2021-2022学年八年级数学北师大版上册1.3勾股定理的应用 同步培优提升训练（word版附答案）

2021年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》同步培优提升训练（附答案）
1．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠ABC走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AC．已知AB＝40m，BC＝30m，他们踩伤草坪，仅仅少走了（　　）
A．40m B．30m C．20m D．10m
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
3．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（　　）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
4．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（　　）
A．10米 B．16米 C．15米 D．14米
5．一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A．15厘米 B．13厘米 C．9厘米 D．8厘米
6．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（　　）
A．5 B． C． D．4
7．有一长宽高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
8．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
9．现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为　 　cm．
10．如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为50cm．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚的最低高度为　 　．
11．如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝260m，BC＝100m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE＝　 　．
12．如图一个滑板使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　 　m．（边缘部分的厚度忽略不计）
13．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为　 　．
14．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为　 　．
15．如图所示的圆柱体中底面圆的周长是2，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面匀速爬行一周到B点，则小虫爬行的最短路程是　 　．
16．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积．
17．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？
18．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
19．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝13km，BC＝12km，AC＝5km，要从C修一条公路CD直达AB．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求这条公路CD的最短长度．
20．如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．
（1）求出点A到点B的距离；
（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
21．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
22．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
参考答案
1．解：由勾股定理，得
捷径＝＝50（m），
少走了40+30﹣50＝20（m）．
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，
AB＝＝＝2.5（米），
∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD＝＝＝2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
故选：C．
3．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝7米，BD为两树距离8米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米，
在直角三角形AEC中，
AC＝＝10米，
答：小鸟至少要飞10米．
故选：A．
4．解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：B．
5．解：这根木棒最长＝＝15厘米，
故选：A．
6．解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB＝π×＝4，CB＝3，
∴AC＝＝＝5，
故选：A．
7．解：如图，AB＝＝，
∴需要爬行的最短路径长为，
故选：A．
8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故选：B．
9．解：由题意可得，
底面长方形的对角线长为：＝10（cm），
故水槽中的水深至少为：＝10（cm），
故答案为：10．
10．解：如图，AD⊥BC于D，
∵AB＝4×50＝200，BC＝4×50＝200，AC＝4×50＝200，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD＝BC＝100（cm），
∴油桶的最高点到地面的距离＝25+100+25＝（50+100）（cm）．
答：遮雨棚起码要（50+100）cm高，
故答案为：（50+100）cm．
11．解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝240（m）
所以DE＝AC﹣AD﹣EC＝240﹣20﹣10＝210（m），
∴池塘的宽度DE为210米．
故答案为：210m．
12．解：如图是其侧面展开图：AD＝π×＝16m，AB＝CD＝15m．DE＝CD﹣CE＝15﹣3＝12（m），
在Rt△ADE中，AE＝＝＝20（m）．
故他滑行的最短距离约为20m．
故答案为：20．
13．解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
AB＝＝2，
故答案为：2．
14．解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝30，AP＝AB＝50，
∴PG＝40，
∴BG＝80，
∴PB＝＝＝40．
故这只蚂蚁的最短行程应该是40．
故答案为：40．
15．解：圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的长等于圆柱的高，圆柱的底的周长等于矩形的宽，AB即为小虫爬行的最短路径，（如图），
在Rt△ABC中，
AB＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
故答案为：．
16．解：在Rt△ADC中，CD＝6，AD＝8，
由勾股定理得，AC＝＝＝10，
在△ABC中，AC2+BC2＝100+576＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴需要绿化部分的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×10×24﹣×6×8＝96，
答：需要绿化部分的面积为96m2．
17．解：（1）如图，作AH⊥OB于H．
在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，OA＝240km，∠AOH＝30°，
∴AH＝OA＝120km，
∵120＜150，
∴A城受到这次台风的影响．
（2）如图，设AR＝AT＝150km，
则易知：RH＝HT＝＝90（km），
∴RT＝180km，
∴受台风影响的时间有180÷30＝6小时．
18．解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2
解得：OB＝20，
答：这个云梯的底端离墙20米远；
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，
根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，
∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
19．解：（1）∵BC2+AC2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形；
（2）当CD⊥AB时CD最短，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∴CD＝＝（km）．
答：这条公路CD的最短长度是km．
20．解：（1）把上面展开到左侧上，连接AB，
如图1，
根据勾股定理得：AB＝＝5cm；
把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2，
根据勾股定理得：AB＝＝15cm，
则需要爬行的最短距离是15cm．
把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，
根据勾股定理得：AB＝＝10cm，
综上所述，点A到点B的距离为：5cm，15cm，10cm；
（2）由（1）知，∵点A到点B的距离为：5cm，15cm，10cm；
∴15＜10＜5，
∴则需要爬行的最短距离是15cm．
21．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
22．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．