1.1菱形的性质与判定 同步能力达标训练 2021—2022学年北师大版九年级数学上册 （word版含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步能力达标训练（附答案）
1．菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．80 B．60 C．40 D．30
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，若OE＝3，则AB的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．下列说法中不正确的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．菱形的邻边相等
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线互相平分
4．若菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝6，则该菱形的面积为（　　）
A．24 B．6 C．12 D．5
5．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）
A．75° B．30° C．45° D．60°
6．若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
7．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M是DC的中点．若菱形ABCD的周长为24，则OM的长为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．3
10．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线互相平分且相等
11．如图，在?ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
12．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　）
A．∠AOB＝60° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC
13．下列四边形中不一定为菱形的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC
15．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
16．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形菱形 B．五边形的内角和为720°
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．三角形的外角和为360°
17．如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD、EF和AF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
（3）若BC＝2，求AF．
18．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2，，求菱形ABEF的面积．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF＝，求AC的长．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
21．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE、CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．
23．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，求重合部分构成的四边形BGDH的周长是多少？
24．如图，在?ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝CF，BC＝6，求四边形AECF的面积．
参考答案
1．解：菱形的面积＝＝＝40，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CD＝AB，
∵点E是CD的中点，
∴CD＝2OE＝6，
∴AB＝6，
故选：A．
3．解：∵平行四边形的性质有对角相等，对角线互相平分，菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴选项C符合题意，
故选：C．
4．解：菱形ABCD的面积＝＝＝12，
故选：C．
5．解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB＝AC，AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴AB＝AC＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，∠FAC＝∠DAC＝30°，
∴∠EAF＝60°，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相平分，AC⊥BD，
菱形的边长＝＝＝5，
∴个菱形的周长＝4×5＝20，
故选：A．
7．解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，
故选：C．
8．解：∵A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB＝5，
∴OD＝2，
∴点D（0，﹣2），
故选：D．
9．解：∵菱形ABCD的周长等于24，
∴DC＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵M为DC边中点，
∴在Rt△DOC中，OM为斜边上的中线，
∴OM＝DC＝3．
故选：D．
10．解：A、∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项B不符合题意；
C、∵两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项C符合题意；
D、∵两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
12．解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
A、∠AOB＝60°不能得出四边形ABCD是菱形；选项A不符合题意；
B、∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意；
C、∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
13．解：对角线相等的平行四边形是矩形，两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形；四条边都相等的四边形为菱形；有一条对角线平分一组对角的平行四边形为菱形；用两个全等的等边三角形拼成的四边形为菱形．
故选：A．
14．A、当AB＝CD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项C不符合题意；
D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项D不符合题意．
故选：B．
15．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：C．
16．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴选项B不符合题意；
C、∵一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵三角形的外角和为360°，
∴选项D符合题意；
故选：D．
17．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠CAB＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴∠CED＝60°，
∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，
∴DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC，
∴平行四边形CDEF为菱形．
（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，
∴DE＝EF＝FC＝CD，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD，
∴EF＝FC＝EC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EF＝EC，
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAF＝∠EFA＝30°，
∴∠AFC＝90°，
∵CF＝BC＝1，
∴AF＝CF＝．
18．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝∠FBE，∠AFB＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）连接CF，
CE＝1，CF＝2，AB＝，
∵AB＝EF＝，
CE2+CF2＝EF2，
∴CF⊥BC，
∴菱形ABEF的面积＝×2＝．
19．（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BF∥CD，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
又∵BC＝BD，
∴CD＝BC，
∴平行四边形CBFD为菱形；
（2）解：如图，由（1）得：四边形CBFD为菱形，
∴OC＝OF＝CF＝2，BD⊥CF，
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，
∵BD⊥CF，
∴∠BCO＝30°，
∴OB＝OC＝2，
∴BC＝2OB＝4，
∵∠A＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴AC＝BC＝4．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BC，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，BO＝DO，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
即OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：△ADE是直角三角形，
理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝2，BO＝DO＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5，
∵DE2＝52＝25，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
即△ADE是直角三角形．
21．（1）证明：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠BOC＝∠AOB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∵AB＝2，BO＝DO，
∴BO＝DO＝AB＝1，
即BD＝1+1＝2，
∵∠AOB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD＝60°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴BE＝2BD＝4，
由勾股定理得：DE＝＝＝2．
22．（1）证明：连接DE，DE交AC于O，
∵点E与点D关于直线AC对称，
∴AC是线段DE的垂直平分线，
∴AE＝AD，CE＝CD，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB，
∴AE＝AD＝CD＝CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴AD＝AB＝2，
由勾股定理得BC＝＝＝2，
∵四边形AECD是菱形，AC＝2，
∴OC＝AO＝1，AC⊥DE，
∵EM⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠M＝∠EOC＝∠ACM＝90°，
∴EM＝CO＝1，OE＝MC，EC＝AD＝2，
由勾股定理得：MC＝＝＝，
∴BM＝BC+CM＝2+＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝2．
23．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，
∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，
解得：x＝72°，
即∠B的度数为72°，
25．（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴FA＝FC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵EF⊥AC，
∴∠ADF＝∠ADE＝90°．
∴∠FAC+∠AFE＝90°，∠EAC+∠AEF＝90°．
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∴AF＝FC＝CE＝EA，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：AF＝FC＝CE＝EA，四边形AECF是菱形，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠B+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠B，
∴AE＝BE，
∵AB＝CF，
∴AB＝BE＝AE＝CE＝BC＝3，
∴AC＝＝＝3，△ABE的面积＝△ACE的面积，
∴菱形AECF的面积＝2△ACE的面积＝△ABC的面积＝AB×AC＝×3×3＝．