2021年暑假八年级数学北师大版上册 《1.1探索勾股定理》自学专题提升训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》暑假自学专题提升训练（附答案）
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．a：b：c＝3：4：6
C．a2＝c2﹣b2 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
2．下列说法错误的是（　　）
A．△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形
D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4
3．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C． D．13，12，5
4．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．c2﹣a2＝b2
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．∠A：∠B：∠C＝1：1：4
5．有下列判断：①△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形
②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形
③如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②
6．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．250 B．288 C．300 D．574
8．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．12，15，18 B．12，35，36 C．2，3，4 D．5，12，13
9．下列4组数中能构成直角三角形的是（　　）
A．5，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．8，12，13
10．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：　 　．
11．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 ……
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 ……
b 4 6 8 10 ……
c 22+1 32+1 42+1 52+1 ……
（1）观察a、b、c与n之间关系，用含自然数n的代数式表示：a＝　，b＝　　，c＝　．
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数：32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．
12．与直角三角形三条边长对应的3个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．
当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股数．
怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2＝c2
活动1：设（a，b，c）为一组勾股数，如下表：
表1 表2
a b c
a b c
3 4 5
6 8 10
5 12 13
8 15 17
7 24 25
10 24 26
9 40 41
12 35 37
活动2：
（1）观察表1，b、c与a2之间的关系是　 　；
（2）根据表1的规律写出勾股数（11，　 　，　 　）
活动3：
（1）观察表2，b、c与a2之间的关系是　 　；
（2）根据表2的规律写出勾股数（16，　 　，　 　）
活动4：
一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+2n+1（n为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是　 　、　 　（认真观察表1、表2后直接写出结果）
13．如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上．
（1）求AB，BC的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
14．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
15．在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
17．如图，四边形ABCD中，AB＝10，AC＝BC＝13，CD＝12，AD＝5，求四边形ABCD面积．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
19．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
20．如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点．
（1）AB＝　 　．BC＝　 　．AC＝　 　．
（2）∠ABC＝　 　°．
（3）在格点上是否存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2…表示）
参考答案
1．解：A、∠A+∠B＝∠C，∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∵设a＝3x，b＝4x，c＝6x，（3x）2+（4x）2≠（6x）2，不是直角三角形，符合题意；
C、a2＝c2﹣b2，a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2．解：A、△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
B、△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
C、△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或，说法错误；
故选：D．
3．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．解：A、∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴最大的角∠C＝90°，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、c2﹣a2＝b2，即a2+b2＝c2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：4，∴∠C＝，故不能判定是直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
5．解：①a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，32+42＝52则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误；
②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
③如果△ABC是直角三角形，a＝3，b＝5，c＝4，那么a2+c2＝b2，但是a2+b2≠c2，故原来说法错误．
∴其中说法正确的只有②，
故选：D．
6．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
7．解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，???，即24＝2×（10+2），
b依次为8，15，24，35，48，???，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，
c依次为10，17，26，37，50，???，即当a＝24时，c＝122+1＝145，
所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，
故选：B．
8．解：A、122+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、122+352≠362，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
9．解：A、∵52+242≠252，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、∵0.32+0.42＝0.52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故此选项正确；
C、∵92+162≠252，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、∵82+122≠132，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
10．解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：（11，60，61）．
11．解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602＝612．
12．解：活动2：
（1）b、c与a2之间的关系是a2＝b+c；
（2）∵a2＝b+c，a＝11，
∴b+c＝121，
∵b＝c﹣1，
∴b＝60，c＝61；
活动3：（1）b、c与a2之间的关系是a2＝b+c；
（2）∵a2＝b+c，a＝16，
∴b+c＝128，
∵b＝c﹣2，
∴b＝63，c＝65；
活动4：已知c＝2n2+2n+1，
如果满足表1的规律，那么b＝c﹣1，a2＝b+c，
∴b＝2n2+2n，a2＝4n2+4n+1，
∴a＝2n+1，符合题意；
如果满足表2的规律，那么b＝c﹣2，a2＝b+c，
∴b＝2n2+2n﹣1，a2＝4n2+4n，
∴a2＝8n2+8n，不是完全平方数，不符合题意；
综上所述，另两个数的表达式是2n2+2n，2n+1．
故答案为a2＝b+c；60，61；a2＝b+c；63，65；2n2+2n，2n+1．
13．解：（1）AB＝，BC＝，
（2）AC＝5，
∵，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
14．解：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
15．（1）证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC＝＝9．
16．（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：x＝，
∴AE的长为．
17．解：过点C作CE⊥AB于点E．
∵AC＝13，CD＝12，AD＝5，132＝122+52，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵AC＝BC＝13，AB＝10，CE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．
在Rt△CAE中，
CE＝＝＝12．
∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．
即四边形ABCD面积为90．
18．（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
19．解：如图，连接AC．
∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5．
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．
20．解：（1）AB＝＝．BC＝＝2．AC＝＝5．
（2）∵（）2+（2）2＝52，
∴∠ABC＝90°．
（3）如图所示：