2021年暑假八年级数学北师大版上册 《1.2一定是直角三角形吗》自学专题提升训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》暑假自学
专题提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（　　）
A．175 B．600 C．25 D．625
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（　　）
A．3 B．+1 C．﹣1 D．+1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高CD的长为（　　）
A．4 B． C．3 D．10
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
8．已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（　　）
A．168 B．84 C．84或36 D．168或72
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
10．若直角三角形的两边长分别是2和3，则第三边长是　 　．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝　 　，b＝　 　；
（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝　 　．
12．如图，一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，则最大的正方形E的面积是 　 　．
13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为　 　．
14．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，动点P从点B出发沿射线BC运动，当△APB为等腰三角形时，这个三角形底边的长为　 　．
15．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，由勾股定理得OP1＝；再过P作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此类推，得OP2020＝　 　．
16．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c
（1）已知a＝12，b＝5，求c；
（2）已知a＝3，c＝4，求b；
（3）已知c＝10，b＝9，求a．
17．计算：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c
（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB＝．
故选：B．
2．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
则S＝225+400＝625，
故选：D．
3．解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD＝，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵∠ADC＝2∠B，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝，
∴BC＝+1．
故选：D．
4．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴．
又∵．
∴．
∴CD＝2.4．
故选：B．
5．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则由勾股定理得到：AB＝＝＝10．
∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝．
故选：B．
6．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝，∠ADE＝90°，
∴DE＝3．
故选：A．
7．解：根据题意得：
阴影正方形的边长是：＝．
故选：C．
8．解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝15，
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝6
当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21，
所以△ABC的面积为×21×8＝84；
当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9，
所以△ABC的面积为×9×8＝36．
故选：C．
9．解：连接DE，如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CE＝1.5；
∴BE＝4﹣1.5＝2.5
故选：B．
10．解：当2是直角边，3是斜边时：
第三边的长＝＝；
当2，3均为直角边时，第三边的长＝＝
故答案为：或．
11．解：（1）设a＝3k，则b＝4k，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c＝＝＝5k，
∵c＝10，
∴5k＝10，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，
∴c＝＝＝10．
设斜边上的高为h，则ab＝ch，
∴h＝＝＝4.8．
故答案是：6，8；4.8．
12．解：如图，由勾股定理知：
SA+SB＝SF，SC+SD＝SG，
∴SA+SB+SC+SD＝SF+SG＝SE，
∵正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，
∴SE＝4+7+3+2＝16．
故答案为：16．
13．解：直角三角形直角边的较短边为＝6，
正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案为：4．
14．解：由勾股定理可知：BC＝＝＝12，分类讨论：
①A为等腰三角形的顶点时，有AB＝AP，
相当于以A点为圆心，AB为半径的圆，P点在BC的延长线上，如图1所示，
此时△APB的底边BP＝2BC＝2×12＝24；
②B为等腰三角形顶点时，有BA＝BP，
相当于以点B为圆心，AB为半径画圆，P点在BC的延长线上，如图2所示，
此时△APB的底边为AP，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝；
③P为等腰三角形顶点时，有PA＝PB，如图3所示，
此时P点在线段AB的垂直平分线上，△APB的底边为AB＝13，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为24或或13，
故答案为：24或或13．
15．解：由勾股定理得：OP1＝，OP2＝；OP3＝2；
OP4＝＝；
依此类推可得OPn＝，
∴OP2020＝＝．
故答案为：．
16．解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a＝12，b＝5，
∴c＝＝＝13；
（2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a＝3，c＝4，
∴b＝＝＝；
（3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，c＝10，b＝9，
∴a＝＝＝．
17．解：（1）利用勾股定理，得c＝＝＝17，即c＝17；
（2）利用勾股定理，得c＝＝＝5，即c＝5；
（3）5cm是直角边时，第三边＝＝cm，
5cm是斜边时，第三边＝＝4cm，
所以，第三边长为或4．
18．解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝＝＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝＝＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
19．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝＝＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
20．解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．