天津市2020～2021学年度第二学期期末四校联考
高一数学参考答案
1—8：D
A
B
D
C
B
D
C
9．；
10．；
11．；
12．①②④；
13．
14．解：
（Ⅰ）∵
由正弦定理得
………………2分
∴
………………3分
∵
∴
………………5分
又∴
………………6分
（Ⅱ）由题意：
………………7分
∴
………………8分
由余弦定理
得：
………………10分
∴
∴
………………11分
∴周长为
………………12分
15．【解析】
（Ⅰ）在矩形中，.
…………………………1分
又∵
………………………………3分
∴
………………………………4分
又，
………………………………5分
（Ⅱ）在中，，是棱的中点，∴
由（1）知平面，∴.
又∵，∴平面……………………………7分
∵，
∴,∵,∴面…………………8分
∵面，
∴
所以，在中，，
.
……………9分
设点到平面的距离为，则.………………10分
∴，即，解得.
∴点到平面的距离为.
……………12分
16．解：
（Ⅰ）1－(0.05＋0.1＋0.15＋0.15＋0.25)
=
0.30
（补全直方图略）
……3分
（Ⅱ）平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05
=
71
………5分
设中位数为，则，
………7分
（Ⅲ）由题意知[60,
70)中抽2人，设为A1A2，[70,
80)中抽取4人，设为B1B2B3B4则任取两人共有15种取法（A1,
A2）,（A1,
B1）,（A1,
B2）,（A1,
B3），（A1,
B4）,（A2,
B1）,（A2,
B2）,（A2,
B3）,（A2,
B4）,（B1,
B2）,（B1,
B3）,（B1,
B4）,（B2,B3）,（B2,
B4）,（B3,
B4）.
……………10分
至多有一人在[70,
80）总有9种情况
……13分
17．解：
（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，
则，且有，
………3分
即，
……………5分
解得，
．
……………6分
（Ⅱ）有0个家庭回答正确的概率为
…………8分
有1个家庭回答正确的概率为
…………11分
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
…………13分
18．解：
（Ⅰ）取PA的中点为F，连接EF，BF
∵E为PD的中点，∴EF//AD,
且EF=
又AB=BC=，∴BC//，
∴
∴四边形BCEF为平行四边形，
……2分
∴CE//BF
又BF平面PAB，CE平面PAB，∴直线CE∥平面PAB，
…4分
（Ⅱ）取AD的中点O连接PO，CO，
∵面PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，
∴为直线与平面所成角，
………………6分
设AD=2，则，易得四边形ABCO为矩形，∴CO=AB=1，
∴，∴，
直线与平面所成角为.
…………8分
（Ⅲ）M在底面ABCD的射影落在在OC上，
设，由（Ⅱ）知，
又直线BM与底面ABCD所成的角为45°，∴，∴BN=MN
又，，又BC=1，且
∴，，，
作于，连接，∵，∴，∴，
所以为二面角的平面角，
……11分
，
∴，则二面角的余弦值为.
………13分天津市2020～2021学年度第二学期期末四校联考
高一数学
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是（
）
A．12
B．15
C．18
D．21
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量，则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．向量的夹角为
D．在方向上的投影是
5．在△中，角所对的边分别为，已知，则（
）
A．
B．或
C．
D．或
6．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．9
7．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，异面直线与所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在直角梯形中，，，，为BC边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共5小题，共25分）
9．若复数满足：
(为虚数单位)，则复数的虚部是__________.
10．如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中恰有1个女孩的概率是_______．
11．已知一个圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积等于_________.
12．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是___________.
①三棱锥的体积为
；
②平面EFG
③
④
13．在△ABC中，在边上，延长到，使得，若（为常数，且），且，则实数的值为_______；则的长度是________.
三、解答题（本大题共5小题，共63分）
14．（本题满分12分）
在△中，角所对的边分别为，已知
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若，△的面积为，求△的周长.
15．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中,底面是矩形，,是棱的中点.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)设，求点到平面的距离.
16．（本题满分13分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分和中位数；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数在[60，80)内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80)内的概率.
17．（本题满分13分）
某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲?乙?丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲?丙两个家庭都回答错误的概率是，乙?丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（Ⅰ）求乙?丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（Ⅱ）求甲?乙?丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
18．（本题满分13分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：直线平面PAB；
（Ⅱ）求直线与平面所成角;
（Ⅲ）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．
