有用结论：
1、两圆相交弦所在的直线方程：联立两圆方程相减削去二次项，得到的二元一次方程为相交线所在的直线方程。
2、圆的参数方程主要解决与圆相关的最值问题。
题型八．圆锥曲线
知识点：
1、椭圆、抛物线、双曲线定义式、标准方程。
2、性质。特别是共性与差异。
3、直线与圆锥曲线的位置关系。
题型与方法：
1、小题多考查相关性质，如求离心率问题（找到a与c之间的关系，一般不引入坐标，紧抓定义式、图形特征、相关条件等，运用初中平面几何知识就可以解决问题）；求方程（一是待定系数法，二是求相关量法）；求a,b,c,p等值（理解这些字母的几何意义，从图形出发寻找关系式）。
2、所涉及椭圆、双曲线上的点到焦点距离作条件，联想焦点三角形（运用定义式、正余弦定理、三角形面积等求解）。对抛物线必须注意定义的合理运用，同时注重运用焦半径公式的应用。
3、解答题中涉及直线与圆锥曲线的交点条件一定要联立方程，判根的判别式和韦达定理。此类问题运算量大，必须细心。
4、轨迹问题一般从三方面入手：一是定义法；二是点代入法（或轨迹转移法或叫相关点法），三是参数法。前二者出现的频率最高，应灵活掌握。
5、定点定值、最值问题：
1）直线过定点问题：定点往往在坐标轴上，将直线化为点斜式，给自变量x一个常数，得到一个与其余变量无关的y的常数即可。
2）定值问题可以试着找到特殊（平行、垂直、特殊点、特殊图形等）情况先进行验证，得到定值，再从通性角度验证。
3）最值大多从函数单调性、导数；基本不等式；数形结合思想等角度出发，关键是构造所需的变量代数式。
6、存在性问题：一般假设存在，先特例验证，再论证，可化为范围问题、定值最值问题求解。
有用结论：
1、椭圆、双曲线通径长为；抛物线通径长为2p。
2、求双曲线渐近线方程：将常数1用0代替，剩余代数式移向等式两边开方取正负即可。
3、椭圆上点与两焦点连线夹角最大时该点在短轴端点。
4、双曲线焦点到渐近线距离为虚半轴长度b。
5、F椭圆焦点，P椭圆上任一点，则|FP|max=a+c, |FP|min=a-c,等号成立时P在长轴端点。F抛物线焦点，P是抛物线上任一点，则|FP|min=p/2，等号成立时P在原点.
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