人教A版（2019）选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2直线的方程（共60张PPT）

(共60张PPT)
2.2.1
直线的点斜式方程
在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率,
=2,即得方程y=2x+3.
这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?
一、直线的点斜式方程
名师点析1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.
微练习
直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是(　　)
A.2　　　　　　　　　B.-1
C.3
D.-3
答案:C
答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).
二、直线的斜截式方程
名师点析1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.
微练习
直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为　　　　　.?
答案:3
微思考
一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
答案:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.
三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;
l1⊥l2?k1k2=-1.
名师点析两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合.
微练习
已知直线l1:y=x+2与l2:y=-2ax+1平行,则a=　　　　　.?
直线的点斜式方程
例1求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
(2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5,
故直线方程可记为x=5.
∵直线过点P(-2,3),
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
反思感悟点斜式方程的求法
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
变式训练1直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.
(1)直线l2∥l1;
(2)直线l2⊥l1.
解:(1)由已知直线l1的斜率k1=tan
135°=-1.
因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.
(2)由已知直线l1的斜率k1=tan
135°=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.
直线的斜截式方程
例2求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;
(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.
思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.
解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,
所以所求直线斜率为-
.
又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-
x-2,即x+3y+6=0.
(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2,
即2x+y+2=0.
反思感悟斜截式方程的求法
已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.
1.与直线y=3x+1垂直,且过点(2,-1)的直线的斜截式方程是(　　)
答案:B
2.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是　　　　.?
答案:(-1,2)
3.直线l的倾斜角为45°,在y轴上的截距为-2的直线方程为　　　　　.?
答案:y=x-2
4.直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为　　　　　　.?
解析:∵直线l2的斜率k2=3,l1与l2平行,∴直线l1的斜率k1=3.又直线l1过点(3,5),∴l1的方程为y-5=3(x-3),即y=3x-4.
答案:y=3x-4
2.2.2　直线的两点式方程
通过前面的学习,我们知道两点可以确定一条直线,已知两点坐标也可以利用公式得到直线的斜率.如果已知直线上两个定点的坐标,能否得出直线的方程呢?这个方程与这两点坐标有什么关系呢?
一、直线的两点式方程
名师点析1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.
2.在记忆和使用两点式直线方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标.
3.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由两点
微思考
把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式
(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
微练习
已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为　　　　　.?
答案:x-y-2=0
二、直线的截距式方程
名师点析直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
A.a2　　　　　　　　B.b2
C.-b2
D.|b|
答案:C
直线的两点式方程
例1已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:
(1)BC边所在的直线方程;
(2)BC边上中线所在的直线方程.
思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.
反思感悟两点式方程的应用
用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.
延伸探究例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
直线的截距式方程
例2过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)
A.3x+y-6=0
B.x+3y-10=0
C.3x-y=0
D.x-3y+8=0
思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数.
答案:A
反思感悟截距式方程的应用
在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.
变式训练1直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
解:由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.
变式训练2将变式训练1中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.
解:设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.
(1)当a≠0,b≠0时,
若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0;
若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0.
(2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0.
综上所述,所求直线方程为:
x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.
截距式方程在实际问题中的应用
典例如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210
m,CD=240
m,DE=300
m,EA=180
m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90°,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?
分析将问题转化为在线段AB上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB的方程.这里设点P的坐标是关键.
解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0),
方法总结二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(　　)
答案:C
2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(　　)
A.2x+y-8=0
B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0
D.2x-y-12=0
答案:A
3.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.?
答案:-2
4.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是　　　　　.?
2.2.3
直线的一般式方程
由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为
直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.
一、直线的一般式方程
1.定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
名师点析(1)解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数,往往按含x项、含y项、常数项顺序排列.
(2)直线的一般式方程可以表示平面内的任意一条直线.
2.直线的一般式方程与其他形式的互化
微思考
在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.
微练习
直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为　　　　　　　　;化为截距式为?　
.?
二、两条直线的位置关系
微练习
判断下列两组直线是否平行或垂直:
(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.
(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.
解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,
∴两直线平行.
(2)∵4×3+(-1)×12=0,
∴两直线垂直.
直线的一般式方程
例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是
,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,
化为一般式方程为4x-y-2=0.
(3)由两点式方程可知,
反思感悟直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.
变式训练根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
由一般式方程判断两直线平行或垂直
【例2】
(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,
故m的值为2或-3.
(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.
求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,
又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,
又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,
所以直线方程为4x-3y-2=0.
常见的直线系及其应用
典例已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
(方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
∴所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
方法总结一般地,已知直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则:
(1)与直线l平行的直线系方程都可以设为Ax+By+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(2)与直线l垂直的直线系方程都可以设为Bx-Ay+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(3)平面上恒过定点P(x0,y0)的直线方程都可以设为中心直线系方程y-y0=k(x-x0)或x=x0的形式.
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为(　　)
A.-1,2
B.-2,2
C.2,-2
D.-2,-2
答案:A
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个(　　)
答案:B
3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　.?
解析:由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理,得2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=　　　　　.?
解析:∵两直线垂直,
∴1×2-2m=0,m=1.
答案:1