人教A版（2019）选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式（共58张PPT）

(共58张PPT)
2.3.1　两条直线的交点坐标
由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?
两条直线的交点
1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组
2.
名师点析如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.
微练习
直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(　　)
A.(1,2)
B.(4,1)
C.(3,2)
D.(2,1)
答案:B
两条直线的交点问题
例1分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用
涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题.
变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　.?
过两直线交点的直线系方程
例2(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;
(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.
思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点P(1,0)在直线上,
∴1-2+λ(3+2)=0.
反思感悟利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,
x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.
答案:B
对称问题
例3光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
反思感悟点关于直线的对称点的求法
变式训练3直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.
解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则
一题多解——求直线的方程
典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.
解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.
解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.
∴k=8.
∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.
解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).
∵点A,B分别在已知两直线上,
分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.
解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b).
∵点A,B分别在已知直线上,
点评:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.
1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(　　)
A.(-9,-10)
B.(-9,10)
C.(9,10)
D.(9,-10)
答案:B
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　)
A.-24
B.24
C.6
D.±6
答案:A
3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为　　　　　　.?
解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,
答案:(3,3)
4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.
证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系
∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).
2.3.2　两点间的距离公式　
2.3.3　点到直线的距离公式　
2.3.4　两条平行直线间的距离
在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村人民的出行.如何选址能使站点到两个村的距离之和最小?
一、两点间的距离公式
1.已知平面上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),那么这两点间的距离为
名师点析1.两点间的距离与这两点的先后顺序无关,即上述公式也
2.(1)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.
(2)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
微练习
已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|=　　　　　.?
二、点到直线的距离
1.概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离
名师点析1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.
2.注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程的左边得到的.当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(　　)
答案:D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
答案:到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的距离d=|x0-b|.
三、两条平行直线间的距离
1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.
2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
名师点析两条平行线间距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(　　)
答案:A
两点间距离公式的应用
例1已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.
反思感悟两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.
变式训练1已知点A(-3,4),B(2,
),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
坐标法及其应用
例2如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
反思感悟坐标法及其应用
1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.
2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:
(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;
(2)用坐标表示有关的量;
(3)将几何关系转化为坐标运算;
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
变式训练2已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.
求点到直线的距离
例3求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
思路分析:当直线与坐标轴不平行时,直接代入公式求得距离;当直线与坐标轴平行时,可以数形结合求解.
(方法2)∵直线x=2与y轴平行,
∴由图知d=|-1-2|=3.
(方法2)∵直线y-1=0与x轴平行,
∴由图知d=|2-1|=1.
反思感悟点到直线距离的求法
求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再代入公式.如果直线垂直于坐标轴,那么可结合图形求解.
延伸探究已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为　　　　　.?
两平行线间的距离
例4(1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　)
A.-2
B.-6
C.2
D.0
思路分析:(1)首先利用两直线平行求出参数m的值,将两直线方程对应系数化为相同,然后代入距离公式求值;(2)首先将两直线方程系数化为相同,然后代入距离公式,建立a,c的方程组求解.
即m=4.
所以对应直线方程为6x+4y+1=0.
又直线3x+2y-3=0可化为6x+4y-6=0,
答案:(1)D　(2)A
反思感悟求两条平行直线间的距离的两种思路
1.利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
2.利用两条平行直线间的距离公式求解.
变式训练3已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是
,求l1的方程.
解:(方法1)∵l1∥l2,
∴可设l1的方程为x+y+c=0.
∴c=1或c=-3.
∴l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(方法2)∵l1∥l2,∴可设l1的方程为x+y+c=0.
|c+1|=2.∴c=1或c=-3.
从而l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
一题多解——求直线的方程
典例求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程.
解:(方法1)由题意可得kAB=-
,线段AB的中点为C(1,1),满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行.
当直线过线段AB的中点时,由于M与C点的纵坐标相同,所以直线MC的方程为y=1;
综上,所求直线的方程为y=1或x+2y=0.
(方法2)显然所求直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+b,根据条件
故所求直线方程为y=1或x+2y=0.
方法总结解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在.
1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为(　　)
答案:A
2.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(　　)
答案:A
3.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为(　　)
答案:C
4.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(　　)
解析:依题意设A(a,0),B(0,b),
∵P(2,-1)为线段AB的中点,
∴a=4,b=-2.
∴A(4,0),B(0,-2).
答案:A
5.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
答案:C