吉林省长春重点校2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理科）试题 Word版含答案

长春重点校2020-2021学年高二下学期期末联考
数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 设集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数，则（　 ）
A．　 B． C． D，
3. “，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4. 已知函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
5. 设是非零实数，若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
6. 余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）
A．结论不正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确
7. 若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（　 ）
A．　B．　C． D．
8. 若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列结论正确的是 （ ）
A．平均数为14，方差为5 B．平均数为13，方差为25
C．平均数为13，方差为5 D．平均数为14，方差为2
9. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入，的值分别为，，则输出的的值为（ ）
A． B．
C． D．
10. 已知，则“”是“在内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11. 某校有6间不同的自习室，由于某种原因，每天晚上至多开放3间，则甲乙两名同
学恰好在同一间自习室自习的情况有（　 ）种.
A．41　　 　B．63 　　C．96　 　 　D．112
12. 设函数在上存在导函数，都有，且在
上，若，则实数的取值范围是（ 　）
　　A．　　　 B．　　　　C．　　　 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13. 已知数列的，则= ；
已知向量，向量，若，则 ；
15.已知的所有项的系数和为32，则________．
16. 设有下列四个命题：
：，；：，；
：方程有两个不相等实根；
：函数的最小值是2．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①；②；③；④．
.
三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）在中，、、分别是角、、的对边，．
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，求的面积．
18.（本题满分12分）在等比数列中，，且、、成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若、、为等差数列的连续三项，其中，设数列的前项和为，若，求的值．
（本题满分12分）已知四棱锥，底面为菱形，，侧面为等边三角形且垂直于底面.
求证：；
求二面角的余弦值.
20. （本题满分12分） 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
21.（本题满分12分）销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出
的产品，每1 t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布
直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X（单位：
t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销
售季度内经销该农产品的利润。
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求
量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈
[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），
求T的数学期望。
22.（本题满分12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：函数恰有两个零点.
长春重点校2020-2021学年高二下学期期末联考
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C B D C C A C B A C A
二、填空题
13. 100 14. 15. 16. ①②④
三、解答题
17. 【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1），
由正弦定理可得，
，
即．
又角为内角，不等于0，，
又，．
（2），，．
由余弦定理，得，．
．的面积为．
18. 【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）设等比数列的公比为．
依题意，、、成等差数列，，即．
，．，
等比数列的通项公式为；
（2）设等差数列的公差为，，，
，，
由，得，即，解得，或（舍去）．
故．
19. 【答案】（1)略（2）
20. 【答案】（1）；（2）或．
【详解】
（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
21【答案】
（（1）
（2）
(3)
22. 【答案】（1）当时，无减区间，增区间为
当时，减区间为，增区间为
(2)略
数学试题 第1*2-111页 （共4页） 数学试题 第1*212页 （共6页）