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高中数学
人教A版(2019)
选择性必修 第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
人教A版(2019)选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算(线性运算、数量积运算)(共59张PPT)
文档属性
名称
人教A版(2019)选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算(线性运算、数量积运算)(共59张PPT)
格式
zip
文件大小
2.3MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2021-07-26 20:59:08
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文档简介
(共59张PPT)
第1课时 空间向量的线性运算
重难点:1.会用图形说明空间向量加法、减法、数
乘向量及它们的运算律.
2.能运用空间向量的运算意义及运算律解
决简单的立体几何问题.
与平面向量一样:
一、空间向量的概念
(1)向量:在空间中,具_________和______的量.
(2)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|.
(3)零向量:长度为______的向量。(手写记作
)
单位向量:长度为_______的向量。
(4)相等向量:在空间,方向相同且模相等的向量。
(5)相反向量:长度_______方向________的向量。
(6)共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。
规定:零向量与任意向量共线.
大小
方向
做一做1、正方体ABCD
-
A'B'C'D'中与向量相等的向量有_____
1
相等
相反
0
3
已知空间向量
,以任意点O为起点
,作向量
,我们就可以把他们平移到同一平面
,这样任意的两个空间向量的运算就可以转化为平面向量运算。由此,我们把平面向量的运算推广到空间,定义空间向量的加减法以及数乘运算:
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【例1】
如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中画出化简结果的向量.
反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:
(1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”;
(2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”;
(3)平行四边形法则:“起点重合”;
(4)多边形法则:“首尾相接,指向终点”.
运算律
与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律((λ∈R,μ∈R):
(1)结合律 (a+b)+c=a+(b+c);
(2)交换律 a+b=b+a.
(3)分配律
λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa(λ∈R,μ∈R);
说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
答案:0
反思数乘向量的运算一般是结合所给几何体,联系数乘向量的几何意义转化为一个新的向量.若同时涉及几个数乘向量,则还要注意数乘向量运算律的运用.
共线向量定理:
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
说明:向量共线的充要条件强调b为非零向量,若b为零向量,则a=λb中的a只能为0,没有研究的意义.
探究
【做一做3】
若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为 .?
解析:由题可知,2ke1-e2≠0,且e1+2(k+1)e2≠0.
若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,
使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.
解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,
思考:我们知道,任意两个空间向量总是共面的,但三个空间向量既可能是共面的,也可能是不共面的。那么,什么情况下三个空间向量共面呢?
在立体几何的学习中我们学习了异面直线与共面直线,那么向量之间有没有共面的情况呢?
如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α。平行于同一平面的向量,叫做共面向量。
探究:
题型四、向量共面问题
1.设a,b是两个不共线的向量,λ,μ∈R,若λa+μb=0,则( )
A.a=b=0
B.λ=μ=0
C.λ=0,b=0
D.μ=0,a=0
解析:∵a,b是两个不共线的向量,
∴a≠0,b≠0,
故只有B正确.
答案:B
第二课时 空间向量的数量积运算
物理中,我们学习了力做功的计算方法.如图所示,一辆小车在力F的作用下向前移动了s个单位长度,力与小车前进方向的夹角为θ,那么力作的功W=|F|·|s|cos
θ,这是一个具体的数,可以为正,为负,也可以为零.
一、空间向量的夹角
名师点析1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.
2.对空间任意两个非零向量a,b有:
①
=
;②<-a,b>=
=π-
;③<-a,-b>=
.
∠AOB
[0,π]
a⊥b
微练习
在正四面体ABCD中,
的夹角等于( )
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
答案:D
二、空间向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a,b,则
叫做a,b的数量积,记作 .?
即a·b=|a||b|cos
.
特别地,零向量与任意向量的数量积为 .?
2.数量积的运算性质
a·e=|a|cos
(e为单位向量)
若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0
若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立)
|a||b|cos
a·b
0
3.向量a在向量b上的投影向量
在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos
称为向量a在向量b上的投影向量.
5.数量积的运算律:
(λa)·b= ;a·b= (交换律);?
a·(b+c)= (分配律).
λ(a·b)
b·a
a·b+a·c
名师点析1.对空间向量数量积的理解
(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
(2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律,即a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.
量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
(3)利用关系a⊥b?a·b=0可以证明空间两直线的垂直.
微练习1
答案:C
微判断
对不为0的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,所以对三个非零向量a,b,c,也有(a·b)c=a(b·c)成立.( )
微练习2
已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,
则a·(2a-3b)= .?
×
答案:
5
求空间向量的数量积
例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
反思感悟空间向量运算的方法与步骤
方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos
并结合运算律进行计算.
(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
(3)代入a·b=|a||b|cos
求解.
解析:如图,连接AG并延长,与BC交于点D,
∵点G是底面△ABC的重心,
利用数量积求夹角
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos
,求出cos
=
的值,然后确定
的大小.
反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;
变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案:C
解析:设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量
所成角的余弦值为 .?
利用数量积证明垂直问题
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.
反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.
变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
利用数量积求距离或长度
例4如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.
反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
答案:C
利用向量的数量积求两异面直线所成角
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,
AA1=
,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
【答题模板】
第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.
?
第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.
?
第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.
?
第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是( )
答案:A
解析:四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.
答案:D
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是( )
A.重合
B.平行
C.垂直
D.无法确定
答案:C
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )
答案:A
5.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.
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同课章节目录
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.4 空间向量的应用
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.4 圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
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