2021年暑假八年级数学北师大版上册 《1.3勾股定理的应用》自学专题提升训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》暑假自学专题提升训练（附答案）
1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
2．如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（　　）
A．5m B．7m C．8m D．10m
3．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm
4．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（　　）
A．8米 B．10米 C．12米 D．13米
5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）
A．9m B．14m C．11m D．10m
6．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）
A．5cm B．cm C．4cm D．3cm
7．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）
A．20 B．24 C．25 D．26
8．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
二．填空题（共6小题）
9．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
10．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里水深是　 　m．
11．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是　 　cm．
12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元钱．
13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　 　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
14．如图，已知圆柱底面周长为6cm，圆柱高为2cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为　 　cm．
三．解答题（共6小题）
15．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
16．如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB＝3m，BC＝4m，DC＝12m，AD＝13m，∠B＝90°，求这块草坪的面积．
17．“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车在B处与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
18．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
19．为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
20．某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．
参考答案
1．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故选：B．
2．解：如图；．
在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
由勾股定理，得：AC＝＝5米，
∴AC+AB＝3+5＝8米，即大树折断之前有8米高．故选：C．
3．解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，
AC＝24，CB′＝7，
在Rt△ACB′，AB′＝＝25，
所以它爬行的最短路程为25cm．故选：D．
4．解：如图，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，设AB＝AC＝x米．
在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，
∴x2＝52+（x﹣1）2，
∴x＝13，
∴AB＝13（米），故选：D．
5．解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），故选：D．
6．解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；
所以最短路径长为cm．故选：B．
7．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10，
∴AC＝＝＝＝26，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26的路程．
故选：D．
8．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15（km），
所以，AE＝15km，故选：C．
9．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
10．解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD＝1，B是红莲入泥处（根部）．
设BD＝x，则BA＝1+x，
所以BC＝AB＝1+x，
在Rt△BCD中，CD2+BD2＝BC2，
即22+x2＝（1+x）2，
4+x2＝1+2x+x2，
2x＝3
解得：x＝．
即这里的水深m．
故答案为：．
11．解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
∵25＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25
12．解：由勾股定理，AC＝＝＝12（m）．
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．
故答案为：612．
13．解：由勾股定理，得
路长＝＝5，
少走（3+4﹣5）×2＝4步，
故答案为：4．
14．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为2cm，
∴AB＝2cm，BC＝BC′＝3cm，
∴AC2＝22+32＝13，
∴AC＝cm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝2cm．
故答案为：2．
15．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，
梯子距离地面的高度AE＝＝24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，
∴BD+BE＝DE＝＝＝15，
∴DB＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
16．解：在Rt△ABC中，AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2
∴AC＝5m
在△ADC中，AC＝5m，DC＝12m，AD＝13m
∴AC2+DC2＝169，AD2＝169
∴AC2+DC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°
四边形的面积＝SRt△ABC+SRt△ADC＝36（m2）
答：这块草坪的面积是36m2．
17．解：根据题意，得AC＝30cm，AB＝50cm，∠C＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2＝AB2﹣AC2＝502﹣302＝402，
所以BC＝40，
小汽车2秒行驶40米，则1小时行驶40×30×60＝72000（米），
即小汽车行驶速度为72千米/时，因为 72＞70，所以小汽车超速行驶．
18．解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝＝＝10，
∴BC﹣BM＝7，
∴他应该往回收线7米．
19．解：（1）村庄能听到宣传；
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝米，
∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
20．证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，
∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，
∴AC＝15，
又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．