人教A版（2019）选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3抛物线（共80张PPT）

(共80张PPT)
3.3.1　抛物线及其标准方程
我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.
这就是本节我们要学习的抛物线,这条曲线上的点有什么特征?
一、抛物线的定义
1.我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.数学表达式:抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.
名师点析1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;一相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).
2.定义中,要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
微练习1
若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.椭圆
B.抛物线
C.直线
D.双曲线
解析:由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.
答案:B
微练面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是(　　)
A.直线
B.抛物线
C.椭圆
D.圆
解析:A∈l,轨迹为过A且与l垂直的一条直线.
答案:A
二、抛物线的标准方程
名师点拨1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).
2.抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.
3.焦点的非零坐标是一次项系数的
.
4.准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.(　　)
(3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2.(　　)
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
微练习
(1)抛物线x2=
y的开口向　　　　　,焦点坐标为　　　　　,准线方程是　　　　　.?
(2)若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为　　　　　,焦点坐标为　　　　　.?
根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
例1求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析:先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.
反思感悟由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程,要注意p>0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.
答案:(1)C　(2)D
求抛物线的标准方程
例2根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为y=
;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;
(3)经过点(-3,-1);
(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
思路分析:(1)(2)由题意可确定方程形式→求出p→写出抛物线的标准方程
(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线
的标准方程
(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
(3)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系.
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数.
延伸探究将本例(4)改为焦点为圆x2+y2=4与坐标轴的交点,抛物线方程为什么?
变式训练2根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);
(2)过点(4,-8);
(3)焦点在x-2y-4=0上.
解:(1)(方法1)设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)代入方程,
(2)(方法1)设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),将点(4,-8)代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)代入x2=-2p'y,得p'=1.所以所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.
(方法2)当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n≠0),又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,抛物线的方程为y2=16x;
当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m≠0),又抛物线过点(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.
综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.
利用抛物线的定义解决轨迹问题
A.椭圆
B.双曲线
C.直线
D.抛物线
答案:D
反思感悟定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是　　　　　.?
解析:设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有
=2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.
答案:y2=8x
抛物线的实际应用
例4一辆卡车高3
m,宽1.6
m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a
m,求使卡车通过的a的最小整数值.
思路分析:建立适当的坐标系,通过确定点的坐标确定出抛物线的方程,把卡车的宽度坐标化,利用抛物线解决问题.
反思感悟求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
(1)建:建立适当的坐标系.
(2)设:设出合适的抛物线标准方程.
(3)算:通过计算求出抛物线标准方程.
(4)求:求出所要求出的量.
(5)还:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
变式训练4如图是抛物线形拱桥,当水面在l处时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为　　　　　米.?
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2.
与抛物线定义有关的最值问题
典例设P为抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
思路分析:本题主要考查与抛物线有关的最值问题,利用数形结合的思想寻求解题思路.
解:(1)抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
因为点P到准线x=-1的距离等于点P到F(1,0)的距离,
所以问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.
连接AF,如图①所示.
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
方法总结求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:(1)当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;(2)当两定点在曲线同侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为(1)的情形即可.
变式训练已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为　　　　　.?
解析:抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,
所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则F到直线的距离为
答案:3
1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是(　　)
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,可得xM=9,则点M到y轴的距离是9.故选D.
答案:D
2.已知抛物线方程为x2=-2y,则其准线方程为(　　)
A.y=-1
B.y=1
答案:C
3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为(　　)
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.x2=8y
D.x2=-8y
解析:依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y.
答案:C
4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是　　　　　.?
解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上,所以42=4a,故a=4,即所求抛物线的方程为y2=8x.
答案:y2=8x
a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.
当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;
当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.
3.3.2　抛物线的简单几何性质
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.
那么它的工作原理是什么?
前照灯由灯泡、反射镜、
配光镜三部分组成
一、抛物线的简单几何性质
名师点析1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
微判断
(1)抛物线关于顶点对称.(　　)
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√
微思考
抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?
答案:抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.
二、直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
特别提醒直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行.
微练习
若直线y=kx+2与y2=x只有一个公共点,则实数k的值为　　　　　.
抛物线几何性质的应用
例1已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
思路分析:(1)利用抛物线的对应性质求解;
(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.
解:(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).
(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.
反思感悟抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
直线与抛物线的位置关系
例2已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
思路分析:方法1:利用点差法,设点作差,要考虑直线的斜率不存在的情况;方法2:可设出直线的方程,将其与抛物线方程联立,得一元二次方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式,消参后即可得轨迹方程,同样要考虑斜率不存在的情况.
当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,AB的中点坐标为(2,0),适合上式.
反思感悟(1)解决中点弦问题的基本方法是点差法,因为用点差法求轨迹方程时用到了斜率,所以必须验证斜率不存在的情况.(2)直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)
解析:由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.
故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).
当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,
即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解之得-1≤k<0或0故直线l斜率的取值范围是[-1,1].
答案:C
抛物线的焦点弦问题
例3设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得F(1,0),
l的方程为y=k(x-1)(k>0).
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
反思感悟AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:
①以AB为直径的圆必与准线l相切;
答案:C
与抛物线有关的定点、定值问题
例4已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.
思路分析:(1)由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点,以x=-1为准线的抛物线;(2)设l1,l2的方程,联立方程组消元解出A,B的坐标,代入斜率公式计算kAB.
(1)解:∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,
∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.
∴曲线C的方程为y2=4x.
(2)证明:设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.
∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,
∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.
∴直线AB的斜率为定值-1.
反思感悟定值与定点问题的求解策略
1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.
2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;(3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.
变式训练4已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;
(2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点.
l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).
当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0).综上,l过定点(3,0).
一题多解　与抛物线有关的最值问题
典例如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离,从而可表示出△PAB的面积,再求最大值即可.
点评(1)本题中弦AB的长为定值,解题关键是将点P(在抛物线AOB曲线上)到AB的距离的最值转化为二次函数最值.在应用配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围.
(2)解决有关抛物线的最值问题时,一种思路是合理转化,数形结合求解;另一种思路是代数法,转化为求二次函数的最值.常见的题型有:
①曲线上的点到直线的距离的最值问题;②过定点的弦长的最值问题;③三角形面积的最值问题.
1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)
A.2
B.1
C.4
D.8
答案:C
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于(　　)
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解析:由焦点弦长公式知|PQ|=x1+x2+p=4p.
答案:A
3.过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有(　　)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析:点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过点(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.
答案:C
4.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为(　　)
答案:B
5.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.