人教A版（2019）选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置（共76张PPT）

(共76张PPT)
2.5.1　直线与圆的位置关系
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际,一轮红日慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着斑斓的霞光和迷人的风采.
这个过程中,太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.
直线与圆的位置关系的判断方法
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
名师点析几何法更为简洁和常用.
微练习
直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(　　)
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
答案:A
判断直线与圆的位置关系
例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
直线与圆相切
例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
反思感悟切线方程的求法
1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-
,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.
2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.
延伸探究过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.
直线与圆相交
例3求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.
反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半
延伸探究已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
,求圆C的标准方程.
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
一题多解——直线与圆相切和光的反射
典例自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
分析l过点A,欲求其方程需求斜率k或与x轴的交点B.
(方法2)已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为
C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1相切.
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
(方法3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切,
点评本题是方程思想的典型应用,考查的重点在于设置怎样的未知数,依怎样的性质列方程,方法1、方法2属常规方法,方法3设置两个未知数,体现了列方程的方法在具体运用时的灵活性.
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　　)
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
答案:D
2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是(　　)
答案:B
3.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为　　　　　.?
答案:2x+y-5=0
4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.?
2.5.2　圆与圆的位置关系
“打水漂”游戏别名轻功水上漂、七点漂、漂瓦,是用扁形瓦片或石片,在手上呈水平放置后,用力飞出,石片擦水面飞行,石片碰水面后弹起再飞,石片不断在水面上向前弹跳,直至沉水.在这一过程中,石片与水面接触形成了一个个逐渐扩大的圆,这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?
圆与圆的位置关系的判定方法
1.几何法:
微练习
(1)判断下列两圆的位置关系:
①(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.
②x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.
解:①根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距
因为d=r1+r2,所以两圆外切.
②将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,
故两圆的半径分别为r1=4和r2=6.
两圆的圆心距
(2)两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为　　　　　.?
判断两圆的位置关系
例1已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含?
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当|C1C2|<3,即0反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;
(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
延伸探究若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为　　　　　.?
答案:121或1
两圆相交问题
例2已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
①-②,得x-y+4=0.
∵A,B两点坐标都满足此方程,
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
反思感悟相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
变式训练两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线
x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　.?
∴AB的中点坐标为(3,1).
AB的中点在直线x-y+c=0上,
∴3-1+c=0,∴c=-2,
∴m+c=5-2=3.
答案:3
两圆相切问题
思路分析:设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,
延伸探究1将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,-
)的圆的方程”,如何求?
解:因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
延伸探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,试求实数m的值.
反思感悟处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
圆系方程
经过两个圆的公共点可作无数个圆,这无数个圆可组成一个圆系.与已知圆有相同圆心的圆也可以组成一个圆系,等等.常见圆系方程有如下几种:
1.过直线与圆的交点的圆系:过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0;特别地,当直线与圆相切于点P时,上述方程表示与直线和圆都相切于点P的圆.
2.过两个圆的交点的圆系:过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圆系不含圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
3.同心圆系:与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0;或表示为与已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2同心的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=R2(其中a,b为定值).
对圆系方程可作以下推广:对过两已知圆交点的圆系方程,当λ=-1时,得到(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,此为两圆公共弦所在直线方程.因此,如果两圆相交,两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在直线的方程.由此可推广:经过两曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0交点的曲线系方程为f(x,y)+λg(x,y)=0
典例1一圆过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是(　　)
A.x2+y2-4x-4y+6=0
B.x2+y2+4y-6=0
C.x2+y2-2x=0
D.x2+y2+4x-6=0
答案:B
典例2已知两个圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程.
点评圆与直线相切的问题可利用圆心到切线的距离等于半径列等式.求经过两圆交点的圆可考虑圆系,但要考虑λ≠-1,另外由于圆系中不包括圆x2+y2=4,因此应检验圆x2+y2=4是否也满足条件.
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(　　)
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
解析:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.
∵|O1O2|=
,
∴R2-R1<|O1O2|∴圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0相交.
答案:B
2.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是　
.?
解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
答案:4x+3y-2=0
3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为(　　)
A.(x-4)2+(y-6)2=16
B.(x±4)2+(y-6)2=16
C.(x-4)2+(y-6)2=36
D.(x±4)2+(y-6)2=36
解析:设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.
由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.
若b=6,则a=±4;若b=-6,则a无解.
故所求圆方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
答案:D
4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a等于　　　　　.?
解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2.
圆C2可化为(x-a)2+y2=1,即圆心C2(a,0),半径r2=1,若两圆内切,需
答案:±1
第二章
2.5.3直线与圆的综合
2.5.3
直线与圆的综合
1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
学习目标
问题导学
　　　　新知探究
点点落实
知识点　坐标法解决几何问题的步骤
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示
问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过
，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
代数运算
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答案
类型一　直线与圆的方程的应用
例1　某圆拱桥的水面跨度20
m，拱高4
m.现有一船，宽10
m，水面以上高3
m，这条船能否从桥下通过？
反思与感悟
解析答案
解　建立如图所示的坐标系.
依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3
m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.
反思与感悟
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
解决直线与圆的实际应用题的步骤：
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练1　如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为________米.
解析答案
解析　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖
直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，
圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，
水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，
将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝
，
∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝
米.
类型二　坐标法证明几何问题
例2　如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
解析答案
反思与感悟
证明　以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设|AB|＝2r，D(a,0)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
∴EF平分CD.
反思与感悟
(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题
的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题.
②通过代数运算，解决代数问题.
③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论.
(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.
②常选特殊点作为直角坐标系的原点.
③尽量使已知点位于坐标轴上.
建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.
跟踪训练2　如图，直角△ABC的斜边长为定值
2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线
BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
证明　如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上.
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
解析答案
类型三　直线与圆位置关系的应用
例3　一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60
km处，受影响的范围是半径长为20
km的圆形区域(如图).已知港口位于台风中心正北30
km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解析答案
反思与感悟
解　建立如图所示的直角坐标系，取10
km为单位长度，
由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，
反思与感悟
即x＋2y－6＝0，
台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.
由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离
所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，
因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响.
针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题.
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跟踪训练3　设半径为3
km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？
解析答案
返回
解　由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如图，
设A、B两人的速度分别为3v
km/h，v
km/h，
设A出发a
h，在P处改变方向，又经过b
h到达相遇点Q，
则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.
在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.
由PQ与圆x2＋y2＝9相切，
1
2
3
4
解析答案
1.一辆卡车宽1.6
m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6
m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)
A.1.4
m
B.3.5
m
C.3.6
m
D.2.0
m
解析　如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8，
　B
1
2
3
4
解析答案
2.据气象台预报：在A城正东方300
km的海面B处有一台风中心，正以每小时40
km的速度向西北方向移动，在距台风中心250
km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1
h).
1
2
3
4
解析　以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则台风中心的移动轨迹是y＝－x，
受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
∴从现在起经过约2.0
h，台风将影响A城，持续时间约为6.6
h.
答案　2.0　6.6
1
2
3
4
3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝?，则实数m的取值范围是________.
解析　如图，
A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}
表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，
B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，
要使A∩B＝?，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，
1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.
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