2012年高考数学考前15天解题方法突破系列——分类讨论思想方法

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2012年高考数学考前15天解题方法突破系列——分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
例1. 设00且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。21世纪教育网
【解】 ∵ 01
1 当00，log(1＋x)<0，所以
|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;
2 当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以
|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0；
由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。
【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： 0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。
【解】 设{a}的公比q，则a>0，q>0
(S－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S＝na，则
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0
当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－<0 ∴对数式无意义
由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg（S－c）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明>logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。
1 4 x
1 4 x
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－
∴ 或
或
∴ a≥1或；
当a<0时，，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a> 。
【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。
例5. 解不等式>0 (a为常数，a≠－)
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。
【分析】由已知z＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。
【解】 ∵ |z|∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。
【另解】设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a；
∴
当y＝0时，x＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋)，所以z＝±(－1＋)；
当x＝0时，－y＋2|y|＝a，解得y＝±(1±)，所以±(1±)ｉ。21世纪教育网
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。
例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；
当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；
综上所述，有f(a)＝ 。
【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。
【专题突破】21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02.若a>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当03.函数y＝＋＋＋的值域是_________。
4.若θ∈(0, )，则的值为_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5.函数y＝x＋的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. B. C. D. 或
7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；21世纪教育网
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