人教A版（2019）选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4圆的方程（共57张PPT）

(共57张PPT)
第二章
2.4.1圆的标准方程
2.4.1圆的标准方程
1.掌握圆的定义及标准方程；
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
学习目标
知识点一　圆的标准方程
思考1　确定一个圆的基本要素是什么？
答案　圆心和半径.
思考2　在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？
答案　能.
1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标
准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
答案
知识点二　点与圆的位置关系
思考　点A(1,1)，B(4,0)，
同圆x2＋y2＝4的关系
如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？
答案　|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
答案
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2返回
题型探究
　　　重点难点
个个击破
类型一　求圆的标准方程
例1　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析　∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
D
解析答案
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为
___________________.
解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析答案
(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.
解析答案
反思与感悟
解析
方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
由题意知
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
方法二　由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，
则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.
则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案　
(x－1)2＋(y－1)2＝4
(1)直接法
根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程.
(2)待定系数法
①根据题意，设出标准方程；
②根据条件，列关于a，b，r的方程组；
③解出a，b，r，代入标准方程.
反思与感悟
(3)常见的几何条件与可以转化成的方程
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程.
②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径.
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心.
④弦的垂直平分线经过圆心.
跟踪训练1　求下列圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
解　设圆心(0，b)，
得b＝0或－8，
所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
解析答案
(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；
解　因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
解析答案
即5x＋7y－50＝0上，
解得圆心坐标为(3,5)，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.
解　线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，
令y＝0，则x＝2，
∴圆心坐标为(2,0)，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
解析答案
类型二　点与圆的位置关系
例2　(1)点P(m2
,
5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.不确定
解析　由(m2)2＋52＝m4＋25>24，∴点P在圆外.
解析答案
(2)已知点M(5
＋1，
)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是____.
解得0≤a<1.
B
[0,1)
反思与感悟
(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断.
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.
跟踪训练2　已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________________________.
解析　由题意知，
(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1，
解析答案
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
类型三　与圆有关的最值问题
例3　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
解析答案
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
(2)求y－x的最大值和最小值；
解
设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解
x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
反思与感悟
解析答案
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝
形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
解　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，
解析答案
(1)x2＋y2的最值；
返回
(2)x＋y的最值.
解　令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，
解析答案
1
2
3
4
解析答案
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2　
圆心坐标为(1,1)，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
D
1
2
3
4
解析答案
2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.－1B.0C.a>1或a<－1
D.a＝±1
解析　∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，
∴－1A
1
2
3
4
3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.
解析　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
由几何意义可知，
1
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________________.
解析　由题意知圆心坐标为(2，－3)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
(x－2)2＋(y＋3)2＝5
1.判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
2.求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心.
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.
(3)圆心与切点的连线长是半径长.
(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.
3.求圆的标准方程常用方法：
(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.
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第二章
2.4.2圆的一般方程
2.4.2
圆的一般方程
1.掌握圆的一般方程及其特点；
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
学习目标
知识点　圆的一般方程
思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
答案　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，
方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形.
答案
思考2　对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？
答案
当D2＋E2－4F>0时，
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以
为圆心，以
为半径的圆
返回
题型探究
　　　　重点难点
个个击破
类型一　圆的一般方程的概念
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解　由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
反思与感悟
解析答案
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆，
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________；
解　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
解析答案
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
解析答案
∴该圆的面积为9π.
9π
类型二　
求圆的一般方程
例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的方程；
解　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解析答案
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解
由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，
解得a＝2或6.
解析答案
反思与感悟
应用待定系数法求圆的方程时，
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
跟踪训练2　求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程.
解　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解析答案
类型三　与圆有关的轨迹方程
例3　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.
用代入法求轨迹方程的一般步骤
返回
跟踪训练3　已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.
解析答案
解　设动点P的坐标为(x，y)，
当AP斜率不存在时，中点P的坐标为(1,0).
当AP的斜率存在时，设过点A的弦为MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2).
解析答案
∵M，N在圆O上，
又∵点P为中点，
又∵M，N，A，P四点共线，
∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0，
经检验，点(1,0)适合上式.
综上所述，
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1
2
3
4
5
解析答案
1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为(　　)
A.(1,2)
B.(1，－2)
C.(－1,2)
D.(－1，－2)　
解析　将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心
坐标是(1，－2).
B
1
2
3
4
5
解析答案
2.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
解析　因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
C
1
2
3
4
5
3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)
解析　由D2＋E2－4F＞0，
得(－1)2＋12－4m＞0，
B
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为
，求圆的一般方程.
1
2
3
4
5
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.
1
2
3
4
5
解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，
于是有x0＝8－x
，y0＝6－y
.
①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆.
1.判断二元二次方程表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.
2.待定系数法求圆的方程
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
3.求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y).
(2)列出点M满足条件的集合.
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.
(4)将上述方程化简.
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
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