(共24张PPT)
2.1.1 倾斜角与斜率
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值
了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?
一、直线的倾斜角
名师点析倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
微练习1
如图所示,直线l的倾斜角为( )
A.45°
B.135°
C.0°
D.不存在
答案:B
微练习2直线x=1的倾斜角α=
.
答案:90°
二、直线的斜率
1.定义与表示
2.填表:斜率与倾斜角的对应关系
微思考1
任何一条直线都有倾斜角吗?任何一条直线都有斜率吗?
答案:任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.
微思考2
直线的倾斜角越大,斜率就越大吗?
微练习
已知直线l的斜率k=-1,则其倾斜角α= .?
答案:135°
三、直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为
名师点析1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.
2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成
即下标的顺序一致.
微练习
已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于( )
A.2
B.1
D.不存在
答案:A
直线的倾斜角
例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?
思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角
解:由题意画出如下草图.
由图可知:
当α为钝角时,倾斜角为α-90°,
当α为锐角时,倾斜角为α+90°,
当α为直角时,倾斜角为0°.
反思感悟直线的倾斜角的求法
求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
变式训练设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
解析:根据题意,画出图形,如图所示:
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
答案:D
斜率公式及其应用
例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
思路分析:求直线的斜率?直线的斜率公式.
(2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.
反思感悟直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.
延伸探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
一题多解——利用斜率解决反射问题
典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.
(方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B'(-4,3),
方法总结光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.
1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是( )
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
答案:C
答案:A
3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为( )
A.1或4
B.4
C.1或3
D.1
答案:D
答案:60°(共28张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?
一、两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:
微思考
对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?
答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.
微练习
已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .?
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
名师点析“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.
微练习
若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是 .?
解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.
答案:l1⊥l2
两直线平行
例1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:
(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);
(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);
(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);
(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).
思路分析:斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2?k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.
则A,B,M不共线.故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.
反思感悟两直线平行的判定及应用
1.判定两直线是否平行时,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下).
2.若已知两直线平行,求某参数值时,也应分斜率存在与不存在两种情况求解.
延伸探究已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 .?
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
答案:0或1
两直线垂直
例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.
(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.
解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意.
综上所述,a的值为0或5.
反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
变式训练已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是 .?
解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).
∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,
∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
答案:(1,0)或(2,0)
两直线平行与垂直的综合应用
例3如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,
故四边形OPQR为矩形.
延伸探究1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”
解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”
反思感悟
1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2.判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且不会产生其他的情况.
分类讨论思想在平行与垂直中的应用
典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.
思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,
则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.
①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,
∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.
反思感悟先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.
1.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
答案:D
2.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为 .?
答案:4
3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .?
解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,
由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,
4.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.
所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
